$s_{1}=\sin x+\sin 2x+....\sin nx$
$s_{2}=\cos x+\cos 2x+...\cos nx$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 21-12-2012 - 22:40
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 21-12-2012 - 22:40
Tính các tổng sau:
$s_{1}=\sin x+\sin 2x+....\sin nx$
$s_{2}=\cos x+\cos 2x+...\cos nx$
Ta có $\sum_{k=1}^{n}cos (kx)=\frac{sin\frac{(n+1)x}{2}cos\frac{nx}{2}}{sin\frac{x}{2}}-1$Lời giải
Bài 1: $S_1=\sin x+\sin 2x+....\sin nx$
Nhân 2 vế của PT cho $2\sin\frac{x}{2}$ ta có:
$2S_1\sin\frac{x}{2}=2\sin\frac{x}{2}sinx+2\sin\frac{x}{2}\sin2x+...+2\sin\frac{x}{2}\sin(nx)$
$=\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{3x}{2}+\cos\frac{3x}{2}-\cos\frac{5x}{2}+...+cos\frac{(2n-1)x}{2}-cos\frac{(2n+1)x}{2}$
$=cos\frac{x}{2}-cos\frac{(2n+1)x}{2}$
$=-2sin\frac{(n+1)x}{2}sin\frac{(-nx)}{2}=2sin\frac{(n+1)x}{2}sin\frac{nx}{2}$
Suy ra $\boxed {S_1=\frac{sin\frac{(n+1)x}{2}sin\frac{nx}{2}}{sin\frac{x}{2}}}$
Với bài 2, làm tương tự, kết quả: $\boxed {S_2=\frac{sin\frac{nx}{2}cos\frac{(n+1)x}{2}}{sin\frac{x}{2}}}$
Mở rộng bài toán:
Tính:
$a,S_1'=cos \alpha +cos(\alpha+\beta )+cos(\alpha+2\beta )+...+cos(\alpha+n\beta )$
$b,S_2'=sin\alpha +sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha+2\beta)+...+sin(\alpha+n\beta)$
Lời giải cho 2 mở rộng ở đây và hệ quả ở đây.Mở rộng bài toán:
Tính:
$a,S_1'=cos \alpha +cos(\alpha+\beta )+cos(\alpha+2\beta )+...+cos(\alpha+n\beta )$
$b,S_2'=sin\alpha +sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha+2\beta)+...+sin(\alpha+n\beta)$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh