Chủ đề này có 1 trả lời

[tranghieu95]

Ngày 1:

1. Tìm STN $n \ge 3$ sao cho trong $n$ số thực dương $a_1; a_2; ... ; a_n$ thỏa mãn: $max(a_1; a_2; ... ; a_n) \le n.min(a_1; a_2; ... ; a_n)$, sao cho tồn tại 3 số là độ dài 3 cạnh 1 tam giác nhọn.

2. 1 đường tròn được chia thành 432 cung tròn bởi 432 điểm. Các điểm được tô bởi 4 màu: 108 điểm được tô màu đỏ, 108 điểm được tô màu xanh lá cây, 108 điểm được tô màu xanh dương, 108 điểm được tô màu vàng.
CMR: có thể chọn được 3 điểm mỗi màu mà 4 tam giác được tạo thành từ các điểm đó mà các đỉnh trong 1 tam giác không trùng màu, đồng dạng với nhau.

3. Tìm STN $n \ge 2$ sao cho tồn tại 1 dãy vô hạn các số nguyên khác 0 sao cho tồn tại dãy vô hạn $a_1; a_2;...$ sao cho:
$$ a_k+2a_{2k}+...+na_{nk}=0, \forall k \in \mathbb{N*}$$

Ngày 2:

4. Tìm $f: \mathbb{Z^+} \to \mathbb{Z^+}$ thỏa mãn:
(i) $f(n!)=f(n)!, \forall n \in \mathbb{N*}$
(ii) $m-n|f(m)-f(n), \forall m, n \in \mathbb{N*}$

5. Cho điểm $P$ nằm trong tam giác $ABC, \gamma$ là đường thẳng qua $P. A', B', C'$ là giao điểm của đường thẳng đối xứng qua $PA, PB, PC$ của $\gamma$ với $BC, CA, AB$.
CMR: $A', B', C'$ thẳng hàng.

6. Với $n \in \mathbb{N*}, n \ge 2$, gọi $x_1; x_2; ... ; x_n$ là các số thực thỏa mãn:
$$\left\{\begin{matrix}
x_1+x_2+...+x_n=0\\
x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=1
\end{matrix}\right.$$
Với mỗi tập $A\subseteq {1; 2; ... ; n}$ kí hiệu:
$$S_A= \sum_{i \in A}x_i$$
Nếu $A=\varnothing $ thì $S_A=0$.
CMR: với mỗi $\lambda \mathbb{N*}$, số tập $A$ mà $|S_A| \ge \lambda$ nhiều nhất là $\dfrac{2^{n-3}}{\lambda^2}$.
Tìm $x_1; x_2; ... ; x_n; \lambda$ để đẳng thức xảy ra.

[perfectstrong]

Bài 1:
Xác định dãy $(F_n)$ theo quy tắc $F_1=F_2=1;F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$. (Dãy Fibonacci)
Chú ý rằng $F_{12}=12^2$ và $F_n>n^2 \,\,\forall n \ge 13$ (*)
Ta chứng minh rằng nếu $n \ge 13$ thì bài toán thỏa. Thật vậy, giả sử rằng tồn tại $n$ số thực dương tăng dần
$$0<a_1 \le a_2 \le ...\le a_n$$
sao cho không có 3 số nào tạo thành 3 độ dài của 3 cạnh một tam giác nhọn nào đó. Khi đó
$a_3^2 \ge a_2^2+a_1^2=2a_1^2=F_3a_1^2$
$a_4^2 \ge a_3^2+a_2^2=3a_1^2=F_4a_1^2$.
$...$
$a_n^2 \ge F_na_1^2$.
Mặt khác $a_n \le na_1 \Rightarrow n^2 \ge F_n$: điều này mâu thuẫn với (*).
Hay tồn tại $a_i;a_j;a_k$ là độ dài của 3 cạnh một tam giác nhọn. Do đó, mọi số nguyên $n \ge 13$ thỏa đề.
Với $1\le n \le 12$ thì ta chỉ cần xét dãy $(a_n)$ với $a_n=\sqrt{F_n}$ thì dĩ nhiên dãy này không thỏa yêu cầu.
Kết luận: $n \ge 13$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 20-12-2012 - 20:45