Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}+\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}\geq 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:K46- Toán1 Chuyên Sư Phạm
  • Sở thích:Nghe nhạc, đánh đàn guitar và làm BDT

Đã gửi 20-12-2012 - 22:05

Đề thi học kỳ bài khó thứ nhì trường THPT chuyên Hà Nội-Amsterdam Khá quen thuộc.
Bài toán: Cho$a,b,c$ là các số thực dương $abc=1.$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}+\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}\geq 1$


<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#2 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-12-2012 - 11:25

Đề thi học kỳ bài khó thứ nhì trường THPT chuyên Hà Nội-Amsterdam Khá quen thuộc.
Bài toán: Cho$a,b,c$ là các số thực dương $abc=1.$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}+\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}\geq 1$

Qua lời giải của mình, mình muốn nhắn tới các bạn rằng " Có sức khỏe là có tất cả " :luoi:
Bất đẳng thức tương đương với:
$$\frac{\sum \left[(a+1)(b+1)\right]^2}{\left[(a+1)(b+1)(c+1)\right]^2}+\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}\geq 1$$
Bằng lòng nhiệt huyết của tuổi trẻ, khai triển và đặt $m=a+b+c+1,n=ab+bc+ca+1$. Ta có thể viết lại bất đẳng thức thành:
$$\frac{(m+n)^2-4(m+n)+n^2}{(m+n)^2}+\frac{2}{m+n}\geq 1$$
$$\Leftrightarrow \frac{n^2-4(m+n)+2(m+n)}{(m+n)^2}+1\geq 1$$
$$\Leftrightarrow n^2\geq 2(m+n)$$
$$\Leftrightarrow (ab+bc+ca+1)^2\geq 2(a+b+c+ab+bc+ca+2)$$
$$\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq 3$$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng the0 $AM-GM$ nên ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=1$ $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 21-12-2012 - 11:27

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#3 caophonghoang

caophonghoang

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 30 Bài viết

Đã gửi 21-12-2012 - 12:20

Lôi cả đề học kì của trường mình lên đây nữa hả fan cuồng Ngô Khánh Linh :)) Hôm đó mình giải thế này:
Bổ đề:
$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz=1$
thì
$(1-x)(1-y)(1-z)\geq xyz$
Tồn tại 3 số m,n,p sao cho:
$x=(\frac{mn}{(m+p)(n+p)})^{\frac{1}{2}}$
y, z tương tự
$1-x=\frac{(m+p)(n+p)^{\frac{1}{2}}-mn^{\frac{1}{2}}}{(m+p)(n+p)^{\frac{1}{2}}} \geq \frac{p}{(m+p)(n+p)^{\frac{1}{2}}}$
(theo bunhiacoxki) Nhân 3 về ra điều phải chứng minh:
Bây giờ quay trở lại bài toán gốc:
Đặt x=$\frac{1}{1+a}$ ,y,z tương tự
Ta có: $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$
bđt cần chứng minh tương đương với:
$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz\geq 1$
phản chứng, giả sử:
$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz< 1$
=> tồn tại k sao cho:
$(kx)^{2}+(ky)^{2}+(kz)^{2}+2k^{3}xyz=1$
và k>1
theo bổ đề trên:
$(1-kx)(1-ky)(1-kz)\geq k^{3}xyz$
mà $k> 1\rightarrow kx> x\rightarrow 1-kx< 1-x$
=> $xyz=(1-x)(1-y)(1-x)> (1-kx)(1-ky)(1-kz)> k^{3}xyz \rightarrow k< 1$
vậy trái với đk k>1 => kết thúc bài toán

#4 Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:K46- Toán1 Chuyên Sư Phạm
  • Sở thích:Nghe nhạc, đánh đàn guitar và làm BDT

Đã gửi 21-12-2012 - 17:21

Lôi cả đề học kì của trường mình lên đây nữa hả fan cuồng Ngô Khánh Linh

Xin spam chút câu này của bạn có ý nghĩa j vậy? De nghĩ bạn nghĩ kĩ trước khi nói nhé. Cám ơn.

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#5 caophonghoang

caophonghoang

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 30 Bài viết

Đã gửi 21-12-2012 - 17:32

Xin spam chút câu này của bạn có ý nghĩa j vậy? De nghĩ bạn nghĩ kĩ trước khi nói nhé. Cám ơn.

Xin spam chút, bạn là hiện tượng fan cuồng của Ngô Khánh Linh còn gì? :)) Hồi đó nhìn thấy ảnh bạn mình sốc quá liền hỏi nó ngay nó có phải vừa tham gia diễn đàn toán học không, nó bảo không rồi nó còn kể là nó nghe bọn bạn nó nói có Joker 99 giả danh nó trên đó :)) NGhĩ lại gì hả bạn =))

#6 Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:K46- Toán1 Chuyên Sư Phạm
  • Sở thích:Nghe nhạc, đánh đàn guitar và làm BDT

Đã gửi 21-12-2012 - 21:51

Xin spam chút, bạn là hiện tượng fan cuồng của Ngô Khánh Linh còn gì? :)) Hồi đó nhìn thấy ảnh bạn mình sốc quá liền hỏi nó ngay nó có phải vừa tham gia diễn đàn toán học không, nó bảo không rồi nó còn kể là nó nghe bọn bạn nó nói có Joker 99 giả danh nó trên đó :)) NGhĩ lại gì hả bạn =))

Mình xin lỗi mình là Linh ở 10 toán 1 chứ không phải Linh ở 10A1 như bạn trường mình. Linh 10A1 thì nổi tiếng mình biết rồi.Khi nghe tên thế ai cũng chỉ nghĩ đến ngay Linh kia mà Khánh Linh này thì ko ai biết cả bạn à. Bạn ra toán 1 nhé mình gặp nhau. Đề nghị bạn nói cho chính xác. Không spam nữa có j lên hòm thư nói chuyện. Cám ơn.

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#7 Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Xem phim.

Đã gửi 22-12-2012 - 19:59

Đề thi học kỳ bài khó thứ nhì trường THPT chuyên Hà Nội-Amsterdam Khá quen thuộc.
Bài toán: Cho$a,b,c$ là các số thực dương $abc=1.$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}+\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}\geq 1$

Ta thấy trong 3 số $a,b,c$ sẽ có 2 số cùng lớn hơn hoặc nhỏ hơn 1.Giả sử là $a$ và $b$.
$(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab+1\geq a+b\Leftrightarrow 2(ab+1)\geq (a+1)(b+1)$
Áp dụng nhận xét trên kết hợp vs bổ đề qen thuộc $\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}\geq \frac{1}{xy+1}$ :
$VT\geq \frac{1}{ab+1}+\frac{1}{(c+1)^2}+\frac{2}{2(ab+1)(c+1)}= \frac{1}{\frac{1}{c}+1}+\frac{1}{(c+1)^2}+\frac{1}{(\frac{1}{c}+1)(c+1)}$
$$= \frac{c}{c+1}+\frac{1}{(c+1)^2}+ \frac{c}{(c+1)^2}$$
$$= \frac{c(c+1)}{(c+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}+ \frac{c}{(c+1)^2}= \frac{(c+1)^2}{(c+1)^2}= 1$$
-------------
Hỵ hỵ hôm qua cũng nghĩ ra thêm cách này mà lười p0st :3 :luoi:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 22-12-2012 - 20:02


#8 tim1nuathatlac

tim1nuathatlac

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 298 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:lt-vp

Đã gửi 23-12-2012 - 19:37

Đề thi học kỳ bài khó thứ nhì trường THPT chuyên Hà Nội-Amsterdam Khá quen thuộc.
Bài toán: Cho$a,b,c$ là các số thực dương $abc=1.$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}+\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}\geq 1$


Mình mượn ngôn ngữ của $joker9999$ tẹo. :P

Ta chú ý các đẳng thức sau:

$\left ( 1+x \right )^{2}\left ( 1+y \right )^{2}+\left ( 1 +y \right )^{2}\left ( 1+z \right )^{2}+\left ( 1+z \right )^{2}\left ( 1+x \right )^{2}=2p^{2}+q^{2}+2pq+2p-3$


and $\left ( 1+x \right )\left ( 1+y \right )\left ( 1+z \right )=1+p+q+r$


Từ đó áp dụng vào bài toán, bài BĐT trở thành

$2\left ( p+q+2 \right )+2p^{2}+q^{2}+2pq+2p-3\geq \left ( p+q+2 \right )^{2}$


$p^{2}\geq 2q+3$. Do $p^{2}\geq 3q$, $q\geq 3$ nên ta có $Q.e.D$.$\square$


-------------------------------------------------------------
p\s: Linh hok cùng Thanh Thanh phải không? :lol:


#9 Mai Xuan Son

Mai Xuan Son

    Vagrant

  • Thành viên
  • 274 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quảng Bình

Đã gửi 23-12-2012 - 19:53

Ta thấy trong 3 số $a,b,c$ sẽ có 2 số cùng lớn hơn hoặc nhỏ hơn 1.Giả sử là $a$ và $b$.
$(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab+1\geq a+b\Leftrightarrow 2(ab+1)\geq (a+1)(b+1)$
Áp dụng nhận xét trên kết hợp vs bổ đề qen thuộc $\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}\geq \frac{1}{xy+1}$ :
$VT\geq \frac{1}{ab+1}+\frac{1}{(c+1)^2}+\frac{2}{2(ab+1)(c+1)}= \frac{1}{\frac{1}{c}+1}+\frac{1}{(c+1)^2}+\frac{1}{(\frac{1}{c}+1)(c+1)}$
$$= \frac{c}{c+1}+\frac{1}{(c+1)^2}+ \frac{c}{(c+1)^2}$$
$$= \frac{c(c+1)}{(c+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}+ \frac{c}{(c+1)^2}= \frac{(c+1)^2}{(c+1)^2}= 1$$
-------------
Hỵ hỵ hôm qua cũng nghĩ ra thêm cách này mà lười p0st :3 :luoi:

Spam: Lời giải chính thức không biết hay như ri ko :3
~~~like phát~~~

#10 Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:K46- Toán1 Chuyên Sư Phạm
  • Sở thích:Nghe nhạc, đánh đàn guitar và làm BDT

Đã gửi 23-12-2012 - 21:40



-------------------------------------------------------------
p\s: Linh hok cùng Thanh Thanh phải không? :lol:

Hi k có j. Uh .P. Thị Thanh Thanh. Bạn quen Thanh hả:D

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#11 tim1nuathatlac

tim1nuathatlac

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 298 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:lt-vp

Đã gửi 25-12-2012 - 21:34

Bài toán: Cho$a,b,c$ là các số thực dương $abc=1.$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}+\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}\geq 1$


Hôm nay, tình cờ đọc lại cách đổi biến, mình nghĩ ra 1 lời giải nữa cho bài này như sau:

Đặt

$\frac{1}{1+a}=\frac{1+x}{2},\frac{1}{1+b}=\frac{1+y}{2}$ và $\frac{1}{1+c}=\frac{1+z}{2}$


từ đó rút ra được

$a=\frac{1-x}{1+x},b=\frac{1-y}{1+y}$, và $c=\frac{1-z}{1+z}$


$\Rightarrow x+y+z+xyz=0$ và $\left ( x,y,z \right )\in \left ( -1 ;1\right )$


Ta cần chỉ ra

$\left ( 1+x \right )^{2}+\left ( 1+y \right )^{2}+\left ( 1+z \right )^{2}+\left ( 1+x \right )\left ( 1+y \right )\left ( 1+z \right )\geq 4$


$Q.e.D\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2\left ( x+y+z \right )+xy+yz+zx\geq 0$


$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+4\left ( x+y+z \right )+\left ( x+y+z \right )^{2}\geq 0$


$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+x^{2}y^{2}z^{2}\geq 4xyz$ ( thay $x+y+z=-xyz$ )


BĐT trên đúng theo $Am-Gm$ $\sum x^{2}+x^{2}y^{2}z^{2}\geq^{Am-Gm} 4\sqrt[4]{x^{4}y^{4}z^{4}}=4\left | xyz \right |\geq 4xyz$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 25-12-2012 - 21:38






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh