Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$ cố định


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Mỹ Châu

Đã gửi 20-12-2012 - 20:03

Cho hai đường tròn đồng tâm $O$ có bán kính $R$ và $r$ ($R>r$). $A$ và $M$ là $2$ điểm thuộc đường tròn nhỏ, qua $M$ vẽ dây $BC$ của đường tròn lớn sao cho $BC\perp AM$.
a) Tính $MA^2+MB^2+MC^2$ theo $R$ và $r$.
b) Chứng minh: trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$ cố định.

$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#2 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 20-12-2012 - 21:06

37a026261e786fdaf849ccecb017226e_46538343.75187.png
$BC \cap (O;r) = D$
Hạ $OI \perp MD$. Dễ dàng chứng minh: $A,O,D:thẳng hàng$
Không mất tính tổng quát, giả sử B,M,I,D,C thẳng hàng theo thứ tự đó
Lần lượt theo Pythagore, ta có:
$MA^2+MB^2+MC^2=4OI^2+(IB-IM)^2+(MI+IC)^2$
$=4OI^2)+IB^2-2BI.IM+IM^2+IM^2+2IM.IC+IC^2$
$=2(r^2+R^2):const$
b, Gọi $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$, mà $AI$ là trung tuyến.
Vậy với cách xác định điểm $G$ như trên, $G$ cũng là trọng tâm $\triangle AMD$
$\Rightarrow \frac{MG}{MO} = \frac{2}{3}$
Mà $O:const \Rightarrow G:const$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 20-12-2012 - 21:06

"I helped rehabilitate a part of the world. If I use this ability, maybe I can even help restore the rest of this depraved world."

#3 yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Mỹ Châu

Đã gửi 20-12-2012 - 21:20

37a026261e786fdaf849ccecb017226e_46538343.75187.png
$BC \cap (O;r) = D$
Hạ $OI \perp MD$. Dễ dàng chứng minh: $A,O,D:thẳng hàng$
Không mất tính tổng quát, giả sử B,M,I,D,C thẳng hàng theo thứ tự đó
Lần lượt theo Pythagore, ta có:
$MA^2+MB^2+MC^2=4OI^2+(IB-IM)^2+(MI+IC)^2$
$=4OI^2)+IB^2-2BI.IM+IM^2+IM^2+2IM.IC+IC^2$
$=2(r^2+R^2):const$
b, Gọi $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$, mà $AI$ là trung tuyến.
Vậy với cách xác định điểm $G$ như trên, $G$ cũng là trọng tâm $\triangle AMD$
$\Rightarrow \frac{MG}{MO} = \frac{2}{3}$
Mà $O:const \Rightarrow G:const$

Làm thế nào để c/m $A, O, D$ thằng hàng anh. Em chứng minh mà chẳng biết đúng sai thế nào nữa!

$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#4 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 20-12-2012 - 21:39

Làm thế nào để c/m $A, O, D$ thằng hàng anh. Em chứng minh mà chẳng biết đúng sai thế nào nữa!

$\angle AMD = 90^\circ$ mà em :)
"I helped rehabilitate a part of the world. If I use this ability, maybe I can even help restore the rest of this depraved world."

#5 pnhungqt

pnhungqt

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-12-2012 - 13:25

Do $\angle AMD =90^{\circ}$ nên AD là đường kính của đường tròn O $\Rightarrow O\in AD$. Vậy $A,O,D$ thẳng hàng

#6 yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Mỹ Châu

Đã gửi 23-12-2012 - 06:40

$\angle AMD = 90^\circ$ mà em :)

Anh ơi, ở đây ta nói $G$ cố định, tức là $G$ cố định nhưng di động trên một đường tròn phải không anh?

$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#7 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 23-12-2012 - 09:36

Anh ơi, ở đây ta nói $G$ cố định, tức là $G$ cố định nhưng di động trên một đường tròn phải không anh?

Không em à, nó là 1 điểm cố định rồi. Vì vị trí điểm $A,M,D$ đều cố định
"I helped rehabilitate a part of the world. If I use this ability, maybe I can even help restore the rest of this depraved world."

#8 yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Mỹ Châu

Đã gửi 23-12-2012 - 10:08

Không em à, nó là 1 điểm cố định rồi. Vì vị trí điểm $A,M,D$ đều cố định

Vậy nếu đề bài cho điểm ...,... thuộc đường tròn mà không nói cố định hay di động thi ta hiểu đó là cố định hả anh? Để kết luận G cố định thì cuối cùng có cần nói $A, M, D$ cố định nữa không anh, hay chỉ cần $O$ là đủ.

$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh