Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh rằng: $ab\leq a^a.b^b$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Mỹ Châu

Đã gửi 17-12-2012 - 20:43

Chứng minh rằng: Nếu $a, b >0$ và $a+b=2$ thì $ab\leq a^a.b^b$

$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#2 Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 17-12-2012 - 22:32

vì $a+b=2$ nên phải có 1 số $\geq 1$, giả sử đó là a, ta có
$a\geq 1>b$
Do đó $[a,b]\succ [1,1]$ nên theo bdt Muirhead ta có
$a^{a}b^{b}\geq a^{1}b^{1}$ (dpcm)
dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$??

:angry: trời ơi sao cứ nhầm lẫn bdt Muirdead thế này :wacko:

Chứng minh rằng: Nếu $a, b >0$ và $a+b=2$ thì $ab\leq a^a.b^b$

đây mới là lời giải đúng nè bạn :icon6:
vì $a+b=2$ nên phải có 1 số $\geq 1$, giả sử đó là a, ta có
$a\geq 1\geq b$ do đó tồn tại số không âm c sao cho
$a-c=1;b+c=1$
Ta có
$a^{a}b^{b}=a^{1+c}b^{1-c}=ab.\frac{a^{c}}{b^{c}}$
mà $a\geq 1\geq b\Rightarrow \frac{a}{b}\geq 1\Rightarrow \frac{a^{c}}{b^{c}}\geq 1$
Do đó
$ab.\frac{a^{c}}{b^{c}}\geq ab$
hay
$a^{a}b^{b}\geq ab$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

#3 yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Mỹ Châu

Đã gửi 18-12-2012 - 11:22

:angry: trời ơi sao cứ nhầm lẫn bdt Muirdead thế này :wacko:
đây mới là lời giải đúng nè bạn :icon6:
vì $a+b=2$ nên phải có 1 số $\geq 1$, giả sử đó là a, ta có
$a\geq 1\geq b$ do đó tồn tại số không âm c sao cho
$a-c=1;b+c=1$
Ta có
$a^{a}b^{b}=a^{1+c}b^{1-c}=ab.\frac{a^{c}}{b^{c}}$
mà $a\geq 1\geq b\Rightarrow \frac{a}{b}\geq 1\Rightarrow \frac{a^{c}}{b^{c}}\geq 1$
Do đó
$ab.\frac{a^{c}}{b^{c}}\geq ab$
hay
$a^{a}b^{b}\geq ab$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

Cảm ơn bạn nhiều nha, hic hic bài trước mình đọc mà chẳng hiểu gì hết! May quá!

$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh