Đến nội dung

Hình ảnh

Topic tổng hợp các bài toán về phương trình nghiệm nguyên.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 565 trả lời

#181
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

Tiếp tục topic nào ! (Mới phát hiện 1 bài khá hay)  :lol:

Bài 114 : Giải phương trình trên tập nghiệm tự nhiên :

  $x(x+3)+y(y+1)=z^{2}-2xy-1$

 

 

 

 

P.S : Jinbe giải giùm mình bài mở rộng 2 đi !


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 18-06-2013 - 20:47

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#182
phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết

Tiếp tục topic nào ! (Mới phát hiện 1 bài khá hay)  :lol:

Bài 114 : Giải phương trình trên tập nghiệm tự nhiên :

  $x(x+3)+y(y+1)=z^{2}-2xy-1$

 

 

 

 

P.S : Jinbe giải giùm mình bài mở rộng 2 đi !

Ta có $x(x+3)+y(y+1)=z^{2}-2xy-1\Leftrightarrow x^2+y^2+1+3x+y+2xy=z^2$

$*$ Ta thấy $z^2< (x+y+2)^2$ $(1)$

Thật vậy $x^2+y^2+1+3x+y+2xy< (x+y+2)^2$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+1+3x+y+2xy< x^2+y^2+4+4x+4y+2xy$

$\Leftrightarrow 0< 3+x+3y(Right)$

$*$ Mặt khác $z^2> (x+y)^2$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $(x+y)^2< z^2< (x+y+2)^2$

Suy ra $\left\{\begin{matrix} (x+y+1)^2=z^2\\ \\ (x+y+1)^2=x(x+3)+y(y+1)+2xy+1 \end{matrix}\right.$

Giải hệ trên là xong.


  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39


#183
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

Các bạn post bài lên đi chứ ! Mình đang ôn về chuyên đề Số học nên đang cần bài tập  :angry:

Bài 115 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

$a_{1}^{5}+(a_{1}+a_{2})^{5}+(a_{1}+a_{2}+a_{3})^{5}+...+(a_{1}+a_{2}+...+a_{2014})^{5}=2014a_{1}+2013a_{2}+...+2a_{2013}+a_{2014}+2012^{2013}$

 

P.S : Bài này nghĩ ra giải ngon rồi nhưng chẳng biết có trật chỗ nào không ?  :luoi: 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 26-06-2013 - 11:41

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#184
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

Bài 112: Tìm $x,\ y,\ z\in \mathbb{Z}$ thỏa mãn

$$\left\{\begin{matrix} 2x^3-7x^2+8x-2=y\\ 2y^3-7y^2+8y-2=z\\ 2z^3-7z^2+8z-2=x \end{matrix}\right.$$

 

Đặt $f(n)=2n^{3}-7n^{2}+8n-2$

- Xét $x,y,z$ đôi một khác nhau

Áp dụng tính chất $f(m)-f(p)\vdots (m-p)$

Ta có $f(x)-f(y)\vdots (x-y)\Rightarrow (y-z)\vdots (x-y)\Rightarrow y-z\geq x-y$

Hoàn toàn tương tự ta có :

$x-y\geq z-x;z-x\geq y-z$

Suy ra $y-z\geq y-z$

Đẳng thức phải xảy ra, khi đó : $x=y=z$  (mâu thuẫn)

- Xét $x = y = z$

Thay vào phương trình ta tìm được $(x;y;z)=(1;1;1);(2;2;2)$

 

P.S : Nếu hệ số $8$ của ẩn bậc nhất được thay bằng một hệ số lớn hơn $24,5$ thì ta có thể giải được hệ này trên tập số thực chứ không cần là tập số nguyên nữa !


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 19-06-2013 - 15:53

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#185
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Bài này coi na ná giống bài trên THTT số tháng này.

@Dark: Mình thử mở rộng bài đó :))
@Toàn: Tạm thời Dark đừng cho giải được không, vì nếu giải được bài đó là sẽ giải được bài trên THTT mất.

@Dark: OK, thế mình tạm ẩn bài này đi v 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 19-06-2013 - 14:14

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#186
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Đóng góp thêm bài.
Bài 117. Tìm số nguyên tố $(p,q)$ thoả mãn $36(3p-2q)^3=5(p+q)^2$.

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#187
phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết

Bài 118. Cho $a,b$ là các số thực thỏa $a^3+b^3=16$. Hỏi ta tìm được bao nhiêu tổng $a+b\in \mathbb{Z}$.


  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39


#188
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

Bài 118. Cho $a,b$ là các số thực thỏa $a^3+b^3=16$. Hỏi ta tìm được bao nhiêu tổng $a+b\in \mathbb{Z}$.

$0<16=a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=(a+b)[(a-\frac{b}{2})^{2}+\frac{3b^{2}}{4}]\Rightarrow a+b>0$

Khi đó ta chứng minh được :

$(a+b)^{3}\leq 4(a^{3}+b^{3})=64\Rightarrow 0<a+b\leq 4\Rightarrow a+b\in \left \{ 1;2;3;4 \right \}$

Vậy : Số giá trị nguyên của tổng $a+b$ nhận được là 4.


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#189
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

Bài 119 : Giải phương trình nghiêm nguyên dương :

 

$2+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=y$

 

 

(Bài này ra nghiệm tổng quát hay sao ấy ?  :wacko: )


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#190
DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết

Bài 119 : Giải phương trình nghiêm nguyên dương :

 

$2+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=y$

 

 

(Bài này ra nghiệm tổng quát hay sao ấy ?  :wacko: )

 

Ta có: $x\geq 1$ nên $\sqrt{x+\dfrac{1}{3}}>1$ suy ra $\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\dfrac{1}{3}}}>1$

 

Mặt khác dễ thấy $\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\dfrac{1}{3}}}$ nguyên nên 

 

$\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\dfrac{1}{3}}}\geq 2$ hay $y\geq 4$

 

Ta có: $2+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=y$

 

$\Leftrightarrow x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}=(y-2)^2$

 

$\Leftrightarrow 4x+2+2\sqrt{4x+1}=4(y-2)^2$

 

$\Leftrightarrow (\sqrt{4x+1}+1)^2=4(y-2)^2$

 

$\Leftrightarrow \sqrt{4x+1}+1=2(y-2)$

$(\sqrt{4x+1}+1\neq 2(2-y)$ vì $y\geq 4\Rightarrow y-2<0 \Rightarrow \sqrt{4x+1}+1<0,$ vô lý$)$

 

$\Leftrightarrow 4x+1=[(2y-4)-1]$

 

$\Leftrightarrow 4x=(2y-4)(2y-6)$

 

$\Leftrightarrow x=(y-2)(y-3)$

 

Vì $y\geq 4$ nên $x>0$ $($Thỏa mãn$)$

 

Vậy $\boxed{(x\ ;\ y)=((y-2)(y-3)\ ;\ y)}$



#191
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Bài 119 : Giải phương trình nghiêm nguyên dương :

 

$2+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=y$

 

 

(Bài này ra nghiệm tổng quát hay sao ấy ?  :wacko: )

Lời giải. Ta có $\sqrt{x+ \frac 12 + \sqrt{x+ \frac 14}}= \sqrt{ \left( \sqrt{x+ \frac 14}+ \frac 12 \right)^2}= \sqrt{x+ \frac 14}+ \frac 12$.

Do đó $\sqrt{x+ \frac 14}= y- \frac 52 \Leftrightarrow x+ \frac 14= y^2- 5y+ \frac{25}{4}$

$\Leftrightarrow x=y^2-5y+6= (y-2)(y-3)$.

Vậy $\boxed{ (x,y)=( (k-2)(k-3);k)}$ với mọi $k \in \mathbb{N}^*$.


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#192
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết

Bài 119 : Giải phương trình nghiêm nguyên dương :

 

$2+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=y$

 

 

(Bài này ra nghiệm tổng quát hay sao ấy ?  :wacko: )

Thay $2$ bởi $x$ thì ta được bài toán này (chắc tổng quát nhất rồi), lời giải ở topic đó luôn.


Thích ngủ.


#193
4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết

Đóng góp thêm bài.
Bài 117. Tìm số nguyên tố $(p,q)$ thoả mãn $36(3p-2q)^3=5(p+q)^2$.

ta thấy vế trái chia hết cho 36 mà (5;360=1 suy ra $(p+q)^{2}\vdots 6$

vế phải chia hết cho 5 suy ra vế trái chia hết cho 5 suy ra $\left ( 3p-2q \right )^{3}\vdots 5\Leftrightarrow 3p-2q\vdots 5\Rightarrow VT\vdots 125\Rightarrow (p+q)^{2}\vdots 25\Rightarrow p+q\vdots 5$

đặt $3p-2q=n$;$p+q=m$ với m,n là các số nguyên không âm

thì ta có $36.(5n)^{3}=5.(30m)^{2}\Leftrightarrow n^{3}= m^{2}$

vậy m có dạng $k^{3}$ khi đó 

+) nếu k bằng 1 thì p=13; q=17

nếu $k\neq 1\Rightarrow p+q=(30k)^{3}\Rightarrow (3p-2q)^{3}=125k^{6}\rightarrow (3p-2q)= 125k^{2}\rightarrow p=k^{2}+12k^{3}$ chia hết cho $k^{2}$ loại vì p là số nguyên tố .

vậy p=13;q=17


 B.F.H.Stone


#194
Best Friend

Best Friend

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Bài này sai 

 

ta thấy vế trái chia hết cho 36 mà (5;360=1 suy ra $(p+q)^{2}\vdots 6$

vế phải chia hết cho 5 suy ra vế trái chia hết cho 5 suy ra $\left ( 3p-2q \right )^{3}\vdots 5\Leftrightarrow 3p-2q\vdots 5\Rightarrow VT\vdots 125\Rightarrow (p+q)^{2}\vdots 25\Rightarrow p+q\vdots 5$

đặt $3p-2q=n$;$p+q=m$ với m,n là các số nguyên không âm

thì ta có $36.(5n)^{3}=5.(30m)^{2}\Leftrightarrow n^{3}= m^{2}$

vậy m có dạng $k^{3}$ khi đó 

+) nếu k bằng 1 thì p=13; q=17

nếu $k\neq 1\Rightarrow p+q=(30k)^{3}\Rightarrow (3p-2q)^{3}=125k^{6}\rightarrow (3p-2q)= 125k^{2}\rightarrow p=k^{2}+12k^{3}$ chia hết cho $k^{2}$ loại vì p là số nguyên tố .

vậy p=13;q=17

 Nhìn cái đề đã là phương trình vô nghiệm rồi

VT là 1 sô chính phương còn VP $5(p+q)^{2}$ ko là scp


Best Friend   :wub:  :wub:  :wub:  :wub:


#195
phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết

Bài này sai 

 

 Nhìn cái đề đã là phương trình vô nghiệm rồi

VT là 1 sô chính phương còn VP $5(p+q)^{2}$ ko là scp

Tại sao vế trái là số chính phương vậy bạn? :luoi:  Tui thấy kết luận VT chính phương là hơi sớm đấy!


  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39


#196
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

Bài 120 (hàng mới nhập :icon10: )

Giải phương trình trên tập nghiệm tự nhiên :

$x^{2}y^{4}z^{6}=y^{2}+2y-1$


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#197
Best Friend

Best Friend

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Tại sao vế trái là số chính phương vậy bạn? :luoi:  Tui thấy kết luận VT chính phương là hơi sớm đấy!

Vì $\left ( p+q \right )^{2}$ là 1 số chính phương $\Rightarrow 5\left ( p+q \right )^{2}$ ko thể đc.

Theo tính chất số chính phương mà bạn luôn có dạng $a^{2}k^{2}$


Best Friend   :wub:  :wub:  :wub:  :wub:


#198
Best Friend

Best Friend

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Bài 120 (hàng mới nhập :icon10: )

Giải phương trình trên tập nghiệm tự nhiên :

$x^{2}y^{4}z^{6}=y^{2}+2y-1$

Vì x,y,z là các số tự nhiên.

Xét $xyz=0$ PT VN

Xét $xyz\neq 0$

Ta có : 

 

$x^{2}y^{4}z^{6}=y^{2}+2y-1$

Vì $x^{2}y^{4}z^{6}\vdots y\Rightarrow y^{2}+2y-1\vdots y\Rightarrow 1\vdots y\Rightarrow y=1$ VN

 

@Dark: Mình góp ý chút nha :))

Tới chỗ suy ra $y=1$ suy ra $x^2z^6=2$

Xét 2 trường hợp: $x=1$ và $x>1$ 

TH1:  $x=1$ suy ra $z^6=2$ (Vô lý)

TH2: $x>1\Leftrightarrow x\geq 2\Leftrightarrow x^2\geq 4$ mà $z^6\geq 1$ nên $x^2z^6\geq 6>2$ (Vô nghiệm)

@Best: Thanks bạn, mik đã sửa rồi


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Best Friend: 28-06-2013 - 14:09

Best Friend   :wub:  :wub:  :wub:  :wub:


#199
Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết

Bài 120 (hàng mới nhập :icon10: )

Giải phương trình trên tập nghiệm tự nhiên :

$x^{2}y^{4}z^{6}=y^{2}+2y-1$

 

$y\vdots 2$ $\Rightarrow$ VP không chia hết cho 2 còn VT chia hết cho $2$ (vô lý)

$\Rightarrow$ y không chia hết cho 2. Đặt $y=2k+1$ thì $VP=(4k^2+4k+1)+4k+2-1=4k^2+8k+2$ chia 4 dư 2, Do $VP$ lẻ nên $VT$ lẻ mà $VT$ là số chính phương nên không thể chia 4 dư 2. Vậy phương trình vô nghiệm


:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#200
Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết

Vì x,y,z là các số tự nhiên.

Xét $xyz=0$

$x^{2}y^{4}z^{6}=y^{2}+2y-1$

Vì $x^{2}y^{4}z^{6}\vdots y\Rightarrow y^{2}+2y-1\vdots y\Rightarrow 1\vdots y\Rightarrow y=1\Rightarrow x=z=1$

Xét $xyz\neq 0$

Ta có : 

Sai rồi bạn ơi lỡ $y=0$ thì sao ?không xảy ra $x^{2}y^{4}z^{6}\vdots y$


:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 





3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh