Chủ đề này có 8 trả lời

[minhtuyb]

Problem: Cho ba số $a,b,c$ không âm. CMR:
$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge \dfrac{3}{2}+\dfrac{3(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$

[Primary]

Bất đẳng thức này mạnh hơn bất đẳng thức Ne-pit

[BoFaKe]

Bất đẳng thức này mạnh hơn bất đẳng thức Ne-pit

Không phải Ne-pit mà là Nespit:

Problem: Cho ba số $a,b,c$ không âm. CMR:
$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge \dfrac{3}{2}+\dfrac{3(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$

Không biết mình làm thế này có giúp được bạn không.
Chuyển $\frac{3}{2}$ sang vế trái ta được:
$$$\sum \frac{(a-b)^{2}}{2(a+c)(b+c)}\geq 3\prod \frac{a-b}{a+b}$$
$$\Leftrightarrow\sum \frac{(a-b)^{2}}{2(a+c)(b+c)}\geq 3\prod \frac{a-b}{a+b}$$
$$\Leftrightarrow \sum (a-b)^{2}(a+b)\geq 6(a-b)(b-c)(c-a)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoFaKe: 13-12-2012 - 20:09

[Joker9999]

Không phải Ne-pit mà là Nespit:

Không biết mình làm thế này có giúp được bạn không.
Chuyển $\frac{3}{2}$ sang vế trái ta được:
$$$\sum \frac{(a-b)^{2}}{2(a+c)(b+c)}\geq 3\prod \frac{a-b}{a+b}$$
$$\Leftrightarrow\sum \frac{(a-b)^{2}}{2(a+c)(b+c)}\geq 3\prod \frac{a-b}{a+b}$$
$$\Leftrightarrow \sum (a-b)^{2}(a+b)\geq 6(a-b)(b-c)(c-a)$$

Bạn có thể giải thích và trình bày rõ ràng được không? Mình không hiểu.

[minhtuyb]

Không phải Ne-pit mà là Nespit:

Không biết mình làm thế này có giúp được bạn không.

Hì, bài này là mình chế nhé
Nếu có mong bạn post lời giải hoàn chỉnh để chúng ta cùng thảo luận

[BoFaKe]

Bạn có thể giải thích và trình bày rõ ràng được không? Mình không hiểu.

Ak,thì ban đầu mình dùng S.O.S để phân tích(không biết phân tích đó đúng không nữa ),rồi quy đồng lên,nhân cái mẫu bên vế trái sang bên phải.Đấy là mình mới thử làm một tý,không biết đúng hướng không nữa:P

Hì, bài này là mình chế nhé
Nếu có mong bạn post lời giải hoàn chỉnh để chúng ta cùng thảo luận

Chế hả ,mình cũng chưa có lời giải hoàn chỉnh,bạn chịu khó đợi nhé(tiếp theo là ta giả sử $a\geq b\geq c$).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoFaKe: 13-12-2012 - 20:21

[Sagittarius912]

Problem: Cho ba số $a,b,c$ không âm. CMR:
$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge \dfrac{3}{2}+\dfrac{3(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$

] không mất tính tổng quát giả sử
$a\geq b\geq c\Rightarrow \frac{(a-b)(b-c) (c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq 0\Rightarrow VP\leq \frac{3}{2}$
khi đó ta chỉ việc chứng minh
$\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}$
Đây chính là bdt Nesbit, chứng minh khá đơn giản
=> dpcm. dấu "=" khi $a=b=c$

p/s: chứng minh xong thấy nó cứ thế nào ấy, sai chỗ nào không ta???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 13-12-2012 - 20:25

[minhtuyb]

p/s: chứng minh xong thấy nó cứ thế nào ấy, sai chỗ nào không ta???

BĐT trên không đối xứng mà chỉ hoán vị cho nên bạn chỉ có thể giả sử $a=max\left\{a;b;c\right\};min\left\{a;b;c\right\},$ nằm giữa $b$ và $c$ hay tương tự chứ không thể tùy ý sắp xếp thứ tự các biến.
Chú ý nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 13-12-2012 - 21:08

[tran thanh binh dv class]

Không phải Ne-pit mà là Nespit:

Không biết mình làm thế này có giúp được bạn không.
Chuyển $\frac{3}{2}$ sang vế trái ta được:
$$$\sum \frac{(a-b)^{2}}{2(a+c)(b+c)}\geq 3\prod \frac{a-b}{a+b}$$
$$\Leftrightarrow\sum \frac{(a-b)^{2}}{2(a+c)(b+c)}\geq 3\prod \frac{a-b}{a+b}$$
$$\Leftrightarrow \sum (a-b)^{2}(a+b)\geq 6(a-b)(b-c)(c-a) (1)$$

Đến đây quá đẹp rồi! Giải tiếp như sau:
Giả sử $c=max[a,b,c]$
TH1: c$c\geq a\geq b$
Dễ thấy VP$\leq$0 VT$\geq$0 BDT dc chứng minh
TH2: $c\geq b\geq a$
BDT (1) viết lại thành
$Sa(b-c)^2+Sb(c-a)^2+Sc(a-b)^2$$\geq S(a-b)(b-c)(c-a)$
Ta thầy $Sa\geq Sb\geq Sc\geq 0$

Nên chỉ cần chứng minh $Sc\geq 0,2\sqrt{ScSb}-S(c-b)$
$\Leftrightarrow a+b\geq 0,2\sqrt{(a+b)(a+c)}-6(c-b)$
$\Leftrightarrow 5(a+b)+30(c-b)\geq \sqrt{(a+b)(a+c)}$
Điều này quá đúng do $c\geq b\geq a$
Nên BDT được chứng minh! Dấu = khi a=b=c




--------------------------------------------------------------
Không biết đúng không nữa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tran thanh binh dv class: 13-12-2012 - 21:43