Bài 119 : Giải phương trình nghiêm nguyên dương :
$2+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=y$
(Bài này ra nghiệm tổng quát hay sao ấy ? )
Ta có: $x\geq 1$ nên $\sqrt{x+\dfrac{1}{3}}>1$ suy ra $\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\dfrac{1}{3}}}>1$
Mặt khác dễ thấy $\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\dfrac{1}{3}}}$ nguyên nên
$\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\dfrac{1}{3}}}\geq 2$ hay $y\geq 4$
Ta có: $2+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=y$
$\Leftrightarrow x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}=(y-2)^2$
$\Leftrightarrow 4x+2+2\sqrt{4x+1}=4(y-2)^2$
$\Leftrightarrow (\sqrt{4x+1}+1)^2=4(y-2)^2$
$\Leftrightarrow \sqrt{4x+1}+1=2(y-2)$
$(\sqrt{4x+1}+1\neq 2(2-y)$ vì $y\geq 4\Rightarrow y-2<0 \Rightarrow \sqrt{4x+1}+1<0,$ vô lý$)$
$\Leftrightarrow 4x+1=[(2y-4)-1]$
$\Leftrightarrow 4x=(2y-4)(2y-6)$
$\Leftrightarrow x=(y-2)(y-3)$
Vì $y\geq 4$ nên $x>0$ $($Thỏa mãn$)$
Vậy $\boxed{(x\ ;\ y)=((y-2)(y-3)\ ;\ y)}$