Chủ đề này có 1 trả lời

[em yeu chi anh]

Cho dãy số $\{u_{n} \}$ được xác định như sau:
$u_{n}=3n^2+3n+7$
với $n= 1,2,3,...$.
CMR ko có số hạng nào của dãy là lập phương của 1 số tự nhiên.

Mod:Sử dụng Latex hoàn toàn trong bài viết.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 19-12-2012 - 17:25

[tramyvodoi]

Cho dãy số {u_n} được xác định như sau:
u_n=3n²+3n+7
với n= 1,2,3,...
CMR ko có số hạng nào của dãy là lập phương của 1 số tự nhiên.

Bài toán sẽ hoàn tất nếu ta chứng minh được phương trình sau k có nghiệm nguyên:
$3n^{2}+3n+7=k^{3}$
<=>$3n^{2}+3n+7-k^{3}=0$
Xem phương trình này ẩn n. tham số k.
Xét$\Delta =3^{2}-4.3.(7-k^{3})=12k^{3}-75$
Ta sẽ chứng minh $\Delta$ không là số chính phương.
Giả sử $\Delta$ là số chính phương.
$\Rightarrow 12k^{3}-75=m^{2}$
Dễ thấy điều sau:
$12k^{3}$ chia hết cho 4
75 chia 4 dư 3
$m^{2}$ chia 4 dư 0,1
nên VT chia 4 dư 3
VP chia 4 dư 0,1
$\Rightarrow$ $\Delta$ k là số chính phương.
từ đây suy ra điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 17-12-2012 - 14:15