Chủ đề này có 3 trả lời

[em yeu chi anh]

Tìm 9 số nguyên tố nhỏ hơn 2002 sao cho chúng tạo thành 1 cấp số cộng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi em yeu chi anh: 17-12-2012 - 23:53

[nguyenta98]

Tìm 9 số nguyên tố nhỏ hơn 2002 sao cho chúng tạo thành 1 cấp số cộng

Giải như sau:
Gọi $9$ số là $a,a+k,a+2k,a+3k,a+4k,...,a+8k$ $(*)$ với $k>0$ lập thành cấp số cộng với $a+ik$ với $0\le i\le 8$ là số nguyên tố
Suy ra $a>7$ vì nếu $a\le 7$ thì $a=2,3,5,7$ khi ấy chọn $i$ tương ứng sao cho $i=a$ thì $a+ik \vdots a$ không là số nguyên tố nên loại, do đó $a>7$ như vậy ta sẽ cm $k \vdots 2,3,5,7$ vì ngược lại nếu $k \not \vdots p$ với $p \in (2,3,5,7)$
Khi ấy do $a \not \vdots p$ (vì $a$ nguyên tố và $a>7$) nên xét dãy $a,a+1k,a+2k,...,a+(p-1)k$ $(1)$ thấy dãy trên có $p$ phần tử và $p \in (2,3,5,7)$ nên $p<8$ mặt khác hai phần tử bất kì của dãy trên có số dư khác nhau khi chia cho $p$ vì ngược lại $a+mk \equiv a+nk \pmod{p} \Rightarrow m \equiv n \pmod{p}$ vô lí vì $m,n<p$ do đó các số của dãy $(1)$ có số dư khác nhau đôi một khi chia cho $p$ nên tồn tại $a+ik \vdots p$ mà $i\le p-1<p<8$ nên $a+ik$ thuộc dãy $(*)$ vô lí vì mọi số của dãy $(*)$ đều là số nguyên tố do đó điều giả sử là sai nên $k \vdots 2,3,5,7$ mà $2,3,5,7$ nguyên tố cùng nhau đôi một
Do đó $k \vdots 210$ nên $k=210$ vì ngược lại $k\geq 420 \Rightarrow a+8k>2002$ vô lí
Như vậy $k=210$ do đó dãy $(*)$ là $a,a+210,a+2.210,...,a+8.210$
Mà $a>7$ nên $a\geq 11$ và $a+8.210\le 2002 \Rightarrow a\le 322$
Nhận thấy $a=11$ thì $a+210 \vdots 13$ nên loại, với $a=13$ thử trực tiếp ta có ngay bộ $9$ số $13,223,...,1693$

[em yeu chi anh]

Giải như sau:
Gọi $9$ số là $a,a+k,a+2k,a+3k,a+4k,...,a+8k$ $(*)$ với $k>0$ lập thành cấp số cộng với $a+ik$ với $0\le i\le 8$ là số nguyên tố
Suy ra $a>7$ vì nếu $a\le 7$ thì $a=2,3,5,7$ khi ấy chọn $i$ tương ứng sao cho $i=a$ thì $a+ik \vdots a$ không là số nguyên tố nên loại, do đó $a>7$ như vậy ta sẽ cm $k \vdots 2,3,5,7$ vì ngược lại nếu $k \not \vdots p$ với $p \in (2,3,5,7)$
Khi ấy do $a \not \vdots p$ (vì $a$ nguyên tố và $a>7$) nên xét dãy $a,a+1k,a+2k,...,a+(p-1)k$ $(1)$ thấy dãy trên có $p$ phần tử và $p \in (2,3,5,7)$ nên $p<8$ mặt khác hai phần tử bất kì của dãy trên có số dư khác nhau khi chia cho $p$ vì ngược lại $a+mk \equiv a+nk \pmod{p} \Rightarrow m \equiv n \pmod{p}$ vô lí vì $m,n<p$ do đó các số của dãy $(1)$ có số dư khác nhau đôi một khi chia cho $p$ nên tồn tại $a+ik \vdots p$ mà $i\le p-1<p<8$ nên $a+ik$ thuộc dãy $(*)$ vô lí vì mọi số của dãy $(*)$ đều là số nguyên tố do đó điều giả sử là sai nên $k \vdots 2,3,5,7$ mà $2,3,5,7$ nguyên tố cùng nhau đôi một
Do đó $k \vdots 210$ nên $k=210$ vì ngược lại $k\geq 420 \Rightarrow a+8k>2002$ vô lí
Như vậy $k=210$ do đó dãy $(*)$ là $a,a+210,a+2.210,...,a+8.210$
Mà $a>7$ nên $a\geq 11$ và $a+8.210\le 2002 \Rightarrow a\le 322$
Nhận thấy $a=11$ thì $a+210 \vdots 13$ nên loại, với $a=13$ thử trực tiếp ta có ngay bộ $9$ số $13,223,...,1693$

Ta thấy ngay 1273 thuộc dãy trên mà 1273=19.67
Ko được rồi
---------------------------
P/s: công sai là 210 đúng rồi nhưng $a=199$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi em yeu chi anh: 18-12-2012 - 19:42

[nguyenta98]

Ta thấy ngay 1273 thuộc dãy trên mà 1273=19.67
Ko được rồi
---------------------------
P/s: công sai là 210 đúng rồi nhưng $a=199$

Đúng là mình nhầm lẫn, mình sẽ sửa sai:
Giải như sau: (tiếp)
Ở trên ta đã cm $n\geq 11$ ($n=11$ loại) nên $n>11$
Ta thấy $210 \equiv 1 \pmod{11}$ do đó $210.0,210.1,...,210.8$ mang đủ $9$ số dư $0,1,2,...,8$ khi chia cho $11$
Do đó $a \equiv 0,1 \pmod{11}$ vì ngược lại $a \equiv k$ với $k\geq 2$ thì tồn tại $210.j \equiv 11-k \pmod{11}$ mà $k\geq 2$ nên $11-k \in (0,1,2,...,8)$ nên trong $9$ số $a+210.0,...,a+210.8$ có một số chia hết cho $11$ loại do đó $a \equiv 0,1 \pmod{11}$ mà $a>11$ nên $a \equiv 1 \pmod{11}$ nên $a=(23,67,89,199)$ chú ý $a$ nguyên tố và $a\le 322$ (như đã cm ở post trên)
Ta có $a=89$ thì $a+210.6 \vdots 19$ (chú ý $210 \equiv 1 \pmod{19}$) nên loại
Do đó $a=(23,67,199)$
Với $a=23$ ta có $23+210.8 \vdots 13$ (cách thử vô cùng đơn giản $210 \equiv 2 \pmod{13}$ và $a \equiv 10 \pmod{13}$ khi ấy $10+2.8 \vdots 13$ nên $23+210.8 \vdots 13$)
Với $a=67$ suy ra $67+210.3 \vdots 17$ (cách thử y như $a=23$ với ước là $17$)
Như vậy chỉ còn $a=199$ và dễ cm nó đúng bằng cách thử hiệu quả như trên
Vậy $\boxed{199,...,1879}$

P/S Giờ chắc là ổn ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 18-12-2012 - 20:24