Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Tìm các giá trị nguyên $x, y$ thoả mãn đẳng thức: $(y+2)x^2+1=y^2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Mỹ Châu

Đã gửi 18-12-2012 - 18:13

a) Giải phương trình: $4\sqrt{x+1}=x^2-5x+14$
b) Tìm các giá trị nguyên $x, y$ thoả mãn đẳng thức: $(y+2)x^2+1=y^2$

$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#2 duongtoi

duongtoi

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 747 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 18-12-2012 - 18:22

b) Ta có $y=-2$ không phải là nghiệm. Vậy $y+2\ne 0$.
PT tương đương $x^2=\frac{y^2-1}{y+2}=y-2+\frac{3}{y+2}$
Theo giả thiết $x$ nguyên nên $y+2=$Ư$(3)=\{\pm1;\pm 3\}$
Mặt khác, $x^2\ge0$ nên $\frac{y^2-1}{y+2}\ge0\Leftrightarrow y\ge1$ vì $y$ nguyên.
Do vậy, Chỉ có $y=1$ là thỏa mãn. Suy ra $x=0$.
Vậy PT có nghiệm nguyên là $x=0;y=1$

#3 Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:My house

Đã gửi 18-12-2012 - 18:28

b)Ta có:
$(y+2)x^2+1=y^2$
$\Longleftrightarrow 1=(y-x\sqrt{y+2})(y+x\sqrt{y+2})$
TH1:
$\left\{\begin{matrix}
y+x\sqrt{y+2}=1\\y-x\sqrt{y+2}=1

\end{matrix}\right.$
Dể thấy hpt vô nghiệm nguyên
TH2:
$\left\{\begin{matrix}
y+x\sqrt{y+2}=-1\\y-x\sqrt{y+2}=-1

\end{matrix}\right.$
$\Longleftrightarrow y=1;x=0$

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#4 tramyvodoi

tramyvodoi

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1044 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hồ Chí Minh
  • Sở thích:dota, học toán

Đã gửi 18-12-2012 - 18:29

Ta có $x^{2}-5x+14=x^{2}-6x+9+x+5=(x-3)^{2}+x+5\geq x+5\geq x+1+4\geq 4\sqrt{x+1}$
Dấu "=" xãy ra khi x=3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 18-12-2012 - 18:30


#5 duongtoi

duongtoi

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 747 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 18-12-2012 - 18:35

a) Nhẩm thấy PT có nghiệm $x=3$ nên ta có
PT tương đương $4\sqrt{x+1}-8=x^2-5x+6$
$\Leftrightarrow 4\frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}=(x-3)(x-2)$
$x=3$ là nghiệm
$x\ne3$. Ta có, PT$\Leftrightarrow (x-2)(\sqrt{x+1}+2)=4$
Đặt $\sqrt{x+1}=t$. ĐK $t\ge0$. Ta có
PT $\Leftrightarrow (t^2-3)(t+2)=4$
$\Leftrightarrow t^3+2t^2-3t-10=0$
$\Leftrightarrow (t-2)(t^2+4t+5)=0$
$t=2\Leftrightarrow x=3$
Vậy PT có nghiệm duy nhất $x=3$.

#6 yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Mỹ Châu

Đã gửi 18-12-2012 - 20:30

Ta có $x^{2}-5x+14=x^{2}-6x+9+x+5=(x-3)^{2}+x+5\geq x+5\geq x+1+4\geq 4\sqrt{x+1}$
Dấu "=" xãy ra khi x=3

Bạn ơi cho mình hỏi vì sao $x+1+4\geq 4\sqrt{x+1}$

$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#7 Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 18-12-2012 - 20:40

Bạn ơi cho mình hỏi vì sao $x+1+4\geq 4\sqrt{x+1}$

AM-GM đấy




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh