Tập Mandelbrot
Kết quả mới này được chứng minh bởi Kathyn A.Lindsey và sau đó là William P.Thurston, áp dụng đối với những hình có đường viền được tạo bởi một tập hữu hạn những đường cong đóng đơn. Đây là những vòng lặp liên tục trong mặt phẳng mà không tự giao với chính nó. Các hình Fractal (từ những hình 2D) được tạo ra từ việc nhìn những điểm trong mặt phẳng, những điểm di chuyển xung quanh 1 phân lớp của hàm số
Để hiểu được công việc này diễn ra như thế nào, hãy xét 1 hàm số bậc 2
$$f(x)=x^2$$
Khi bạn thay $x=0$ vào hàm số, kết quả là:
$$f(0)=0^2=0$$
Lại là 0, vì vậy 0 được gọi là điểm cố định. Điều tương tự xảy ra với $x=1$
$$f(1)=1^2=1$$
Tuy nhiên các giá trị khác của x còn thú vị hơn. Lấy $x=2$ làm ví dụ. ta có:
$$f(2)=4$$
Nếu tiếp tục sử dụng 4 làm giá trị của $x$ ta có:
$$f(4)=4^2=16$$
Sử dụng 16 làm giá trị mới:
$$f(16)=16^2=256$$
Bạn có thể thấy chuyện gì xảy ra nếu ta lặp lại quy trình này, sử dụng kết quả trước làm giá trị của $x$ trong lần tính sau: những con số càng ngày càng lớn hơn. Và thực tế bạn có thể làm những con số này lớn 1 cách tùy ý bằng cách lặp đi lặp lại quá trình này. Chuỗi các con số mà bạn nhận được theo cách này, bắt đầu từ 2, được gọi là quỹ đạo của 2 theo hàm $f$, và ta nói rằng quỹ đạo của 2 thoát ra đến vô cùng. Những hàm của những số lớn hơn 1 và nhỏ hơn -1 đều có quỹ đạo thoát ra đến vô cùng.
Nhưng chuyện gì xảy ra với những con số nằm trong khoảng -1 đến 1? Bình phương của một số lớn hơn 0 nhỏ hơn 1 luôn cho ta một số dương nhỏ hơn 1, vì thế những số này không có quỹ đạo thoát ra vô cùng( vì các giá trị càng ngày càng nhỏ). Ví dụ: $x=\frac{-1}{2}$
$$f(\frac{-1}{2})=\frac{1}{4}$$
$$f(\frac{1}{4})=\frac{1}{16}$$
$$f(\frac{1}{16})=\frac{1}{256}$$
Như vậy, trong khi ta thiết lập được quỹ đạo cho các số $x>1$ tiến đến vô cùng thì quỹ đạo của những số $ -1 < x<1$
Bạn cũng có thể sử dụng một hàm tương tự khác, ví dụ:
$$f(x)=x^{15}-3x^7+9x+5$$
$$f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$$
hoặc
$$f(x)=x^{100}+2x^{51}+7$$
Những hàm này gọi là những đa thức và có dạng tổng quát là:
$$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$$
ở đây $a_{0},a_{1},...,a_{n}$ là các hằng số.
Với những hàm số trên sẽ có 1 cách chọn điểm có quỹ đạo thoát và 1 cách chọn những điểm có quỹ đạo bị bẫy trong 1 khoảng xác định
Với những hàm số trên sẽ có 1 cách chọn điểm có quỹ đạo thoát và 1 cách chọn những điểm có quỹ đạo bị bẫy trong 1 khoảng xác định.Với những hàm số trên sẽ có 1 cách chọn điểm có quỹ đạo thoát và 1 cách chọn những điểm có quỹ đạo bị bẫy trong 1 khoảng xác định. Với những hàm số trên sẽ có 1 cách chọn điểm có quỹ đạo thoát và 1 cách chọn những điểm có quỹ đạo bị bẫy trong 1 khoảng xác định. Nhưng tất cả những điều này thì có liên hệ gì với những hình trong mặt phẳng? Trong ví dụ trên, các hàm đa thức được áp dụng cho những điểm nằm trên trục số( mỗi giá trị của $x$ tương ứng với 1 điểm)
Nhưng có 1 cách biến chúng thành những hàm áp dụng cho các điểm trên mặt phẳng, những hàm đưa tất cả các điểm riêng lẻ $(x,y)$ đến những điểm khác $(z,w)$ trong mặt phẳng. Để làm được điều này bạn cần sử dụng số phức.( cho $x$ có giá trị phức và biểu diễn các điểm trên mặt phẳng phức)
Chỉ cần như trước với trục số, một hàm f bây giờ cho 1 phần mặt phẳng vào những quỹ đạo thoát hoặc bị giam. Tập hợp những điểm có quỹ đạo bị bẫy gọi là 1 tập Julia đóng. Và ranh giới của một tập Julia đóng( mép của nó) được gọi đơn giản là tập Julia.
Vùng màu đen là tập Julia đóng của đa thức bậc hai. Viền ngoài của nó là tập Julia
Nói chung tập Julia của các đa thức là những hình Fractals: những hình có chu vi vô hạn và cũng rất phức tạp( hình tự đồng dạng)
Kết quả mới nói rằng, bất kì đường cong đóng đơn nào trên mặt phẳng cũng có thể lấy gần đúng là 1 tập Julia của đa thức -bạn có thể nối những đường cong bằng tập Julia- và như vậy một sự xấp xỉ có thể được thực hiện chính xác như bạn muốn. Nếu bạn cố gắng lấy gần đúng 1 tập hợp những đường cong đóng đơn, bạn cần sử dụng những hàm số hơi phức tạp hơn. Chúng được gọi là những hàm số hợp lý nhận được khi thực hiện chia một đa thức cho 1 đa thức khác. Tập những đường cong sau đó được lấy gần đúng là 1 phần của tập Julia của những đa thức này.
Tập Julia của hình ảnh con mèo
Và sự kết nối đến tập hợp Mandelbrot là gì? Nó chỉ ra rằng các điểm trên mặt phẳng có thể được sử dụng để gắn những đa thức bậc hai: mỗi đa thức bậc hai có thể được liên kết với một điểm trên mặt phẳng. Những điểm thuộc về tập hợp Mandelbrot, có màu đen trong hình trên, tương ứng với tập Julia bao gồm 1 thành phần, chứ không phải là một tập hợp những phần riêng biệt. tập hợp Mandelbrot và hình Fractal của nó khá phổ quát. Nó không chỉ đưa ra kết nối với đa thức bậc hai mà còn với những lớp khác của hàm số.
