Đến nội dung

Hình ảnh

tam giác đều abc

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
dactai10a1

dactai10a1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 277 Bài viết
cho tam giác đều ABC. H là trung điểm BC. D thuộc AB, E thuộc AC sao cho \[\angle DHE\] =60. Tìm min diện tích tam giác DHE

#2
zipienie

zipienie

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 533 Bài viết
Mình xin phép giải bài toán này bằng phương pháp tọa độ:
Lập hệ trục tọa độ $Oxy$ trong đó gốc tọa độ $O$ trùng với trung điểm $H$ của cạnh $BC$ và $BC$ nằm
trên trục hoành, gọi độ dài cạnh của tam giác đều là $2a$ thì ta tọa độ các đỉnh là $B(-a,0)$, $C(a,0)$ và $A(0,a\sqrt{3})$,
Phương trình đường thẳng $AB: \sqrt{3}x+a\sqrt{3}$, $AC: -\sqrt{3}x+a\sqrt{3}$ ,

Khi đó $D(x, \sqrt{3}x+a\sqrt{3})$ và $E(x,-\sqrt{3}x+a\sqrt{3})$

Độ dài các đoạn thẳng $HD=\sqrt{x^2+(\sqrt{3}x+a\sqrt{3})^2}$ và $HE=\sqrt{x^2+(-\sqrt{3}x+a\sqrt{3})^2}$

Diện tích tam giác $HDE$ tính bởi công thức $S_{\Delta HDE}=\dfrac{HD.HE\sin 60}{2}$ hay bằng

$$S_{\Delta HDE}=\sqrt{x^2+(\sqrt{3}x+a\sqrt{3})^2}.\sqrt{x^2+(-\sqrt{3}x+a\sqrt{3})^2}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}$$

Áp dụng bất đẳng thức Mincopxki ta tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức trên là $\dfrac{2a}{3}$
Vậy diện tích nhỏ nhất của tam giác $HDE$ là $\dfrac{2a}{3}$ trong đó $a$ quy ước như trên. :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zipienie: 15-12-2012 - 18:33

Luận văn, tài liệu tham khảo toán học : http://diendantoanho...ảo/#entry499457

Sách, Luận Văn, Tài liệu tham khảo https://www.facebook...TailieuLuanvan/

#3
robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 207 Bài viết

^^~ ...mình cũng thích pp tọa độ

Sau đây là tọa độ phức
-Chọn hệ tọa độ với đơn vị $\frac{a}{2}$.
Với $z$ là nhãn điểm của $Z$, lấy:
$B=-1$, $C=1$, $a=i\sqrt{3}$, $h=0$
-Với: $\widehat{HBD}=60^o$, có: $d=k.e^{i60^o}-1$
tương tự: $e=h.e^{-i60^o}+1$
($h,k\in R$, $0,5\leq k\leq 2$)
-Với $\widehat{EHD}=60^o$, có $\Delta BDH\sim \Delta CHE$ (khi này,cùng chiều âm)
Nên: $\frac{b-d}{b}=\frac{c}{c-e}\Leftrightarrow de=cd+be\Leftrightarrow hk=-1$
-Có: $2S_{EHD}=\left| e\times d\right|\Rightarrow 4S_{EHD}=\left|\bar{e}d-e\bar{d} \right|=\sqrt{3}\left|k+\frac{1}{k}-1 \right|$
Với $0,5\leq k\leq 2$, nên: $S_{EHD}\geq \frac{\sqrt{3}}{4}$ (Đẳng thức $\Leftrightarrow k=1$, hay $D:$tđ$AB$)
Đổi đơn vị hệ tọa độ, ta được giá trị nhỏ nhất cần tìm ^_^ ($\frac{a^2\sqrt{3}}{16}$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 15-12-2012 - 21:50

^^~




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh