Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho a, b, c là các số thực dươmg thoả mãn điều kiện:


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Hoanght

Hoanght

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Can Lộc - Hà Tĩnh

Đã gửi 23-12-2012 - 15:18

Cho a, b, c là các số thực dươmg thoả mãn điều kiện: $3\left ( a^{4}+b^{4}+c^{4} \right )+10=7\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}}{b+2c}+\frac{b^{2}}{c+2a}+\frac{c^{2}}{a+2b}\geq \frac{16}{27}$



#2 Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:K46- Toán1 Chuyên Sư Phạm
  • Sở thích:Nghe nhạc, đánh đàn guitar và làm BDT

Đã gửi 23-12-2012 - 22:19

Cho a, b, c là các số thực dươmg thoả mãn điều kiện: $3\left ( a^{4}+b^{4}+c^{4} \right )+10=7\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}}{b+2c}+\frac{b^{2}}{c+2a}+\frac{c^{2}}{a+2b}\geq \frac{16}{27}$

Giải như sau:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có $$\frac{a^2}{a+2c}+\frac{a^2(a+2c)}{9}\ge \frac{2a^2}{3}$$
Thiết lập tương tự rồi cộng lại ta có $$VT \ge \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)-\frac{1}{9}[a^2(b+2c)+b^2(c+2a)+c^2(a+2b)]$$
$$a^2c+b^2a+c^2b \le \frac{a^3+a^3+c^3}{3}+\frac{a^3+b^3+b^3}{3}+\frac{c^3+c^3+b^3}{3}=a^3+b^3+c^3$$
$$\Rightarrow VT \ge \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)-\frac{1}{9}(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$$
$$\Leftrightarrow VT \ge \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)-\frac{1}{9}(a^2+b^2+c^2)\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$$
Đặt $t=\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$ theo giả thiết ta có $7(a^2+b^2+c^2)=3(a^4+b^4+c^4)+10 \ge (a^2+b^2 +c^2)^2+10$
$\iff 2 \le a^2+b^2+c^2 \le 5$
$VT \ge \frac{2}{9}t^2-\frac{1}{27}t^3=f(t)$ với $t\in [\sqrt{6};\sqrt{15}]$.
Tới đây khảo sát hàm này $\to$ kết quả.

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#3 lang tu vo tinh

lang tu vo tinh

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Đã gửi 24-12-2012 - 01:55

Các đánh giá đều xảy ra dấu = khi a=b=c. Nhưng bài toán này k phải vậy????????




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh