CM:$2.m^{m}.n^{n}\geq 1$
#1
Đã gửi 20-12-2012 - 20:45
CM:$2.m^{m}.n^{n}\geq 1$
#2
Đã gửi 21-12-2012 - 12:24
Do $2=2^{m}.2^{n}$ thì ta có thể viết lại điều phải chứng minh thành:Cho m,n là các số dương thỏa mãn:m+n=1
CM:$2.m^{m}.n^{n}\geq 1$
$$(2m)^{m}.(2n)^{n}\geq 1$$
Thật tự nhiên, ta muốn áp dụng bất đẳng thức $Bernoulli$ để khử đi số mũ khó chịu kia. Nhưng $m,n<1$ nên ta không thể áp dụng trực tiếp $Bernoulli$.
Nhưng với một biến đổi nhỏ, ta có thể biến điều không thể thành có thể :")
$(2m)^{m}=\dfrac{1}{\left(\frac{1}{2m}\right)^{m}}\geq \frac{1}{\frac{1}{2}+1-m}=\frac{2}{3-2m}$
Tương tự và nhân lại, cuối cùng ta phải chỉ ra:
$$4\geq (3-2m)(3-2n)$$
$$\Leftrightarrow 6(m+n)+4\geq 9+4mn$$
$$\Leftrightarrow 4mn\leq 1=(m+n)^2$$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng the0 $AM-GM$
Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra tại $m=m=\frac{1}{2}$ $\heartsuit$ ...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 21-12-2012 - 12:25
- kunkute, davildark và em yeu chi anh thích
#3
Đã gửi 21-12-2012 - 14:56
Bất đẳng thức Bernoulli được sử dụng trực tiếp khi nào nhỉ?Thi học sinh giỏi có cho sử dụng trực tiếp(k cần CM) hay không?Do $2=2^{m}.2^{n}$ thì ta có thể viết lại điều phải chứng minh thành:
$$(2m)^{m}.(2n)^{n}\geq 1$$
Thật tự nhiên, ta muốn áp dụng bất đẳng thức $Bernoulli$ để khử đi số mũ khó chịu kia. Nhưng $m,n<1$ nên ta không thể áp dụng trực tiếp $Bernoulli$.
Nhưng với một biến đổi nhỏ, ta có thể biến điều không thể thành có thể :")
$(2m)^{m}=\dfrac{1}{\left(\frac{1}{2m}\right)^{m}}\geq \frac{1}{\frac{1}{2}+1-m}=\frac{2}{3-2m}$
Tương tự và nhân lại, cuối cùng ta phải chỉ ra:
$$4\geq (3-2m)(3-2n)$$
$$\Leftrightarrow 6(m+n)+4\geq 9+4mn$$
$$\Leftrightarrow 4mn\leq 1=(m+n)^2$$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng the0 $AM-GM$
Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra tại $m=m=\frac{1}{2}$ $\heartsuit$ ...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kunkute: 21-12-2012 - 14:57
#4
Đã gửi 21-12-2012 - 14:59
#5
Đã gửi 23-12-2012 - 09:15
!
#6
Đã gửi 23-12-2012 - 09:42
Bạn xem BĐT này ở đây nhé.cho mình hỏi bđt becnoulli áp dụng cho cả số mũ thực hả. Mà ở bài trên bạn áp dụng thế nào vậy. please cụ thể đựơc không . Thanks rất nhiều
!
BĐT Bernoulli là BĐT khá quan trọng chỉ sau 2 BĐT Cauchy và Bunhiacopski thôi.
Thật ra BĐT này thường thì lớp 11 được giới thiệu trong bài quy nạp. Đi thi ĐH thì cần phải chứng minh lại nhưng chứng minh lại BĐT này rất đơn giản mất khoảng chưa tới 35 giây đâu bạn.
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#7
Đã gửi 23-12-2012 - 11:30
Đề bài cho m,n dương và $m+n=1$ nên ta có thể đặt $m=0.5+x$ và $n=0.5-x$ $(-0.5<x<0.5)$
BPT trở thành $(0.5+x)^{0.5+x}(0.5-x)^{0.5-x} \geq 0.5$
Xét $f(x) = (0.5+x)^{0.5+x}(0.5-x)^{0.5-x}$trên $(-0.5;0.5)$
Ta có $f'(x) = (0.5+x)^{0.5+x}(0.5-x)^{0.5-x}(\ln\frac{0.5+x}{0.5-x})$
$f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0 $
BBT
....
.....
Ko có BBT nhưng chắc các bạn cũng bik $f(x)$ đạt giá trị trị nhỏ nhất tại x=0 , $f(x)$min = 0.5
Vậy ta suy ra đpcm
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow$ x = 0 $\Rightarrow$m = n =0.5
Không biết mình có tính đúng đạo hàm không nữa, các bạn tính lại đạo hàm xem sao...trâu
#8
Đã gửi 23-12-2012 - 12:06
Dạng này dùng BĐT hàm lồi, hàm lõm cũng được mà ^^~Cho m,n là các số dương thỏa mãn:m+n=1
CM:$2.m^{m}.n^{n}\geq 1$
-Có:
$ln(LHS)=ln2+f(m)+f(n)$
Với $f(x)=x.lnx\Rightarrow f''(x)=\frac{1}{x} >0\forall x>0$, lồi trên $R^+$
Do đó,theo BĐT Jensen, có:
$ln(LHS)\geq ln2+2.f(\frac{m+n}{2})=ln2+ln\frac{1}{2}=0$
Do đó: $LHS\geq 1$ $(Q.e.d:')$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 23-12-2012 - 12:21
- kunkute và WhjteShadow thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh