Chủ đề này có 1 trả lời

[Tham Lang]

Wow ! Lâu ngày mới post bài.
Bài toán [Tham Lang - Mít]
Chứng minh rằng, nếu $a, b, c>0; a+b+c=3$ thì ta có :
$$\left (ab+bc+ca\right )\left (\dfrac{a}{b+\sqrt{8}}+\dfrac{b}{c+\sqrt{8}}+\dfrac{c}{a+\sqrt{8}}\right ) \le \dfrac{9}{1+2\sqrt{2}}$$
Câu hỏi : Hãy làm mạnh bài toán

[WhjteShadow]

Wow ! Lâu ngày mới post bài.
Bài toán [Tham Lang - Mít]
Chứng minh rằng, nếu $a, b, c>0; a+b+c=3$ thì ta có :
$$\left (ab+bc+ca\right )\left (\dfrac{a}{b+\sqrt{8}}+\dfrac{b}{c+\sqrt{8}}+\dfrac{c}{a+\sqrt{8}}\right ) \le \dfrac{9}{1+2\sqrt{2}}$$
Câu hỏi : Hãy làm mạnh bài toán

:") Lâu ngày mới được làm bài của a Mít:
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$$\frac{(\sqrt{8}+1)^2}{b+\sqrt{8}}\leq \frac{9}{b+2}+\frac{(\sqrt{8}-2)^2}{\sqrt{8}-2}$$
$$\Rightarrow \frac{(\sqrt{8}+1)^2a}{b+\sqrt{8}}\leq \frac{9a}{b+2}+(\sqrt{8}-2)a$$
Tương tự và cộng lại, để ý $a+b+c=3,ab+bc+ca\leq 3$ thì ta chỉ cần chứng minh:
$$(ab+bc+ca).\left(\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\right)\leq 3$$
Quy đồng và khai triển, ta có bất đẳng thức tương đương:
$$(ab+bc+ca).[ab^2+bc^2+ca^2+2(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)+12]\leq 3(a+2)(b+2)(c+2)$$
Chuyển bất đẳng thức về ngôn ngữ $p,q,r$, để ý $ab^2+bc^2+ca^2\leq 4-r$ ta cần chỉ ra:
$$q(34-2q-r)\leq 3(20+2q+r)$$
Nhưng mặt khác the0 $Schur$ thì $r\geq \frac{4q-9}{3}$ Nên cuối cùng cần chứng minh:
$$60+\frac{4q-9}{3}(3+q)+2q^2\geq 28q$$
$$\Leftrightarrow (q-3)(10q-51)\geq 0$$
Luôn đúng do $q\leq 3$
Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=1$ $\square$