Chủ đề này có 8 trả lời

[Ispectorgadget]

ĐỀ THI HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2012-2013

MÔN: TOÁN

Câu I.
Cho hàm số $y = \dfrac{2x-1}{x+1}$ có đồ thị $( C)$ và điểm $P(2;5)$
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng $y=-x+m$ cắt đồ thị © tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho tam giác $PAB$ đều.

Câu II.
1. Giải phương trình $$ \dfrac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt[3]{2x+1}-3} = \dfrac{1}{x+2}$$
2. Giải hệ phương trình $$ \begin{cases} x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=5 \\ (xy-1)^2=x^2-y^2+2 \end{cases}$$

Câu III.
1. Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh a.Hình chiếu vuông góc của $A'$ lên mặt phẳng $ABC$ trùng với trong tâm tam giác ABC , Biết khoảng các giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BC$ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.Tính theo a thể tích khối lăng trụ
2. Cho tứ diện $ABCD .G$ là trọng tâm tam giác $BCD.$ Mặt phẳng $(\alpha)$ qua trung điểm $I$ của $AG$ cắt cạnh $AB,AC,AD$ tại các điểm khác A. Gọi $h_A;h_B;h_C;h_D$ là khoảng cách từ$ A,B,C,D$ đến mặt phẳng $(\alpha)$. Chứng minh rằng:
$$ \dfrac{{h_B}^2+{h_C}^2+{h_D}^2}{3} \geq {h_A}^2$$

Câu IV.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $OXY$ , Cho điểm $A(-1;-1)$ và đường tròn $(T): (x-3)^2+(y-2)^2=25$. Gọi $B , C$ là hai điểm phân biệt trên $(T)$ khác $A$. Viết phương trình đường thẳng $BC$ , biết I(1;1) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

Câu V. Cho các số thực dương $a,b,c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=\dfrac{2}{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}-\dfrac{3}{\sqrt{a+b+c}}$$

Nguồn: k2pi.net

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 14-12-2012 - 12:37

[WhjteShadow]

Câu V. Cho các số thực dương $a,b,c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P =\dfrac{2}{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}- \dfrac{3}{\sqrt{a+b+c}}$$

Ta sẽ chứng minh $a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc} \le \frac{4}{3}(a+b+c)$
Theo AM-GM ta có $$6\sqrt{ab}\le 3.(\frac{a}{2}+2b)$$
$$6\sqrt[3]{abc} \le 2(\frac{a}{4}+b+4c)$$
$$\Rightarrow a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc} \le \frac{4}{3}(a+b+c)$$
$$P\ge \frac{2}{\frac{4}{3}(a+b+c)}-\frac{3}{\sqrt{a+b+c}}$$
$$=\frac{3}{2(a+b+c)}-\frac{3}{\sqrt{a+b+c}}$$
Đặt $t=\sqrt{a+b+c}>0$ ta có $P \ge \frac{3}{2t^2}-\frac{3}{t}=f(t)$
Ta có:
$$f'(t)=\frac{3(t-1)}{t^3}$$
$\Rightarrow $ $f(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $t=1$ và bằng $\frac{-3}{2}$.
Vậy $P_{Min}=\frac{-3}{2}$. Đẳng thức xảy ra tại $a+b+c=1,\frac{a}{4}=b=4c$ $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 14-12-2012 - 12:40

[gogo123]

Có một điều thú vị về Bài V này.
Dễ thấy phương pháp duy nhất là cần bằng hệ số để tạo ra $a+b+c$ ở phân thức thứ nhất.
$$xa+yb\geq 2\sqrt{xyab}$$
$$ma+nb+pc\geq 3\sqrt[3]{mnpabc}$$
Ta có hệ:
$\left\{\begin{matrix} xy=\frac{1}{4}\\mnp=\frac{1}{27} \\ ma=nb=pc \\xa=yb \\ m+x+1=n+y=z \\ \end{matrix}\right.$
Suy ra: $y=\frac{1}{4x}\Rightarrow b=4ax^{2}$
$ma=nb\Rightarrow m=4x^{2}n$
$\Rightarrow x+4x^{2}n+1=\frac{1}{4x}+n=\frac{1}{27.4.x^{2}n^{2}}\Rightarrow n=\frac{4x^{2}+4x-1}{4x(1-4x^{2})}$
Suy ra ta có phương trình ẩn $x$ là : $(x+0,5)(216x^{3}+452x^{2}-214x+23)=0$
Bấm máy tính phương trình trong ngoặc thứ 2 ta được 3 nghiệm là
$x_1=-2,50505717...; x_2=0,211247231...;x_3=0,201217346...$
Bạn có thấy điều gì kì lạ ở 2 nghiệm cuối không các số sau dấu phây của 2 nghiệm ghép lại : 21-12-2012 (tận thế rồi )

[tienvuviet]

Câu II.
1. Giải phương trình $$ \dfrac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt[3]{2x+1}-3} = \dfrac{1}{x+2}$$





Điều kiện $\begin{cases} x + 1 \geq 0 \\ x \neq 2 \\ \sqrt[3]{2x+1} - 3 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq - 1 \\ x \neq -2 \\ x \neq 13 \end{cases}$

Phương trình đã cho tương đương với

$(x + 2) \sqrt{x + 1} = (2x + 1) + \sqrt[3]{2x + 1} \ (1)$

Để dễ nhìn thấy dạng ta đặt $\sqrt{x + 1} = a, \quad \sqrt[3]{2x + 1} = b$

Khi đó (1) tương đương với $(a^2 + 1)a = b^3 + b \Leftrightarrow a^3 + a = b^3 + b$

Xét hàm $f(t) = t^3 + t \Rightarrow f'(t) = 3t^2 + 1 > 0$ hàm đồng biến, vậy ta có $ \sqrt{x + 1} = \sqrt[3]{2x + 1} $

Mũ $6$ 2 về ta được $(x + 1)^3 = (2x + 1)^2 \Leftrightarrow x^3 - x^2 - x = 0 \Leftrightarrow x(x^2 - x - 1) = 0$

Kết hợp điều kiện dễ dàng có nghiệm $\left [ \begin{matrix} x = 0 \\ x = \dfrac{1}{2}(1 + \sqrt 5) \end{matrix} \right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienvuviet: 14-12-2012 - 20:25

[Mrnhan]

em xin làm câu hệ:
đk
pt(1) $(x+\frac{1}{x})^2+(y-\frac{1}{y})^2=5$
pt(2) $(x+\frac{1}{x})(y-\frac{1}{y})=2$
xong..
về mới làm được.. nhuk

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr nhan: 14-12-2012 - 20:48

[Mrnhan]

gọi B', C', D', G' lần lượt là hình chiếu của B, C, D, G lên mp
nên $BB'=d_{B}, CC'=d_{C}, DD'=d_{D}, GG'=d_{G}$
VÌ mp đi qua trung điểm I của AG nên $d_{A}=d_{G}$
vì G là trọng tâm tam giác BCD nên G' cũng là trong tâm tam giác B'C'D'
ta có
$3\vec{GG'}=\vec{BB'}+\vec{CC'}+\vec{D D'}$
nên $3d_{A}=3GG'\leq BB'+CC'+D D'\leq \sqrt{3(d_{B}^2+d_{C}^2+d_{D}^2)}$
XONG..

[xuanha]

Có một điều thú vị về Bài V này.
Dễ thấy phương pháp duy nhất là cần bằng hệ số để tạo ra $a+b+c$ ở phân thức thứ nhất.
$$xa+yb\geq 2\sqrt{xyab}$$
$$ma+nb+pc\geq 3\sqrt[3]{mnpabc}$$
Ta có hệ:
$\left\{\begin{matrix} xy=\frac{1}{4}\\mnp=\frac{1}{27} \\ ma=nb=pc \\xa=yb \\ m+x+1=n+y=z \\ \end{matrix}\right.$
Suy ra: $y=\frac{1}{4x}\Rightarrow b=4ax^{2}$
$ma=nb\Rightarrow m=4x^{2}n$
$\Rightarrow x+4x^{2}n+1=\frac{1}{4x}+n=\frac{1}{27.4.x^{2}n^{2}}\Rightarrow n=\frac{4x^{2}+4x-1}{4x(1-4x^{2})}$
Suy ra ta có phương trình ẩn $x$ là : $(x+0,5)(216x^{3}+452x^{2}-214x+23)=0$
Bấm máy tính phương trình trong ngoặc thứ 2 ta được 3 nghiệm là
$x_1=-2,50505717...; x_2=0,211247231...;x_3=0,201217346...$
Bạn có thấy điều gì kì lạ ở 2 nghiệm cuối không các số sau dấu phây của 2 nghiệm ghép lại : 21-12-2012 (tận thế rồi )

có đc mang máy tính vào phòng thi đâu. haizz..ngồi cân bằng hệ số mãi.hic

[Ispectorgadget]

Mọi người tham khảo đáp án đề này nhé
 HSG Nghe an 2012-2013.pdf   174.35K   427 Số lần tải

[tuannd2009]

Ta sẽ chứng minh $a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc} \le \frac{4}{3}(a+b+c)$
Theo AM-GM ta có $$6\sqrt{ab}\le 3.(\frac{a}{2}+2b)$$
$$6\sqrt[3]{abc} \le 2(\frac{a}{4}+b+4c)$$
$$\Rightarrow a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc} \le \frac{4}{3}(a+b+c)$$
$$P\ge \frac{2}{\frac{4}{3}(a+b+c)}-\frac{3}{\sqrt{a+b+c}}$$
$$=\frac{3}{2(a+b+c)}-\frac{3}{\sqrt{a+b+c}}$$
Đặt $t=\sqrt{a+b+c}>0$ ta có $P \ge \frac{3}{2t^2}-\frac{3}{t}=f(t)$
Ta có:
$$f'(t)=\frac{3(t-1)}{t^3}$$
$\Rightarrow $ $f(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $t=1$ và bằng $\frac{-3}{2}$.
Vậy $P_{Min}=\frac{-3}{2}$. Đẳng thức xảy ra tại $a+b+c=1,\frac{a}{4}=b=4c$ $\square$

Bạn có thể nói rõ hơn về ý tưởng để chứng minh phần đâu ko ạ?