Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $f(x) = \left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{x}$ là hàm đồng biến trên $x > 0$

* * * * * 2 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
hdgv

hdgv

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết
Chứng minh $f(x) = \left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{x}$ là hàm đồng biến trên $x > 0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 21-12-2012 - 18:50


#2
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Chứng minh $f(x) = \left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{x}$ là hàm đồng biến trên $x > 0$.

$f'(x)=\left(1+\dfrac{1}{x} \right)^{x}\left[\ln \left(1+\dfrac{1}{x} \right)-\dfrac{1}{x+1} \right]$.
Như vậy ta chỉ cần chứng minh:
$$\ln \left(1+\dfrac{1}{x} \right)>\dfrac{1}{x+1};\forall x>0$$
Áp dụng LMVT(định lý Lagrange) cho hàm số $f(x)=\ln x$ liên tục,khả vi trên $[x;x+1]$:
$$\exists c \in (x;x+1):\dfrac{1}{c}=f'\left(c \right)=\dfrac{f(x+1)-f(x)}{x+1-x}=\ln \left(1+\dfrac{1}{x} \right)$$
Do $c<x+1$ nên ta có ngay BĐT cần chứng minh.
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#3
hdgv

hdgv

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết
:( Mình chưa hiểu đoạn cuối lắm, đang đọc, bạn có thể tường minh hơn giúp được không?
Cảm ơn đã trả lời!
à, do chưa thấy : fx = lnx ở đoạn cuối, ok rồi. Thanks!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hdgv: 21-12-2012 - 21:03


#4
hdgv

hdgv

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết
đang băn khoăn 1 tí, tính tồn tại c trong định lý lagrange có ảnh hưởng gì tới yêu cầu đúng với mọi x không nhỉ?

#5
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

đang băn khoăn 1 tí, tính tồn tại c trong định lý lagrange có ảnh hưởng gì tới yêu cầu đúng với mọi x không nhỉ?

Hoàn toàn không đâu bạn,do $x$ chạy trên tập $\mathbb{R^+}$ và $c$ lại chạy trên khoảng phụ thuộc $x$.
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#6
hdgv

hdgv

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết

Hoàn toàn không đâu bạn,do $x$ chạy trên tập $\mathbb{R^+}$ và $c$ lại chạy trên khoảng phụ thuộc $x$.

Ok, chí phải. Chậm tiêu quá. Thanks!

#7
hdgv

hdgv

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết
Bạn có cách nào khác không? có cách nào chỉ dùng các định lý trong SGK THPT thôi? Trong SGK THPT không có lagrange :(

#8
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Bạn có cách nào khác không? có cách nào chỉ dùng các định lý trong SGK THPT thôi? Trong SGK THPT không có lagrange :(

Bạn mở SGK giải tích 12 cơ bản phần đọc thêm có nói về định lý này. :)

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh