Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 21-12-2012 - 18:50
Chứng minh $f(x) = \left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{x}$ là hàm đồng biến trên $x > 0$
Bắt đầu bởi hdgv, 21-12-2012 - 17:38
#1
Đã gửi 21-12-2012 - 17:38
Chứng minh $f(x) = \left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{x}$ là hàm đồng biến trên $x > 0$.
#2
Đã gửi 21-12-2012 - 19:00
$f'(x)=\left(1+\dfrac{1}{x} \right)^{x}\left[\ln \left(1+\dfrac{1}{x} \right)-\dfrac{1}{x+1} \right]$.Chứng minh $f(x) = \left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{x}$ là hàm đồng biến trên $x > 0$.
Như vậy ta chỉ cần chứng minh:
$$\ln \left(1+\dfrac{1}{x} \right)>\dfrac{1}{x+1};\forall x>0$$
Áp dụng LMVT(định lý Lagrange) cho hàm số $f(x)=\ln x$ liên tục,khả vi trên $[x;x+1]$:
$$\exists c \in (x;x+1):\dfrac{1}{c}=f'\left(c \right)=\dfrac{f(x+1)-f(x)}{x+1-x}=\ln \left(1+\dfrac{1}{x} \right)$$
Do $c<x+1$ nên ta có ngay BĐT cần chứng minh.
- hdgv yêu thích
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
#3
Đã gửi 21-12-2012 - 21:00
Mình chưa hiểu đoạn cuối lắm, đang đọc, bạn có thể tường minh hơn giúp được không?
Cảm ơn đã trả lời!
à, do chưa thấy : fx = lnx ở đoạn cuối, ok rồi. Thanks!
Cảm ơn đã trả lời!
à, do chưa thấy : fx = lnx ở đoạn cuối, ok rồi. Thanks!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hdgv: 21-12-2012 - 21:03
#4
Đã gửi 21-12-2012 - 21:28
đang băn khoăn 1 tí, tính tồn tại c trong định lý lagrange có ảnh hưởng gì tới yêu cầu đúng với mọi x không nhỉ?
#5
Đã gửi 21-12-2012 - 21:31
Hoàn toàn không đâu bạn,do $x$ chạy trên tập $\mathbb{R^+}$ và $c$ lại chạy trên khoảng phụ thuộc $x$.đang băn khoăn 1 tí, tính tồn tại c trong định lý lagrange có ảnh hưởng gì tới yêu cầu đúng với mọi x không nhỉ?
- hdgv yêu thích
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
#6
Đã gửi 21-12-2012 - 21:35
Ok, chí phải. Chậm tiêu quá. Thanks!Hoàn toàn không đâu bạn,do $x$ chạy trên tập $\mathbb{R^+}$ và $c$ lại chạy trên khoảng phụ thuộc $x$.
#7
Đã gửi 21-12-2012 - 21:41
Bạn có cách nào khác không? có cách nào chỉ dùng các định lý trong SGK THPT thôi? Trong SGK THPT không có lagrange
#8
Đã gửi 22-12-2012 - 07:46
Bạn mở SGK giải tích 12 cơ bản phần đọc thêm có nói về định lý này.Bạn có cách nào khác không? có cách nào chỉ dùng các định lý trong SGK THPT thôi? Trong SGK THPT không có lagrange
- hdgv yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh