Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng: $ab\leq a^a.b^b$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
Chứng minh rằng: Nếu $a, b >0$ và $a+b=2$ thì $ab\leq a^a.b^b$

$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#2
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết

vì $a+b=2$ nên phải có 1 số $\geq 1$, giả sử đó là a, ta có
$a\geq 1>b$
Do đó $[a,b]\succ [1,1]$ nên theo bdt Muirhead ta có
$a^{a}b^{b}\geq a^{1}b^{1}$ (dpcm)
dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$??

:angry: trời ơi sao cứ nhầm lẫn bdt Muirdead thế này :wacko:

Chứng minh rằng: Nếu $a, b >0$ và $a+b=2$ thì $ab\leq a^a.b^b$

đây mới là lời giải đúng nè bạn :icon6:
vì $a+b=2$ nên phải có 1 số $\geq 1$, giả sử đó là a, ta có
$a\geq 1\geq b$ do đó tồn tại số không âm c sao cho
$a-c=1;b+c=1$
Ta có
$a^{a}b^{b}=a^{1+c}b^{1-c}=ab.\frac{a^{c}}{b^{c}}$
mà $a\geq 1\geq b\Rightarrow \frac{a}{b}\geq 1\Rightarrow \frac{a^{c}}{b^{c}}\geq 1$
Do đó
$ab.\frac{a^{c}}{b^{c}}\geq ab$
hay
$a^{a}b^{b}\geq ab$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

#3
yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết

:angry: trời ơi sao cứ nhầm lẫn bdt Muirdead thế này :wacko:
đây mới là lời giải đúng nè bạn :icon6:
vì $a+b=2$ nên phải có 1 số $\geq 1$, giả sử đó là a, ta có
$a\geq 1\geq b$ do đó tồn tại số không âm c sao cho
$a-c=1;b+c=1$
Ta có
$a^{a}b^{b}=a^{1+c}b^{1-c}=ab.\frac{a^{c}}{b^{c}}$
mà $a\geq 1\geq b\Rightarrow \frac{a}{b}\geq 1\Rightarrow \frac{a^{c}}{b^{c}}\geq 1$
Do đó
$ab.\frac{a^{c}}{b^{c}}\geq ab$
hay
$a^{a}b^{b}\geq ab$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

Cảm ơn bạn nhiều nha, hic hic bài trước mình đọc mà chẳng hiểu gì hết! May quá!

$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh