cmr $sin\frac{\pi }{7}.sin\frac{2\pi }{7}.sin\frac{3\pi }{7}=\frac{\sqrt{7}}{8}$
$sin\frac{\pi }{7}.sin\frac{2\pi }{7}.sin\frac{3\pi }{7}=\frac{\sqrt{7}}{8}$
Bắt đầu bởi iloveyou123, 13-12-2012 - 22:06
#2
Đã gửi 13-12-2012 - 23:00
25 minutes
-
- Hiệp sỹ
-
- 2795 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
Ta có $sin\frac{\pi }{7}sin\frac{2\pi }{7}sin\frac{3\pi }{7}=sin\frac{\pi }{7}sin\frac{3\pi }{7}sin\frac{5\pi }{7}$
Lại có $\frac{\pi }{7},\frac{3\pi }{7},\frac{5\pi }{7}$ là nghiệm của phương trình $7x=\pi +2k\pi \Leftrightarrow 4x=\pi -3x+2k\pi$
$\Rightarrow$ $sin4x=sin3x$
$\Rightarrow 4sinx\sqrt{1-sin^2x}(1-2sin^2x)=3sin-4sin^3x$
Do $sinx\neq 0$ nên phương trình đã cho tương đương với $3\sqrt{1-sin^2x}(1-2sin^2)=3-4sin^2x$
Đặt $sin^2x=t\Rightarrow 4\sqrt{1-t^2}(1-2t^2)=3-4t^2$
$\Rightarrow 64t^3-112t^2+80t-7=0$
Áp dụng định lí Vi-et ta có $t_1t_2t_3=\frac{7}{64}$
Vậy $sin\frac{\pi }{7}sin\frac{3\pi }{7}sin\frac{5\pi }{7}=\sqrt{\frac{7}{64}}=\frac{\sqrt{7}}{8}$
$\Rightarrow$ đpcm ?
Lại có $\frac{\pi }{7},\frac{3\pi }{7},\frac{5\pi }{7}$ là nghiệm của phương trình $7x=\pi +2k\pi \Leftrightarrow 4x=\pi -3x+2k\pi$
$\Rightarrow$ $sin4x=sin3x$
$\Rightarrow 4sinx\sqrt{1-sin^2x}(1-2sin^2x)=3sin-4sin^3x$
Do $sinx\neq 0$ nên phương trình đã cho tương đương với $3\sqrt{1-sin^2x}(1-2sin^2)=3-4sin^2x$
Đặt $sin^2x=t\Rightarrow 4\sqrt{1-t^2}(1-2t^2)=3-4t^2$
$\Rightarrow 64t^3-112t^2+80t-7=0$
Áp dụng định lí Vi-et ta có $t_1t_2t_3=\frac{7}{64}$
Vậy $sin\frac{\pi }{7}sin\frac{3\pi }{7}sin\frac{5\pi }{7}=\sqrt{\frac{7}{64}}=\frac{\sqrt{7}}{8}$
$\Rightarrow$ đpcm ?
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
