Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh rằng không có số nguyên tố $n$ nào thoả mãn hệ thức $n^3+2006n=2008^{2008}+1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Mỹ Châu

Đã gửi 19-12-2012 - 18:47

a) Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ thì $(p^2-1)\vdots 24$
b) Chứng minh rằng không có số nguyên tố $n$ nào thoả mãn hệ thức:
$$n^3+2006n=2008^{2008}+1$$

$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#2 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-12-2012 - 19:02

a) Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ thì $(p^2-1)\vdots 24$

Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p$ là số lẻ.
Ta có:
$p^2-1=(p-1)(p+1)$
Mà $p$ là số lẻ nên $p-1$ và $p+1$ là $2$ số chẵn liên tiếp.
Do đó $p^2-1\vdots 8$
Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p=3k\pm 1$
Ta có: $p^2-1=(3k\pm 1)^2-1=9k^2\pm 6k+1-1=9k^2\pm 6k\vdots 3$
Do đó $p^2-1\vdots 3;$ $p^2-1\vdots 8$ mà $(3;8)=1$ nên $p^2-1\vdots 24.$

#3 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 19-12-2012 - 20:13

b) Chứng minh rằng không có số nguyên tố $n$ nào thoả mãn hệ thức:
$$n^3+2006n=2008^{2008}+1$$

$VT=(n^3-n)+2007n$ chia hết cho $3$.
Trong khi đó $2008 \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow 2008^{2008}+1 \equiv 2 \pmod{3}$, mâu thuẫn. Vậy không tồn tại $n$.
P/s: Đây đâu phải chắc $n$ nguyên là không được đâu nhỉ ??
“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#4 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 19-12-2012 - 20:24

a) Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ thì $(p^2-1)\vdots 24$
b) Chứng minh rằng không có số nguyên tố $n$ nào thoả mãn hệ thức:
$$n^3+2006n=2008^{2008}+1$$

Giải như sau:
b) Câu này không đến mức phải tung điều kiện $n$ nguyên tố
Bổ đề: $p \in P$ và $p \equiv 3 \pmod{4}$ khi ấy $p|a^2+b^2 \Leftrightarrow p|a,b$
Cm bổ đề này khá đơn giản, xin không nhắc lại
Áp dụng ta có $n(n^2+2006)=2008^{2008}+1$ suy ra $n$ lẻ nên $n=4k+1,4k+3$
Nếu $n=4k+3$ thì nó có ít nhất một ước nguyên tố dạng $4k+3$ nên gọi $p$ là số ấy
Khi đó theo bổ đề $p|2008^{1004},p|1$ nên loại
Nếu $n=4k+1$ suy ra $n^2+2006 \equiv 3 \pmod{4}$ nên $n^2+2006$ cũng có một ước nguyên tố $r$ có dạng $4k+3$
Áp dụng bổ đề suy ra $r|2008^{1004}$ và $r|1$ suy ra loại
Vậy không có $n$ thỏa mãn

P/S còn cách khác nếu bài này cố tình tung điều kiện $n$ nguyên tố
Bổ đề: $a^x-1 \vdots p, a^y-1 \vdots p$ với $x$ min và $gcd(a,p)=1$ thì $y \vdots x$
Chứng minh nó phản chứng rất dễ, giả sử $y=xk+r$ với $0<r<x$ thì suy ra $a^r-1 \vdots p$ khi ấy $r<x$ vô lí vì $x$ nhỏ nhất
Áp dụng:
$n(n^2+2006)=2008^{2008}+1 \Rightarrow 2008^{2008}+1 \vdots n \Rightarrow 2008^{16.251}-1 \vdots n$
Và dễ thấy $n>2008^2$ (vì nếu không $VT<VP$)
TH1: $n \vdots 251$ suy ra $VT \vdots 251$ còn $VP$ thì không suy ra loại
TH2: $n \not \vdots 251$
Ta có theo Fermat nhỏ $2008^{n-1}-1 \vdots n$
Gọi $h$ là số nhỏ nhất thỏa $2008^h-1 \vdots n$ khi ấy áp dụng bổ đề suy ra $n-1 \vdots h$ và $16.251 \vdots h$
Ta thấy $n \equiv 1 \pmod{h}$ nên $n(n^2+2006) \equiv 1.(1+2006) \equiv 2007 \pmod{h}$
Do đó $2008^{2008}+1 \equiv 2007 \pmod{h} \Rightarrow 2008^{2008}-2006 \vdots h$
Ta lại có $16.251 \vdots h \Rightarrow 2.2008 \vdots h$
Lại thấy nếu $gcd(h,2008)\neq 1$ thì $h \vdots p$ và $2008 \vdots p$
Khi ấy $2008^{2008}-2006 \vdots h \vdots p$ mà $2008 \vdots p$ nên $2006 \vdots p$ suy ra $2008-2006 \vdots p$ suy ra $p=2$
Như vậy $gcd(h,2008)=2$ hoặc $gcd(h,2008)=1$ nhưng do $2.2008 \vdots h$ nên nếu $gcd(h,2008)=1$ thì $h=1$ khi ấy $2008-1 \vdots n$ vô lí vì ta đã cm $n>2008^2$ như vậy $gcd(h,2008)=2$ mà $2.2008 \vdots h$ nên $h=2^x.251^y$ với $x\le 4$ và $y\le 1$ kết hợp $gcd(h,2008)=2$ suy ra $h=2$ khi ấy $2008^2-1 \vdots n$ vô lí vì ta đã cm $n>2008^2$
Vậy không có $n$ thỏa đề




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh