Đến nội dung

Hình ảnh

$\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}+xy=37 \\ x^{2}+z^{2}+zx=28 \\ y^{2}+z^{2}+yz=19 \end{array}$

- - - - - hệ phương trình

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
son98

son98

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết
giải các hệ sau
1. với x,y>0 $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+xy=37 & & \\ x^{2}+z^{2}+zx=28 & \\ y^{2}+z^{2}+yz=19& & \end{matrix}\right.$

2.với x,y,z >0 $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}=3 & \\ x+y+z\leq 12 & \end{matrix}\right.$

3. với x,y>0 $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{4}{y}\leq 3 & & \\ x+y=3 & & \end{matrix}\right.$

4. $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-z^{2}=\left ( x+y-z \right )^{2}+2 & & \\ x^{3}+y^{3}-z^{3}=(x+y-z)^{3}+9 & & \\ x^{4}+y^{4}-z^{4}=(x+y-z)^{4}+29 & & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 22-12-2012 - 22:06


#2
HuyenBi

HuyenBi

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết
với x,y,z>0 áp dụng bunhia ta có
$\left ( \frac{1}{x} +\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\right )\left ( x+y+z \right )\geq 36$
<=> $\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\geq \frac{36}{12}=3$ vì $x+y+z\leq 12$
nên dấu = xảy ra khi $\frac{1}{x}=\frac{2}{y}=\frac{3}{z}$
<=> y=2x và z=3x thay vào pt ta có x=2,y=4,z=6
câu 3 tương tự

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HuyenBi: 22-12-2012 - 13:22

B=C=D=HC

#3
Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết
1. Với x, y > 0
$$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+xy=37 \,\, (1)\\ x^{2}+z^{2}+zx=28 \,\, (2) \\ y^{2}+z^{2}+yz=19 \,\, (3)\end{matrix}\right.$$

Giải

Bài này điều kiện là $x, y > 0$ hay $x, y, z > 0$ nhỉ?
Mà thực ra điều kiện cũng chẳng ảnh hưởng mấy đến bài giải! :))

Lấy (1) + (3) vế theo vế, ta được:

$x^2 + 2y^2 + z^2 + xy + yz = 56 = 2(x^2 + z^2 + zx)$


$\Leftrightarrow x^2 + z^2 + 2xz - y(x + z) - 2y^2 = 0$

$\Leftrightarrow (x + z + y)(x + z - 2y) = 0$


$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x + y = -z \\ x + z = 2y\end{matrix}\right.$

Bạn chỉ cần thay các hệ thức nói trên vào hệ và giải hệ phương trình đẳng cấp là được. Mình giải 1 trường hợp thôi nhé:
Với $x + z = 2y \Leftrightarrow x = 2y - z$ , ta có:

$\left\{\begin{matrix} (2y - z)^{2}+z^{2}+z(2y - z)=28 \\ y^{2}+z^{2}+yz=19 \end{matrix}\right.$


$\left\{\begin{matrix} 4y^2 - 2yz + z^2 = 28 \\ y^{2}+z^{2}+yz=19 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} y = \dfrac{3}{2}z\\ y = \dfrac{-z}{8}\end{matrix}\right.$

Tùy vào điều kiện bài ra để lấy nghiệm. Nếu cả 3 ẩn đều dương thì hệ phương trình có nghiệm:
$$(x; y; z) = (4; 3; 2)$$


@MIM: Hệ có nghiệm (1; 2) em ạ! Em nhầm ở chỗ $ 0< y < 4 \Rightarrow \dfrac{4}{y} > 4$
Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#4
VNSTaipro

VNSTaipro

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết

giải các hệ sau
3. với x,y>0 $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{4}{y}\leq 3 & & \\ x+y=3 & & \end{matrix}\right.$

Có $3\geq \frac{1^{2}}{x}+\frac{2^{2}}{y}\geq\frac{3^{2}}{x+y}\doteq 3$ (vì $x+y=3$)
Dấu "=" xảy ra khi $x=1$ và $y=2$

Hình đã gửi






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hệ phương trình

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh