Trích từ cuốn sách Khoa học và các khoa học của Gilles – Gaston Granger, Nxb Thế giới, 1995. Tớ viết lại tên riêng các nhà toán học như tên gốc cho các bạn tiện đối chiếu (cuốn sách để phiên âm tiếng Việt). Ngoài ra, tất cả những chú thích cho bài viết đều là của tớ.
1. Cho đến lúc phát sinh ra các hình học phi Euclid, người ta vẫn nghĩ rằng các hình thức khách thể ấy là tương ứng với cách sơ đồ hóa duy nhất và độc nhất có thể có của các đối tượng của kinh nghiệm, đặc biệt là kinh nghiệm không gian. Kể từ Euclid, người ta có thể xem là đúng, theo nghĩa tuyệt đối, các biểu ngôn (1) liên quan đến những hình thức khách thể như thế, lúc bấy giờ được xác định bằng một hệ thống định nghĩa và tiên đề ít nhiều hiển minh, từ đó qui ra biểu đồ ấy. Cách chứng minh toán học như vậy là đã xuất hiện khá sớm nhằm xác lập sự đúng đắn của các biểu ngôn trong nội bộ một hệ thống tiên đề, quan niệm mà Euclid vẫn theo vào khoảng năm 300 trước công nguyên, và đã được Aristotle hệ thống hóa cho thế hệ trước đó. Nhưng Aristotle và những người kế tục ông trong hàng thế kỉ, vẫn tưởng là có thể qui mọi chứng minh toán học về các công thức tam đạm luận áp dụng trong những trường hợp người ta muốn nối hai khái niệm qua trung gian của một khái niệm thứ ba. Các khái niệm biểu hiện bằng các vế, lúc đó được kết hợp thành mệnh đề theo những hình thức cố định, như: ”p thuộc mọi q” hoặc ìp không thuộc bất kỳ q nào”. Song cách lý luận toán học chỉ biểu hiện ngẫu nhiên dưới dạng này. Chính Euclid đã cấp cho nó một hình thức chung, phần nào được nghi thức hóa, nhưng hoàn toàn không theo tam đạm luận.
Thực vậy, công việc của nhà toán học hoàn toàn không qui về chỗ chứng minh. Các bài toán mà anh ta gặp hoặc tự đề ra cho mình chắc hẳn có thể thuộc kiểu: mệnh đề này mà tôi phỏng đoán là chân lý, tôi có thể chứng minh được không? Mà cũng có thể thuộc kiểu: làm sao định nghĩa lại một khái niệm nào đó để nó thích hợp với một tình thế mới nào đó và cấp một ý nghĩa cho một kết quả nào đó, hoặc khái quát hóa được kết quả? Thành ra, trong nhiều trường hợp, chính sự thất bại trong việc chứng minh một điều ức đoán lại tạo ra những khảo sát có kết quả, những cải tiến bất ngờ: chính vì vậy mà các cố gắng bỏ ra không có kết quả để chứng minh định lý Fermat nổi tiếng, và nhất là giả thuyết của Riemann (2) lại là cội nguồn của những tiến bộ to lớn trong lý thuyết số (O.Zariski, A.Weil, P.Deligne). Cũng vậy, có những chứng minh về tính không thể có được đã gợi nên những cách phát triển phong phú (tính không thể có được của một thuật toán cho ta biết xem một phương trình của đa thức với các hệ số nguyên sẽ có được nghiệm số hữu tỉ hay không: Matiasevich, 1970). Ngược lại, cũng có tình hình là một chứng minh song xuôi, có thể nói , sẽ khép lại một hướng đi, xếp một đề xuất, đôi lúc cả một lý thuyết, vào viện bảo tàng của các chân lý đã được xác minh nhưng, ít nhất là tạm thời, không phát triển tiếp được.