Chủ đề này có 5 trả lời

[thanhluong]

Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ có các đường cao $\mathrm{AD}$ $,$ $\mathrm{BE}$ $,$ $\mathrm{CF}$. Gọi $\mathrm{M}$ $,$ $\mathrm{N}$ lần lượt là hình chiếu của $\mathrm{B}$ và $\mathrm{C}$ lên đường thẳng $\mathrm{EF}$. Chứng minh rằng $\mathrm{DE + DF = MN}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 17-12-2012 - 18:13

[thanhluong]

Hình mình bổ sung sau nhé:
Xét $\Delta{BFC}$ vuông tại $F$ có $FD$ là đường trung tuyến nên:

$D$ đâu phải là trung điểm $BC$ đâu anh

[BlackSelena]

Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ có các đường cao $\mathrm{AD}$ $,$ $\mathrm{BE}$ $,$ $\mathrm{CF}$. Gọi $\mathrm{M}$ $,$ $\mathrm{N}$ lần lượt là hình chiếu của $\mathrm{B}$ và $\mathrm{C}$ lên đường thẳng $\mathrm{EF}$. Chứng minh rằng $\mathrm{DE + DF = MN}$.

Lần lượt áp dụng định lý Ptolemy vào các tgnt $BFHD, HDCE$ thì ta có:
$FD = \dfrac{BF.HD + FH + BD}{BH}$ ; $DE = \dfrac{HE.DC + HD.EC}{CH}$
Chú ý, ta có một lô 1 lốc các tam giác đồng dạng sau :
$\triangle{HDB}\sim\triangle{CDA}\sim\triangle{FMB}\sim\triangle{HEA}, \qquad\triangle{HFB}\sim\triangle{AFC}\\ \triangle{HDC}\sim\triangle{BDA}\sim\triangle{ENC}\sim\triangle{HFA}, \qquad\triangle{HEC}\sim\triangle{AEB}$
Bằng niềm tin và lòng nhiệt huyết của tuổi trẻ, ta thế từng tỉ số từ các tam giác đồng dạng vào đẳng thức.
Tới đây làm từ từ thôi kẻo nhầm @_@!
Xét biểu thức $DF = \dfrac{BF.HD + FH.BD}{BH} = \dfrac{BF.HD}{BH} + \dfrac{FH.BD}{BH}$
Có $BF. \dfrac{BD}{BH} = BF . \dfrac{HE}{AH} = BF \dfrac{MF}{BF} = MF$
$BD. \dfrac{FH}{BH} = BD.\dfrac{AF}{AC}$
Vậy túm cái váy lại thì $DF = MF + BD\dfrac{AF}{AC}$
Tương tự ( ), ta có $DE = CD.\dfrac{AE}{AB} + EN$
Vậy để chứng minh $MN = DE + DF$ thì ta chỉ cần chỉ ta $EF = BD.\dfrac{AF}{AC} + CD.\dfrac{AE}{AB}$
Đẳng thức trên tương đương
$EF = BD.\dfrac{HF}{BH} + CD.\dfrac{HE}{CH}$
$\Leftrightarrow EF = HF.\dfrac{BD}{BH} + HE.\dfrac{CD}{CH}$
$\Leftrightarrow EF = HF.\dfrac{AE}{AH} + HE.\dfrac{AF}{AH}$
$\Leftrightarrow EF.AH = HF.AE + HE.AF$
Đẳng thức cuối luôn đúng theo Ptolemy cho tứ giác nội tiếp $AFHE$
Vậy ta có đpcm.

[baoquoc]

Cách khác gọn hơn (các bạn dựa vào hình vẽ của bạn blackselena nhé, mình hổng bik vẽ trên này)

B, C lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc E và F của tam giác DFE

đặt p nửa là chu vi của tam giác DEF, vậy thì EM=FN=p (đây là kết quả quen thuộc, ai ko bik mình gợi ý:kẻ BK vuông góc DE, có EM=EK,mà EM+EK=EF+ED+FD=2p)

Từ đây có EM+FN =2p, hay là MN+EF= DE+FE+DF, suy ra MN=DE+DF, kết thúc bài toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baoquoc: 17-12-2012 - 22:33

[thanhluong]

Cách khác gọn hơn (các bạn dựa vào hình vẽ của bạn blackselena nhé, mình hổng bik vẽ trên này)

B, C lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc E và F của tam giác DFE (dễ dàng đúng ko các bạn)

đặt p nửa là chu vi của tam giác DEF, vậy thì EM=FN=p

Từ đây có EM+FN =2p, hay là MN+EF= DE+FE+DF, suy ra MN=DE+DF, kết thúc bài toán

Bạn có thể nói rõ vì sao $EM=p$ không?

[baoquoc]

@ Thanh Lương: MÌnh chỉnh sửa cho cụ thể hơn rồi đó, đc chưa bạn, chú ý B là tâm bàng tiếp DEF