Chủ đề này có 1 trả lời

[em yeu chi anh]

Cho tam giác $ABC$. Một đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB, AC$ tại $D$ và $E$. Gọi $P$ là
một điểm bên trong tam giác $ADE$, $F$ và $G$ là giao của $DE$ với $BP$ và $CP$. Đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác $PDG$, đường tròn tâm (I) ngoại tiếp tam giác $PEF$ cắt nhau tại điểm
thứ hai là $Q$. Chứng minh rằng $AQ$ ⊥ $OI$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi em yeu chi anh: 17-12-2012 - 12:54

[WhjteShadow]

Solution:
Ta có $PNEF$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \angle ANP =\angle PFE =\angle PBC$ do ($DE \parallel BC$)
$\Rightarrow PNCB$ là $tgnt$
Tương tự suy ra $\Rightarrow M,N,B,C$ cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp $PBC$.
$\Rightarrow \angle DMN= \angle ACB= \angle DEN$
$\Rightarrow DMNE$ là $tgnt$
Do đường tròn ngoại tiếp $DMNE$ cắt $(I)$ tại $N,E$ nên $NE$ là trục đẳng phương của đường tròn ngoại tiếp $DMNE$ và $(I)$
Ta cũng có $DM$ là là trục đẳng phương của đường tròn ngoại tiếp $DMNE$ và $(O)$
$\Rightarrow \, A$ là tâm đẳng phương của đường tròn ngoại tiếp $DMNE$ và $(I),(O)$
$\Rightarrow PQ$ đi qua $A$, và $PQ \perp IO$
Vậy nên $AQ \perp IO$. $\heartsuit$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 17-12-2012 - 22:08