Đến nội dung

Hình ảnh

[MHS2013] Trận 15 - Phương pháp tọa độ trong mp và giải tam giác


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 23 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả


Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 14/12/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 15 có 23 toán thủ nên sẽ có 2 toán thủ bị loại

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

3) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ không được tự ý sửa bài của mình vì nếu sửa sẽ bị chấm là 0 điểm.

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $\left ( C \right )$ phương trình $(x-1)^2+(y-1)^2=25$ và các điểm $A(7;9), B(0;8)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc $\left ( C \right )$ sao cho biểu thức $P=MA+2MB$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Đề của hoangkkk

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3
minh29995

minh29995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $\left ( C \right )$ phương trình $(x-1)^2+(y-1)^2=25$ và các điểm $A(7;9), B(0;8)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc $\left ( C \right )$ sao cho biểu thức $P=MA+2MB$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Đề của hoangkkk

Gọi M(x,y) thuộc ©
Đặt $x-1=a, y-1=b$ ta được $a^2+b^2=25$ và
$P=\sqrt{(a-6)^2+(b-8)^2}+2\sqrt{(a+1)^2+(b-7)^2}$
Ta chứng minh:
$P\geq 5\sqrt{5}$
$\Leftrightarrow \sqrt{125-12a-16b}+2\sqrt{75+2a-14b}\geq 5\sqrt{5}$
$\Leftrightarrow a+18b-75\leq \sqrt{9375-650a-2950b+224b^2-24a^2+136ab}$ (*)
Nếu $a+18b-75\geq 0$ tức $\sqrt{25-b^2}\leq 75-18b$ suy ra $b\leq 4, a\geq 1$ thì $P>5\sqrt{5}$
(Chỗ này phải là "Nếu $a+18b-75\le 0$" chứ nhỉ?)
Với $a+18b-75>0$ tức $b>4$ thì
$(*)\Leftrightarrow 100ab-25a^2-100b^2-250b-500a+3750\geq 0$
$\Leftrightarrow 4ab-a^2-4b^2-10b-20a+150\geq 0$
$\Leftrightarrow (b-2a-5)^2\geq 0$ (Đúng)
Dấu bằng xảy ra khi b=2a+5 thay vào $a^2+b^2=25$ ta được
a=0, b=5 hoặc
a=-4, b=-3 ( loại do đang xét $b\geq 4$)
Kết luận: $MinP=5\sqrt{5}$ khi a=0, b=5
Vậy M(1,6)
________________________
Cậu này Đại số hoá Hình học giải tích rồi! :)
Lời giải chẳng thấy "tự nhiên" chút nào!
Điểm bài làm: $d=9$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-1}{2}\right\rfloor+3\times 9+8=60$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 21-12-2012 - 13:30
Chấm điểm!

${\color{DarkRed} \bigstar\bigstar \bigstar \bigstar }$ Trần Văn Chém

#4
Spin9x

Spin9x

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết
BÀI GIẢI:
$© $ có tâm $I(1;1)$ và $R=5$.
Gọi $J(\frac{5}{2};3)$.Ta sẽ CM $MA=2MJ$
Ta có $MA=2MJ$
$\Leftrightarrow$ $MA^2=4MJ^2$
$\Leftrightarrow$ $(\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JA})^2=4(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IJ})^2$
$\Leftrightarrow$ $2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IJ}=3R^2+4IJ^2-IA^2$ (Đúng) $\qquad$ (Vì sao đúng?)
Ta có $MA+2MB=2(MJ+MB)\geq2BJ$.
Dấu bằng có khi $M,B,J$ thẳng hàng
Phương trình $BJ:2x+y-8=0$
Vậy $BJ$ giao $©$ tại 2 điểm có tọa độ $(1;6)$ $(5;-2)$
Thử lại chọn $M(1;6)$ $qquad$(Thử vào đâu nhỉ?)
_______________________________
Trời ạ! Cậu này còn chơi trội hơn (đưa ra điểm $J$ dựa trên cơ sở gì thế không biết!)
:) Choáng!

Bài làm quá vắn tắt, lập luận thiếu căn cứ!
Điểm bài làm: $d=6$

S = 24 + 6*3 = 42

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 24-12-2012 - 15:55
Chấm điểm!

Tôi ơi ! Cố gắng nhiều nhé !

Cố gắng vào đại học nhé !

"Thà để giọt mồ hôi rơi trên trang sách còn hơn để giọt nước mắt rơi cuối mùa thi. "

#5
Gioi han

Gioi han

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $\left ( C \right )$ phương trình $(x-1)^2+(y-1)^2=25$ và các điểm $A(7;9), B(0;8)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc $\left ( C \right )$ sao cho biểu thức $P=MA+2MB$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Đề của hoangkkk

MHS.png
$©$ có tâm $I(1;1),R=5;A,B$ nằm ngoài đường tròn.
Gọi $E(\frac{5}{2};3)$.Ta chứng minh $MA=2ME$
$\Leftrightarrow MA^2=4ME^2$
$\Leftrightarrow (\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2 =(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IE})^2$
$\Leftrightarrow$
$$2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IE}
= 3R^{2} +4 IE^{2}- IA^{2}$$
(dòng này sao không hiện $LATEX$ được ạ)
$$2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IE}
= 3R^{2} +4 IE^{2}- IA^{2}$$
(của em đây!)
Ta có :
$\overrightarrow{IA}-4 \overrightarrow{IE})= \overrightarrow{0}$ $\quad \text{Do} \left(\overrightarrow{IA}=(7-1,9-1)=(6,8);\;4\overrightarrow{IE}=4\left(\tfrac{5}{2}-1,3-1\right)=(6,8)\right)\quad$ phải không?
$3R^2 +4 IE^2- IA^2=0$ $\quad\left(=3.5^2+4\Big(\tfrac{3}{2})^2+2^2\Big)-\Big(6^2+8^2\Big)\right)$
(Vậy đẳng thức đúng; $MA=2ME$ )
$\Rightarrow $ với mọi $M \in (C )$ ta có:
$MA +2MB=2(ME+MB) \geq 2 BE$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $M \in BE$ hay $M$ là giao điểm của $BE$ và đường tròn $©$
Phương trình $BE:$
$\frac{x}{\frac{5}{2}}=\frac{y-8}{3-8}$
$\Leftrightarrow 2x+y-8=0$
Toạ độ giao điểm của BE và (C ) là nghiệm hệ:
$\left\{\begin{matrix} (x-1)^2 +(y-1)^2=25 & & \\ 2x=y-8=0 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y=6 & & \end{matrix}\right.$
hoặc
$\left\{\begin{matrix} x=5 & & \\ y=-2 & & \end{matrix}\right.$

Thử lại ta được $M(1;6) \in BE$. $\quad$ (Chính xác là M phải ở giữa B và E!)
Vậy $M(1;6)$.
Nguồn: đề thi học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Nghệ An năm 2011-2012.
__________________________________
Không biết nhận xét làm sao! :D
Những hệ thức đưa ra kiểu "ta có ..." cũng cần phải giải thích vì ở trên có thấy nhắc đến đâu?
Tuy nhiên, em là một trong số ít bạn nói rõ là thử lại điểm nào nhận điểm nào loại là vì sao :)
Điểm bài làm: $d=9$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-3}{2}\right\rfloor+3\times 9=51$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 21-12-2012 - 13:54
Chấm điểm!


#6
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $\left ( C \right )$ phương trình $(x-1)^2+(y-1)^2=25$ và các điểm $A(7;9), B(0;8)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc $\left ( C \right )$ sao cho biểu thức $P=MA+2MB$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Đề của hoangkkk

Lời giải :
Chuyển phương trình đường tròn về dạng tham số $©:\left\{\begin{matrix}x=1+5sint & & \\ y=1+5cost & & \end{matrix}\right. ,t\in [0;2\pi)$
$M\in ©\Rightarrow M(1+5sint;1+5cost)$
$MA=\sqrt{(1+5sint-7)^2+(1+5cost-9)^2}=\sqrt{-60sint-80cost+125}$
$2MB=2\sqrt{(1+5sint)^2+(1+5cost-8)^2}=2\sqrt{10sint-70cost+75}$

(Bài làm của em đến đây thực sự bế tắc toàn tập!) :D

Do $cost\leq 1\Leftrightarrow -cost\geq -1,\forall t\in [0;2\pi)$
Dấu "=" xảy ra khi $cost=1$ khi đó sint=0
$\Rightarrow MA\geq \sqrt{-80+125}\Leftrightarrow MA\geq 3\sqrt{5}$
$2MB\geq 2\sqrt{75-70}\Leftrightarrow 2MB\geq 2\sqrt{5}$
Do vậy $P=MA+2MB\geq 5\sqrt{5}$
$\Rightarrow MinP=5\sqrt{5}$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix}cost=1 & & \\ sint=0 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow M(1;6)$
Thử lại M(1;6) thỏa bài toán
Vậy M(1;6) là điểm cần tìm
_________________________________
Lập luận này có quá nhiều vấn đề!
Đầu tiên là $MA=\sqrt{-60sint-80cost+125}\ge 3\sqrt{5}$ là sai! Lấy $t=\dfrac{\pi}{4}$ mà xem
Tương tự $MB$ cũng thế
Thứ hai nữa là cho dù $2.MB$ có đạt min nhưng tại vị trí đó $MA$ đâu có đạt min? sao mà kết luận được gì về tổng?
Điểm bài làm: $d=3$
$S=3\times 3+5=14$ (Dưới $5$ điểm hoặc không làm được bài sẽ không có điểm thời gian!)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 21-12-2012 - 13:32
Chấm điểm!


#7
19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $\left ( C \right )$ phương trình $(x-1)^2+(y-1)^2=25$ và các điểm $A(7;9), B(0;8)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc $\left ( C \right )$ sao cho biểu thức $P=MA+2MB$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Đề của hoangkkk

ta có tọa độ tâm đường tròn là $C(1;1)$
Gọi $D$ là giao điểm của $AC$ với đường tròn
suy ra $CD=5$ mà $CA=10$ suy ra $D$ là trung điểm của $AC$ hay $D(4;5)$
gọi $N$ là trung điểm của $CD$ suy ra tọa độ $N(\frac{5}{2};3)$
ta có $\frac{CN}{CM}=\frac{1}{2}=\frac{CD}{CA}=\frac{CM}{CA}$
mà $\Delta MCN$ và $\Delta ACM$ có chung $\widehat{MCN}$ suy ra 2 tam giác đồng dạng
nên ta có $\frac{MN}{AM}=\frac{CM}{CA}=\frac{1}{2}$
suy ra $P=MA+2MB=2(MB+MN)\geq NB$ ĐTXR khi $M$ nằm giữa $N$ và $B$
ta có pt đường thẳng $NB$ là $y=-2x+8$
giao điểm của $NB$ với đường tròn là $M_1(1;6)$ và $M_2(5;-2)$ (loại do $M$ nằm giữa $N$ và $B$)
KL: Vậy $M(1;6)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán
hình ve.png
____________________________________
Bài làm rất tuyệt, hình minh hoạ rõ ràng :)
Điểm bài làm: $d=10$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-15}{2}\right\rfloor+3\times 10=48$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 21-12-2012 - 13:15
Chấm điểm!


#8
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
Em xin đính chính "$MA\geq 3\sqrt{5}$ là do $cost\leq 1\wedge 2MB\geq 2\sqrt{5}$"
Mở rộng : Cho điểm $K(x_k;y_k)$ nằm ngoài đường tròn $©:(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$. Tìm tọa độ của M sao cho độ dài MK nhỏ nhất, lớn nhất biết rằng M thuộc ©
Lời giải :
Chuyển về dạng phương trình tham số $©:\left\{\begin{matrix}x=a+Rsint & & \\ y=b+Rcost & & \end{matrix}\right. ,t\in [0;2\pi)$
$M\in ©\Rightarrow M(a+Rsint;b+Rcost)$
$MK^2=(a+Rsint-x_k)^2+(b+Rcost-y_k)^2=Xsint+Ycost+Z$
Trong đó $X=2R(a-x_k),Y=2R(b-y_k),Z=R^2+(a-x_k)^2+(b-y_k)^2$
Ta tìm min, max của hàm số y=asinx+bcosx với a,b khác 0 (1)
Chia 2 vế của (1) cho $\sqrt{a^2+b^2}$ ta được
$\frac{a.sinx}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b.cosx}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{y}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Vì $(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})^2+(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})^2=1$ nên tồn tại góc $\delta$ sao cho $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=cos\delta ,\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=sin\delta$
Khi đó $(1)\Leftrightarrow sinx.cos\delta +sin\delta .cosx=\frac{y}{\sqrt{a^2+b^2}}\Leftrightarrow sin(x+\delta )=\frac{y}{\sqrt{a^2+b^2}}$ (2)
Phương trình (2) có nghiệm khi
$\left | \frac{y}{\sqrt{a^2+b^2}} \right |\leq 1\Leftrightarrow -\sqrt{a^2+b^2}\leq y\leq \sqrt{a^2+b^2}$
$\Rightarrow Miny=-\sqrt{a^2+b^2},Maxy=\sqrt{a^2+b^2}$
Áp dụng trên ta suy ra
$MaxMK=\sqrt{Z+\sqrt{X^2+Y^2}}$ khi $Xsint+Ycost=\sqrt{X^2+Y^2}$

$MinMK=\sqrt{Z-\sqrt{X^2+Y^2}}$ khi $Xsint+Ycost=-\sqrt{X^2+Y^2}$

__________________________________
Có thể nói "mở rộng" này của em là "thu hẹp" thì đúng hơn, vì biểu thức tìm cực trị còn mỗi một số hạng :)
Hơn nữa có thể chứng minh đơn giản bằng hình học là: "Kẻ từ $K$ qua tâm $I$ của đường tròn, ta được 2 giao điểm, một là gần nhất, cái còn lại là xa nhất" :D
Điểm thưởng: $d_t=5$ (là điểm cho cách làm thôi)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 21-12-2012 - 13:32
Chấm điểm!


#9
carljohnson1997

carljohnson1997

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 36 Bài viết
Từ phương trình đường tròn ta xác định tâm $I(1,1)$ và $R=5$
Lấy điểm $D(\frac{5}{2},3)$
Dễ chứng minh được với mọi $M$ thuộc đường tròn $\left ( C \right )$ ta luôn có $MA=2MD$.
THật vậy. Ta có:
$MA = 2MD$
$\Leftrightarrow$$\overrightarrow{MA}^{2}$ = $4\overrightarrow{MD}^{2}$
$\Leftrightarrow$$(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^{2}=4(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ID})^{2}$
Biến đổi 1 hồi ra đươc biểu thức cuối cùng như sau: $\qquad$ (Ái chà! chỗ này bí hiểm quá nhỉ?)
$2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{ID})=3R^{2}+ID^{2}-IA^{2}$
Dễ thấy $\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}$
và $3R^{2}+4ID^{2}-IA^{2}=0$
($IA^2;\;R^2$ dễ thấy thì còn được, các cái khác thì phải nêu ra nhé! Có ai cho điểm $D$ đâu mà dễ thấy!)
Từ đó suy ra với mọi $M$ thuộc đường tròn $\left ( C \right )$ ta luôn có $MA=2MD$
Ta có: $MA+2MB=2MD+2MB=2(MD+MB) \geq 2BD$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $M\in BD$ $\quad$ (Chính xác phải là $M$ nằm giữa $B$ và $D$)
PHương trình đường thằng BD:
$\frac{x-\frac{5}{2}}{0-\frac{5}{2}}=\frac{y-3}{8-3}$
$\Leftrightarrow 2x+y-8=0$
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
$\left\{\begin{matrix}
2x+y-8=0 & & \\
(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=25& &
\end{matrix}\right.$
Giải hệ tìm ra được:$\left\{\begin{matrix}
x=1 & & \\
y=6& &
\end{matrix}\right.$
Hoặc:$\left\{\begin{matrix}
x=5 & & \\
y=-2& &
\end{matrix}\right.$
Thử lại thấy chỉ có $M(1,6)$ thỏa mãn. (Em thử bằng cách nào hay thế?)
Vậy với điểm M(1,6) thuộc đường tròn $\left ( C \right )$ thì $MA+2MB$ đạt giá trị nhỏ nhất
______________________
Điểm bài làm: $d=8$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-25}{2}\right\rfloor+3\times 8=37$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 21-12-2012 - 13:27
Chấm điểm!

Thông báo khẩn. Nút LIKE hiện nay đang bị hỏng
Ai bấm vào sẽ bị đơ máy hoặc cháy case đột ngột
Không tin bấm thử mà xem
^.^

#10
minh29995

minh29995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $\left ( C \right )$ phương trình $(x-1)^2+(y-1)^2=25$ và các điểm $A(7;9), B(0;8)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc $\left ( C \right )$ sao cho biểu thức $P=MA+2MB$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Đề của hoangkkk

Cách 2:
Gọi $K(\frac{5}{2};3)$ (K nằm trong đường tròn)
Ta chứng minh $MA=2MK$ (*) với mọi $M(x,y) thuộc ©
Thật vậy:
$(*)\Leftrightarrow (x-7)^2+(y-9)^2=4(x-\frac{5}{2})^2+4(y-3)^2$
$\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-1)^2=25$ (Đúng)
Ta có:
$P=2(MK+MB)\geq KB$
Dấu bằng xảy ra khi M là giao của đoạn KB và ©
Suy ra M(1;6) hoặc M(5; -2) nhưng M(5; -2) không thỏa mãn.
KL: $M(1; 6)$
__________________
Lỗi $\LaTeX$ nặng!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 20-12-2012 - 20:21
Chấm điểm!

${\color{DarkRed} \bigstar\bigstar \bigstar \bigstar }$ Trần Văn Chém

#11
minh29995

minh29995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $\left ( C \right )$ phương trình $(x-1)^2+(y-1)^2=25$ và các điểm $A(7;9), B(0;8)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc $\left ( C \right )$ sao cho biểu thức $P=MA+2MB$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Đề của hoangkkk

Bài trên lỗi LATEX chút nên xin BQT xóa cách 2 trên.. lấy bài này!
Cách 2:
Gọi $K(\frac{5}{2};3)$
Ta chứng minh $MA=2MK$ (*) với mọi $M(x,y)$ thuộc ©
Thật vậy:
$(*)\Leftrightarrow (x-7)^2+(y-9)^2=4(x-\frac{5}{2})^2+4(y-3)^2$
$\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-1)^2=25$ (Đúng)
Ta có:
$P=2(MK+MB)\geq KB$
Dấu bằng xảy ra khi M là giao của đoạn KB và ©
Suy ra M(1;6) hoặc M(5; -2) nhưng M(5; -2) không thỏa mãn
KL: $M(1;6)$
(Chỗ này lại ăn bớt công đoạn rồi!)
____________________________________
Chuẩn và "thần bí" quá! - Cách tìm ra điểm $K$ như "bịp" ấy! :D
Điểm thưởng $d_t=8$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 21-12-2012 - 13:29
Chấm điểm!

${\color{DarkRed} \bigstar\bigstar \bigstar \bigstar }$ Trần Văn Chém

#12
Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết

Giải

Do M thuộc ©: $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 25$

Do đó $x_M, y_M \leq 6$.

Ta có:
$MA + 2MB = \sqrt{(x_M - 7)^2 + (y_M - 9)^2} + 2\sqrt{x_M^2 + (y_M - 8)^2}$

$= \sqrt{(7 - x_M)^2 + (9 - y_M)^2} + \sqrt{(2x_M)^2 + (16 - 2y_M)^2}$


Chỗ này phải viết ngược lại là $= \sqrt{(7 - x_M)^2 + (9 - y_M)^2} + \sqrt{(16 - 2y_M)^2+(2x_M)^2}$

Áp dụng BĐT Mincopxki và Bunhia côpxki, ta có:

Bất đẳng thức Bunhiakovski thì có thể không chứng minh, chứ Mincopxki (BĐT tam giác) thì phải chứng minh bằng toạ độ (vecto) nhé!

$MA + 2MB \geq \sqrt{(23 - x_M - 2y_M)^2 + (2x_M - y_M + 9)^2}$

$\geq \dfrac{|2.(23 - x_M - 2y_M) + 1. (2x_M - y_M + 9)|}{\sqrt{2^2 + 1^2}}$

$= \dfrac{55 - 5y_M}{\sqrt{5}} \geq \dfrac{25}{\sqrt{5}} = 5\sqrt{5}$
$\quad$ (chỗ này phải giải thích vì sao $y_M\le 6$, dù là đơn giản)

Vậy $Min_{MA + 2MB} = 5\sqrt{5}$

Dấu "=" xảy ra khi:

$\left\{\begin{matrix} (7 - x_M).2x_M = (9 - y_M)(16 - 2y_M)\\ (x_M - 1)^2 + (y_M - 1)^2 = 25\\ 23 - x_M - 2y_M = 2(2x_M - y_M + 9)\end{matrix}\right.$

(Thiếu điều kiện $y_M=6$)

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_M = 1\\y_M = 6\end{matrix}\right.$

Khi đó: $M = (1; 6)$

____________________________
Thêm một bạn nữa "Đại Số hoá" Hình học giải tích! (BĐT hoá)
Điểm bài làm: $d=7$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-37}{2}\right\rfloor+3\times 7=28$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 21-12-2012 - 12:22
Chấm điểm!

Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#13
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $\left ( C \right )$ phương trình $(x-1)^2+(y-1)^2=25$ và các điểm $A(7;9), B(0;8)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc $\left ( C \right )$ sao cho biểu thức $P=MA+2MB$ đạt giá trị nhỏ nhất.


Gọi $I(1;1)$ là tâm đường tròn $\left ( C \right )$ phương trình $(x-1)^2+(y-1)^2=25$ có bán kính $R=MI=5$ (do $M$ nằm trên đường tròn $\left ( C \right )$)

$\overrightarrow{AI}=(-6;-8)\Rightarrow AI=10=2MI$

Ta có $IA=2IM\Leftrightarrow IA^{2}=4IM\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}^{2}=4\overrightarrow{IM}^{2}$

Giả sử trong đường tròn $\left ( C \right )$ tồn tại điểm $D$ sao cho $MA=2MD$, khi đó ta có:

$MA=2MD$
$\qquad$ Đây là giả thiết, ok

$\Leftrightarrow MA^{2}=4MD^{2}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}^{2}=4\overrightarrow{MD}^{2}$

$\Leftrightarrow (\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^{2}=4(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ID})^{2}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MI}^{2}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IA}^{2}=4\overrightarrow{MI}^{2}+8\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{ID}+4\overrightarrow{ID}^{2}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MI}.(\overrightarrow{IA}-4.\overrightarrow{ID})=3\overrightarrow{MI}^{2}+4\overrightarrow{ID}^{2}-\overrightarrow{IA}^{2}$
$\qquad(**)$

Giả sử $\overrightarrow{IA}=4.\overrightarrow{ID}$ thì ta có $\frac{\overrightarrow{IA}^{2}}{4}=4.\overrightarrow{ID}^{2}$ $\qquad$ (Tiếp tục một giả thiết khác!)

Khi đó, dễ thấy $VP=0$, còn $VT=3\overrightarrow{MI}^{2}+4\overrightarrow{ID}^{2}-\overrightarrow{IA}^{2}=3\overrightarrow{MI}^{2}+\frac{\overrightarrow{IA}^{2}}{4}-\overrightarrow{IA}^{2}=3\overrightarrow{MI}^{2}-\frac{3\overrightarrow{IA}^{2}}{4}$

Vì $\overrightarrow{IA}^{2}=4\overrightarrow{IM}^{2}$ nên $VT=3\overrightarrow{MI}^{2}-\frac{3\overrightarrow{IA}^{2}}{4}=3\overrightarrow{MI}^{2}-3\overrightarrow{MI}^{2}=0=VP$


(Dẫn tới một điều đúng nhưng không chỉ ra nó là duy nhất! Nếu như tồn tại một điểm D' cũng thoả mãn $(**)$ thì sao?

Vậy với $\overrightarrow{IA}=4.\overrightarrow{ID}$ thì $MA=2MD$ hay $MA+2MB=2MD+2MB=2(MD+MB)$, khi đó ta có $P=2(MD+MB)$ nhỏ nhất khi $D;M;B$ thẳng hàng, điều này hoàn toàn xảy ra vì $D$ nằm trong đường tròn, $M$ nằm trên đường tròn, $B$ nằm ngoài đường tròn, vậy ta có $P=2BD$

(Nếu như tồn tại D' thoả $(**)$ mà làm cho MA+2MB có giá trị nhỏ hơn nữa thì sao?)

Khi đó thì tung độ của $M$ nằm trong $(1;8)$ $\quad ?$

Ta có $\overrightarrow{IA}=4.\overrightarrow{ID}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6=4(x_{D}-1)\\ 8=4(y_{D}-1) \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{D}=\frac{5}{2}\\ y_{D}=3 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{D}=\frac{5}{2}\\ y_{D}=3 \end{matrix}\right.$

Vậy $D(\frac{5}{2};3)$

$\overrightarrow{BD}=(\frac{5}{2};-5)\Rightarrow BD=\frac{5\sqrt{5}}{2}$

Vậy $P=2BD=5\sqrt{5}$

Giả sử $(d)$ là đường thẳng đi qua 2 điểm $B;D$

$\Rightarrow (d):2x+y-8=0$

Do $D;M;B$ thẳng hàng nên $M$ là giao điểm của $(d)$ và $\left ( C \right )$, ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} 2x+y=8\\ (x-1)^2+(y-1)^2=25 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=8-2x\\ (x-1)^2+(7-2x)^2=25 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=8-2x\\ x^{2}-6x+5=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=8-2x\\ \begin{bmatrix} x=1\\ x=5 \end{bmatrix}\end{matrix}\right.$

Vậy $M(1;6)$ hay $M(5;-2)$

Mà tung độ của $M$ nằm trong $(1;8)$ nên ta có toạ độ $M(1;6)$

Khi đó:

Vậy $P=MA+2MB=2BD=5\sqrt{5}$

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của $P=MA+2MB=5\sqrt{5}$ khi toạ độ $M(1;6)$


Ảnh chụp màn hình_2012-12-16_161258.png

_____________________________
Bài làm và hướng làm rất tự nhiên, nhưng lập luận còn nhiều sơ hở quá!
Hình như em là người duy nhất chỉ ra lý do xuất hiện điểm D :D
Điểm bài làm: $d=8$
Điểm mở rộng $d_{mr}=10$
Mặc dù em có hai bài mở rộng, nhưng thực chất đó là hai bài toán khác hẳn với bài toán này, 2 bài đó đều dựa trên cùng một cách làm, dù phát biểu có khác nhau. Nếu chịu khó thì em có thể đưa ra $n$ bài, chẳng hạn như: "Tìm M thuộc $( C)$ để cho $\triangle AMB$ vuông; có góc $45^{\circ};v.v...$

$S=\left\lfloor\dfrac{52-50}{2}\right\rfloor+3\times 8+10=35$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 21-12-2012 - 13:45
Chấm điểm!

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#14
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết
MỞ RỘNG 1:

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $\left ( C \right )$ phương trình $(x-1)^2+(y-1)^2=25$ và các điểm $A(7;9), B(0;8)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc $\left ( C \right )$ sao cho $\Delta AMB$ cân tại $M$

Gọi $I(1;1)$ là tâm đường tròn $\left ( C \right )$

Gọi $D$ là trung điểm $AB\Rightarrow D(\frac{7}{2};\frac{17}{2})$

$\overrightarrow{AB}=(-7;-1)$

Giả sử $(d)$ là đường thẳng qua $D$ và vuông góc với $AB$

$\Rightarrow 7x+y-33=0$

Do $\Delta AMB$ cân tại $M$ nên $M \in (d)$

Mặt khác có $M \in (d)$ nên toạ độ $M$ thoả hệ:

$\left\{\begin{matrix} 7x+y=33\\ (x-1)^2+(y-1)^2=25 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=33-7x\\ (x-1)^2+(32-7x)^2=25 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=33-7x\\ \begin{bmatrix} x=5\\ x=4 \end{bmatrix} \end{matrix}\right.$

Vậy toạ độ $M$ là:

$\begin{bmatrix} M(5;-2)\\ M(4;5) \end{bmatrix}$

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#15
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết
MỞ RỘNG 2:

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $\left ( C \right )$ phương trình $(x-1)^2+(y-1)^2=25$ và các điểm $A(7;9), B(0;8)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc $\left ( C \right )$ sao cho $\Delta ABM$ cân tại $B$ (cân tại $A$ cách làm cũng tương tự)

Ta có $\Delta ABM$ cân tại $B$ nên $BA=BM$

Có $\overrightarrow{AB}=(-7;-1)\Rightarrow AB=5\sqrt{2}$

Gọi $(C')$ là đường tròn tâm $B$ có bán kính là $5\sqrt{2}$

$\Rightarrow (C'):x^{2}+(y-8)^{2}=50$

Có $M$ là giao điểm của $©$ và $(C')$ nên toạ độ $M$ thoả hệ:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+(y-8)^{2}=50\\ (x-1)^2+(y-1)^2=25 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-16y=-14\\ x^{2}+y^{2}-2x-2y=23 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow 2x-14y=-37$

$\Leftrightarrow x=\frac{14y-37}{2}$

Có $x^{2}+(y-8)^{2}=50$

$\Leftrightarrow (\frac{14y-37}{2})^{2}+(y-8)^{2}=50$


$\Leftrightarrow 8y^{2}-44y+57=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=\frac{11+\sqrt{7}}{4}\Rightarrow x=\frac{3+7\sqrt{7}}{4}\\ y=\frac{11-\sqrt{7}}{4}\Rightarrow x=\frac{3-7\sqrt{7}}{4} \end{bmatrix}$

Vậy toạ độ $M$ là:

$\begin{bmatrix} M(\frac{3+7\sqrt{7}}{4};\frac{11+\sqrt{7}}{4})\\ M(\frac{3-7\sqrt{7}}{4};\frac{11-\sqrt{7}}{4}) \end{bmatrix}$

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#16
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Trận đấu đã kết thúc! Mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau!

#17
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
Lần này chắc tiêu tan sự nghiệp quá, các cách làm đa dạng mà cơ sở vững chắc :unsure:

#18
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC CỦA hoangkkk
Đề bài :
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $\left ( C \right )$ phương trình $(x-1)^2+(y-1)^2=25$ và các điểm $A(7;9), B(0;8)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc $\left ( C \right )$ sao cho biểu thức $P=MA+2MB$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải :
$\left ( C \right )$ có tâm $I(1,1)$ và bán kính $R=5$.
Gọi $J\left ( \frac{5}{2};3 \right )$. Với mọi $M$ thuộc $\left ( C \right )$ ta chứng minh $MA=2MJ$.
Thật vậy, $MA=2MJ \Leftrightarrow MA^2=4MJ^2$
$\left ( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right )^2=4\left ( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IJ} \right )\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MI}\left ( \overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IJ} \right )=3R^2+4IJ^2-IA^2$
Đẳng thức này đúng do $\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{0}; 3R^2+4IJ^2-IA^2=0$.
Vì thế với mọi điểm $M$ thuộc $\left ( C \right )$ ta có :
$$MA+2MB=2(MJ+MB)\geq 2BJ$$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $M$ thuộc đoạn thẳng $BJ$ (do $B$ nằm ngoài $\left ( C \right )$ và $J$ nằm trong $\left ( C \right )$)
hay $M$ là giao điểm của $\left ( C \right )$ và đường thẳng $BJ$.
$BJ$ có phương trình $2x+y-8= 0$. Tọa độ giao điểm của $BJ$ và $\left ( C \right )$ là nghiệm của hệ phuơng trình
$$\left\{\begin{matrix}
2x+y-8=0 & \\
(x-1)^2+(y-1)^2 =25&
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=1 & \\
y=6&
\end{matrix}\right.$$ hoặc $$\left\{\begin{matrix}
x=5 & \\
y=-2&
\end{matrix}\right.$$.
Điểm $M(1,6)$ thỏa mãn thuộc đoạn thẳng $BJ$ nên tọa độ cần tìm của điểm $M$ là $M(1,6)$.

#19
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Nhận xét chung:
Tất cả các toán thủ ngoại trừ hoangtrong2305, kể cả đáp án của toán thủ ra đề đều ngay lập tức chỉ ra điểm $K(\frac{5}{2},\; 3)$ mà không cho biết nguồn gốc xuất xứ từ đâu?Thực sự đó là chìa khoá của vấn đề!
Không có lời giải nào mang tính thuần tuý hình học :D

Tạm thời có những nhận xét cụ thể từng bài làm như trên để các toán thủ tranh luận đã!
Sáng mai sẽ có điểm cụ thể!

#20
tndmaths

tndmaths

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

Nhận xét chung:
Tất cả các toán thủ ngoại trừ hoangtrong2305, kể cả đáp án của toán thủ ra đề đều ngay lập tức chỉ ra điểm $K(\frac{5}{2},\; 3)$ mà không cho biết nguồn gốc xuất xứ từ đâu?Thực sự đó là chìa khoá của vấn đề!
Không có lời giải nào mang tính thuần tuý hình học :D

Tạm thời có những nhận xét cụ thể từng bài làm như trên để các toán thủ tranh luận đã!
Sáng mai sẽ có điểm cụ thể!

công nhận rằng các toán thủ lấy ra được một điểm siêu thật, không biết có bí quyết gì không ta?




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh