Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic tổng hợp các bài toán về phương trình nghiệm nguyên.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 565 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 24-12-2012 - 16:36

*
Phổ biến

Chào mọi người!! ^_^
Để phục vụ nhu cầu viết chuyên đề Số học của VMF (bạn nào muốn tham gia viết thì có thể đăng kí ở đây), hiện nay mình mở topic này mong muốn tập hợp lại các bài toán số học về phương trình nghiệm nguyên hay và khó trên diễn đàn. Do đó mình xin đề xuất một số nội quy sau:
  • Đề bài phải ghi số thứ tự.
  • Lời giải phải ngắn gọn, chặt chẽ, trình bày tốt và lời giải phải cho đến đáp án cuối cùng.
  • Phải đánh $\LaTeX$ khi biểu diễn công thức toán, ngay cả các con số nhỏ như $2$ cũng phải kẹp trong dấu đô la.
  • Biết nêu nhận xét, bình luận, mở rộng hay tổng quát bài toán (nếu bạn có thể).
  • Nêu lí do vì sao bạn giải quyết bài toán theo hướng đó (nếu có thể).
Những ai không tuân thủ nội quy 1,2,3 thì sẽ bị xóa bài. Mong các bạn chấp hành đầy đủ.
Còn bây giờ thì hãy thử sức với bài toán đầu:
Bài 1. Giải phương trình nghiệm nguyên $$x^{2007}-9x^{2005}+5x^2-14x-3=0$$

Thân ái!! :luoi:
“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 aczimecss2

aczimecss2

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:(1 trường vô danh hic!)
  • Sở thích:Kem

Đã gửi 24-12-2012 - 19:31

Cái thể lệ này là gì zậy? Mình xin giải bài 1:
Bài 1:
$x^{2007}-9x^{2005}+5x^2-14x-3=0$
$\Leftrightarrow x^{2005}(x^{2}-9)+5x^{2}-15x+x-3=0$
$\Leftrightarrow x^{2005}(x-3)(x+3)+5x(x-3)+x-3=0$
$\Leftrightarrow (x^{2006}+3x^{2005}+5x+1)(x-3)=0$
Tiếp tục phân tích $x^{2006}+3x^{2005}+5x+1$ $(1)$
Nếu phương trình $(1)$ có nghiệm nguyên thì đó sẽ là ước của $1$ là $\pm 1$ thế $\pm 1$ vào phương trình $(1)$, thì phương trình $(1)$ khác $0$ vậy $(1)$ không có nghiệm nguyên.
Vậy phương trình có $1$ nghiệm nguyên duy nhất là $3$.
$S=\left \{ 3 \right \}$

Bạn cứ đọc bài mình viết sẽ hiểu thể lệ là cái gì :D
Lời giải bạn: Tuyệt vời! Ngoài ra ta còn có thể đánh giá sau:
Xét đa thức $P(x)=x^{2006}+3x^{2005}+5x+1$
$P(x)<0$ với $x \in \{-1;-2;-3 \}$.
$P(x)>0$ với $x \ge 0$ hoặc $x \le -4$.
Vậy $P(x) \ne 0$ với mọi $x \in \mathbb{Z}$, nên $x=3$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 24-12-2012 - 20:53


#3 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 24-12-2012 - 20:56

Tiếp tục nhé! :icon6:
Bài 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $$\left( {2x + 5y + 1} \right)\left( {{2^{\left| x \right|}} + y + {x^2} + x} \right) = 105$$
“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#4 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 24-12-2012 - 21:16

Tiếp tục nhé! :icon6:
Bài 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $$\left( {2x + 5y + 1} \right)\left( {{2^{\left| x \right|}} + y + {x^2} + x} \right) = 105$$

http://diendantoanhoc.net/index.php?/topic/83436-gi%E1%BA%A3i-ph%C6%B0%C6%A1ng-trinh-nghi%E1%BB%87m-nguyen-2x5y1-left2xyxx2-right105/

#5 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 25-12-2012 - 05:58

Bài 3. Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^3-x^2y+3x-2y-5=0$

(Được đăng bởi yellow)


Lời giải. (Phạm Quang Toàn)Ta có $y= \frac{x^3+3x-5}{x^2+2}= x+ \frac{x-5}{x^2+2}$.
Để $x,y \in \mathbb{Z}$ thì $x^2+2 \mid x-5$, suy ra $x^2+2 \mid (x-5)(x+5)$, nên $x^2+2 \mid 27$ hay $x^2+2 \in \{ \pm 1; \pm 3; \pm 9; \pm 27 \}$.
Lại có $x^2+2 \ge 2 \; \forall x \in \mathbb{Z}$ nên chỉ có thể $x^2+2 \in \{ 3,9,27 \}$.
Ta tìm được $x= \pm 1, \pm 5$. Thử lại thì thấy chỉ có $x=-1,x=5$ thỏa mãn. Đến đây dễ tìm $y$.
Phương trình có nghiệm $$\boxed{(x;y) \in \{ (-1;-3),(5;5_ \}}$$

Bài 4. Giải phương trình nghiệm nguyên
a, $3x^5+x^3+6x^2-18x=2001$
b, $x^5-5x^3+4x=24(5y+1)$




(Đăng bởi MyLoVeForYouNMT)


Lời giải. (lời giải của MIM) a, Ta có: $3x^5+6x^2-18x$ chia hết cho $3$, $2001$ cũng chia hết cho $3$ nên $x^3$ chia hết cho $3 \Rightarrow$ $x^3$ chia hết cho $9 \Rightarrow$ vế trái chia hết cho $9$, mà vế phải không chia hết cho $9$, phương trình trên không có nghiệm nguyên
b, Ta có $x^5 - 5x^3 + 4x =x(x+1)(x-1)(x-2)(x+2)$ chia hết cho $5$ ( vì $x,x+1,x-1,x-2,x+2$ là 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5) .Mặc khác, vế phải không chia hết cho $5$. vậy PT vô nghiệm.

Bài 5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $$x(x^2+x+1)=4y(y+1) \qquad (1)$$

(Đăng bởi MyLoVeForYouNMT)


Lời giải. (lời giải của Secrets In Inequalities VP) Ta có $$ (1) \Leftrightarrow (x^{2}+1)(x+1)= (2y+1)^{2}$$
Vì $2y+1$ là số lẻ nên $x^2+1$ và $x+1$ là hai số lẻ.
Đặt $(x^2+1,x+1)=d$, thì $d$ lẻ.
Lại có $x+1 \ \vdots d \Rightarrow x^2-1 \ \vdots d$ mà $x^2+1 \ \vdots d$ nên $2 \ \vdots d$. Do đó $d=1$.
Vậy $(x^2+1,x-1)=1$, nên $x^2+1$ và $x+1$ là hai số chính phương.
Ta thấy $x^2$ là số chính phương và $x^2+1$ cũng là số chính phương nên chỉ có thể $x=0$. Khi đó $y=0$ Ta tìm được nghiệm nguyên duy nhất của phương trình là $$\boxed{(x;y)=(0;0)}.$$

Chú ý. Bài này ta phải chú ý đến kết quả:
Nếu cho hai số nguyên dương $a,b$ nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $ab=x^2$ với $x \in \mathbb{N}^*$ thì $a,b$ là hai số chính phương.

Bài 6. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $

$y^2z^2+(y^3-2xy)z+x(x-y)+y^2z^2(y-1)=0$$


(Đăng bởi MIM)


Lời giải. (của xuanmai1998)
$y^2z^2+(y^3-2xy)z+x(x-y)+y^2z^2(y-1)=0$

$\Leftrightarrow (yz-x+\frac{y}{2})^2=y^2z(1-y)(1+z)+\frac{y^2}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{y^2}{4}=y^2z(y-1)(1+z)+(yz-x+\frac{y}{2})^2$

$\Rightarrow \frac{y^2}{4}\geq y^2z(y-1)(1+z)$

Nếu $y\geq 2$ thì $z(z+1)(y-1)\geq 2$ (do $z\geq 1$)

$\Rightarrow y^2z(z+1)(y-1)\geq \frac{y^2}{4}$, mâu thuẫn. Do đó $y=1$
Thay $y=1$ vào $\frac{y^2}{4}=y^2z(y-1)(1+z)+(yz-x+\frac{y}{2})^2$ ta có $(z-x+\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x=z \\
x=z+1 \\
\end{array} \right.$

Vậy, các nghiệm của pt đã cho là $(k,1,k);(k+1,1+k)$ với $k$ nguyên dương tùy ý.

Bài 7. Giải phương trình nghiệm nguyên sau: $$2x^6+y^2-3x^3y=320$$

(Đăng bởi Nguyen Viet Khanh 6c)



Lời giải. Cách 1. (của tramyvodoi) Viết phương trình đã cho dưới dạng : $\left ( x^{3} \right )^{2} + \left ( x^{3} - y \right )^{2} = 320$.
Đặt $u = x^{3}$ $,$ $v = x^{3} - y$. Ta có : $u^{2} + v^{2} = 320$. Do $320$ là số chẵn nên $u$ và $v$ có cùng tính chẵn lẻ. Giả sử $u$ $,$ $v$ cùng lẻ, thế thì $u^{2} \equiv 1 \left ( \mod {4} \right )$ và $v^{2} \equiv 1 \left ( \mod {4} \right )$ $\Rightarrow$ $u^{2} + v^{2} \equiv 2 \left ( \mod {4} \right )$ $\Rightarrow$ $u^{2} + v^{2} \neq 320$, vô lý. Vậy $u$ và $v$ cùng chẵn.
Đặt $u = 2u_{1}$ $,$ $v = 2v_{1}$, thay vào ta được $u_{1}^{2} + v_{1}^{2} = 80$. Lập luận tương tự, ta lại có $u_{1}$ và $v_{1}$ cùng chẵn. Tiếp tục, lại đặt $u_{1} = 2u_{2}$ $,$ $v_{1} = 2v_{2}$, và lại suy ra $u_{2}$ và $v_{2}$ cung chẵn $\left ( u_{2}^{2} + v_{2}^{2} = 20 \right )$.
Đặt $u_{2} = 2u_{3}$ $,$ $v_{2} = 2v_{3}$, ta lại được $u_{3}^{2} + v_{3}^{2} = 5$. Do $u$ là lập phương của một số nguyên và $u = 2^{3}u_{3}$, nên suy ra $u_{3}$ cũng là lập phương của một số nguyên. Từ đó các cặp $u_{3}$ $,$ $v_{3}$ thỏa mãn phương trình trên là : $\left ( 1, 2 \right ) ; \left ( -1, 2 \right ) ; \left ( 1, -2 \right ) ; \left ( -1, -2 \right )$.
Vậy dễ dàng tìm được các nghiệm $\left ( x, y \right )$ của phương trình đã cho là : $\left ( 2, -8 \right ) ; \left ( 2, 24 \right ) ; \left ( -2, -24 \right ) ; \left ( -2, 8 \right )$.

Cách 2. (của duaconcuachua98) Ta có pt đã cho tương đương với $$(x^{3})^{2}+(x^{3}-y)^{2}=320$$
Vì $x,y$ nguyên nên $320$ là tổng của $2$ số chính phương
Mà 320 viết thành tổng của 2 số chính phương chỉ có trường hợp là $320=16^{2}+8^{2}$ hoặc $320=16^2+(-8)^2$.
Mà $x^{3}$ là lập phương của 1 số nguyên nên $x^{3}=8$ hoặc $x^3=-8$, suy ra $x=2$ hoặc $x=-2$
+)Với $x=2$ ta có: $64+(8-y)^{2}=320$, suy ra $y=24$ hoặc $y=-8$
+)Với $x=-2$ ta có: $64+(-8-y)^{2}=320$, suy ra $y=8$ hoặc $y=-24$.

(Sẽ cập nhật tiếp ...)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 25-12-2012 - 06:01

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#6 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 25-12-2012 - 12:29

Thử sức tiếp nhé :D
Bài 8. Giải phương trình nghiệm nguyên $$x^6-x^4+2x^3+2x^2=y^2$$
Bài 9. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $$(x^2+1)^y-(x^2-1)^y=(2x)^y$$
Bài 10. Giải phương trình nghiệm nguyên $$3x^2=y(y+2)=(z-1)(z^2+z+1)$$
Bài 11. Tìm bộ ba số nguyên không âm $x,y,z$ thỏa mãn $$\begin{cases} 3x^2+54=2y^2+4z^2 \\ 5x^2+74=3y^2+7z^2 \end{cases}$$ và tổng $x+y+z$ nhỏ nhất.
Bài 12. Giải phương trình nghiệm nguyên $$31^{2x}+12^{2x}+1997^{2x}=y^2$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 25-12-2012 - 12:46

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#7 Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:K46- Toán1 Chuyên Sư Phạm
  • Sở thích:Nghe nhạc, đánh đàn guitar và làm BDT

Đã gửi 25-12-2012 - 21:57

Thử sức tiếp nhé :D
Bài 8. Giải phương trình nghiệm nguyên $$x^6-x^4+2x^3+2x^2=y^2$$

Giải như sau:
TH$1$:$x\geq 0$ khi đó ta có: $(2x^3-x+2)^2\leq (2y)^2<(2x^3-x+4)^2$ do đó
Lại xét 2 TH: 1) $x^6-x^4+2x^3+2x^2=y^2$=$(2x^3-x+3)^2$$\Leftrightarrow 4x^3-8x^2-6x+9=0$ nó có nghiệm nguyên thì nghiệm này là ước của $9$. Thử vào ta đc loại
2) $$x^6-x^4+2x^3+2x^2=y^2$$=$(2x^3-x+2)^2\Leftrightarrow 4x-4=0\Leftrightarrow x=1$( Chọn)
TH$2$: $x<0$. Xét $x\leq -2$ thì ta có: $(2x^3-x+2)^2>(2y)^2>(2x^3-x+4)^2$ tương tự ta có vô nghiệm.
Xét $x=-1$ thoả mãn
Vậy $(x,y)=(1,2),(-1,0),(1,-2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Joker9999: 25-12-2012 - 21:58

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#8 Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:K46- Toán1 Chuyên Sư Phạm
  • Sở thích:Nghe nhạc, đánh đàn guitar và làm BDT

Đã gửi 25-12-2012 - 22:03

Thử sức tiếp nhé :D

Bài 9. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $$(x^2+1)^y-(x^2-1)^y=(2x)^y$$

Giải như sau:
Xét $x=1$ thì ta có pt trở thành: $2^y=2^y$ đúng với mọi $y$/
Xét $x>1\Rightarrow x^2-1>0$ ta có:
Nếu $y=1$ phương trình trở thành: $2=2x\Leftrightarrow x=1$
Nếu $y=2$ phương trình trở thành: $(x^2+1)^2-(x^2-1)^2=4x^2$ ( Hiển nhiên)
Nếu $y\geq 3$, ta có: $(2x)^y+(x^2-1)^y=(x^2+1)^y$ thì theo định lí lớn Fermat ta có PT này vô nghiệm nguyên dương
Kết luận:$(x,y)=(1,k),(k,2)$

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#9 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 25-12-2012 - 22:20

Giải như sau:
TH$1$:$x\geq 0$ khi đó ta có: $(2x^3-x+2)^2\leq (2y)^2<(2x^3-x+4)^2$ do đó
Lại xét 2 TH: 1) $x^6-x^4+2x^3+2x^2=y^2$=$(2x^3-x+3)^2$$\Leftrightarrow 4x^3-8x^2-6x+9=0$ nó có nghiệm nguyên thì nghiệm này là ước của $9$. Thử vào ta đc loại
2) $$x^6-x^4+2x^3+2x^2=y^2$$=$(2x^3-x+2)^2\Leftrightarrow 4x-4=0\Leftrightarrow x=1$( Chọn)
TH$2$: $x<0$. Xét $x\leq -2$ thì ta có: $(2x^3-x+2)^2>(2y)^2>(2x^3-x+4)^2$ tương tự ta có vô nghiệm.
Xét $x=-1$ thoả mãn
Vậy $(x,y)=(1,2),(-1,0),(1,-2)$

Lời giải bạn thiếu nghiệm $(0;0)$ (lỗi rất hay gặp ở mỗi lời giải). :excl:
Ta có cách đơn giản hơn sau:

Phân tích $$\begin{aligned} x^6-x^4+2x^3+2x^2=y^2 & \Leftrightarrow (x^6+2x^3+1)-(x^4-2x^2+1)=y^2 \\ & \Leftrightarrow (x^3+1)^2-(x^2-1)^2=y^2 \\ & \Leftrightarrow (x^3-x^2+2)(x^3+x^2)=y^2 \\ & \Leftrightarrow x^2(x+1)(x^3+x^2-2x^2+2)=y^2 \\ & \Leftrightarrow x^2(x+1)[x^2(x+1)-2(x-1)(x+1)]=y^2 \\ & \Leftrightarrow x^2(x+1)^2(x^2-2x+2)=y^2 \end{aligned}$$.
Với $x=0 \Rightarrow y=0$.
Với $x \ne 0$, nhận thấy VP là số chính phương và $x^2(x+1)^2$ cũng là số chính phương nên $x^2-2x+2$ là số chính phương. Đặt $x^2-2x+2=k^2$ với $k \in \mathbb{N}$.
Khi đó $(x-1)^2+1=k^2 \Leftrightarrow (k-x+1)(k+x-1)=1$.

$\boxed{ \text{TH1}}$. Với $\begin{cases} k-x+1=1 \\ k+x-1=1 \end{cases} \Rightarrow x=1 \Rightarrow y \in \{2;-2 \}$.

$\boxed{ \text{TH2}}$. Với $\begin{cases} k+x-1 \\ k-x+1=-1 \end{cases} \Rightarrow x=-1 \Rightarrow y=0$.

Phương trình có nghiệm nguyên $$\boxed{(x;y) \in \{ (0;0),(1;2),(1;-2),(-1;0) \}}$$

Giải như sau:
Xét $x=1$ thì ta có pt trở thành: $2^y=2^y$ đúng với mọi $y$/
Xét $x>1\Rightarrow x^2-1>0$ ta có:
Nếu $y=1$ phương trình trở thành: $2=2x\Leftrightarrow x=1$
Nếu $y=2$ phương trình trở thành: $(x^2+1)^2-(x^2-1)^2=4x^2$ ( Hiển nhiên)
Nếu $y\geq 3$, ta có: $(2x)^y+(x^2-1)^y=(x^2+1)^y$ thì theo định lí lớn Fermat ta có PT này vô nghiệm nguyên dương
Kết luận:$(x,y)=(1,k),(k,2)$

Bạn nêu ra định lí lớn Fermat thì đòi hỏi phải có chứng minh :luoi:
Thử tìm cách khác nhé! :namtay

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 25-12-2012 - 22:25

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#10 N H Tu prince

N H Tu prince

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 388 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Di Linh

Đã gửi 25-12-2012 - 22:21

Bài 12. Giải phương trình nghiệm nguyên $$31^{2x}+12^{2x}+1997^{2x}=y^2$$

$31\equiv 1(mod \ 3) \Rightarrow 31^{2x}\equiv 1(mod \ 3)$
$12^{2x}\equiv 0(mod3)$
$1997\equiv 2(mod \ 3) \Rightarrow 1997^{2x}\equiv 4^x\equiv 1(mod \ 3)$
$\Rightarrow VT\equiv 2(mod \ 3),VP\equiv 0,1(mod \ 3)$. Phương trình. vô nghiệm nguyên.

Chuẩn mem. Chú ý dấu suy ra thì gõ \implies. :icon11:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 25-12-2012 - 22:27

Link

 


#11 barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Thái Bình---HSGS
  • Sở thích:Number Theory,Analysis

Đã gửi 26-12-2012 - 01:50

Bài 11 giải như sau
Trừ 2 vế cho nhau ta có: $2x^2=y^2+3z^2$
Nếu $x$ chia hết cho $3$,từ phương trình trên suy ra $y,z$ chia hết cho $3$
Tổng $x+y+z$ nhỏ nhất nên $(x,y,z)=(0,0,0)$ la nghiem
Nếu x không chia hết cho 3, suy ra vt khác vp mod3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MIM: 26-12-2012 - 05:32

[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#12 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 26-12-2012 - 11:13

Bài 11 giải như sau
Trừ 2 vế cho nhau ta có: $2x^2=y^2+3z^2$
Nếu $x$ chia hết cho $3$,từ phương trình trên suy ra $y,z$ chia hết cho $3$
Tổng $x+y+z$ nhỏ nhất nên $(x,y,z)=(0,0,0)$ la nghiem
Nếu x không chia hết cho 3, suy ra vt khác vp mod3

Chú ý nhé! Với nghiệm $(0;0;0)$ đâu có thỏa mãn hệ. Lời giải của bạn chưa đúng.
Thực chất đây chỉ là bài giải hệ bình thường, nên gợi ý cho mọi người là tìm cách đưa hệ trên thành phương trình có hai ẩn cho dễ tìm. :D
“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#13 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-12-2012 - 12:24


Bài 11. Tìm bộ ba số nguyên không âm $x,y,z$ thỏa mãn $$\begin{cases} 3x^2+54=2y^2+4z^2 \\ 5x^2+74=3y^2+7z^2 \end{cases}$$ và tổng $x+y+z$ nhỏ nhất.


Ta có:
$$\begin{cases} 3x^2+54=2y^2+4z^2 \\ 5x^2+74=3y^2+7z^2 \end{cases} (1)$$
$$\Leftrightarrow \begin{cases} 15x^2+270=10y^2+20z^2 \\ 15x^2+222=9y^2+21z^2 \end{cases}$$
$$\Leftrightarrow y^2-z^2=48$$
$$\Leftrightarrow (y-z)(y+z)=48=2^4.3$$
Vì $y$ và $z$ là $2$ số nguyên không âm nên $y>z$ $\Rightarrow$ $0<y-z<y+z$
Dễ thấy $y$ và $z$ cùng tính chẵn lẻ nên $y-z$ và $y+z$ là $2$ số chẵn.
Do đó ta chỉ xét các trường hợp sau:
Trường hợp $1$:
$\left\{\begin{matrix} y-z=6\\ y+z=8 \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=7\\ z=1 \end{matrix}\right.$
Thay vào $(1)$ tính được $x=4$ $(x\neq -4$ vì $x$ không âm$)$

Trường hợp $2$:
$\left\{\begin{matrix} y-z=2\\ y+z=24 \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=13\\ z=11 \end{matrix}\right.$
Thay vào $(1)$ tính được $x=16$ $(x\neq -16$ vì $x$ không âm$)$

Trường hợp $3$:
$\left\{\begin{matrix} y-z=4\\ y+z=12 \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=8\\ z=4 \end{matrix}\right.$
Thay vào $(1)$ tính được $x=\pm \sqrt{46}$ $($loại vì $x$ nguyên$)$

Do đó $x=4;$ $y=7;$ $z=1$ hoặc $x=16;$ $y=13;$ $z=11$
Mà để tổng $x+y+z$ nhỏ nhất thì $x=4;$ $y=7;$ $z=1.$
Vậy $\boxed {(x;y;z)=(4;7;1)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 26-12-2012 - 21:56


#14 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 26-12-2012 - 14:41

Nhận xét. +) Lời giải rất chuẩn :D
Như vậy là ta còn bài $9$ và bài $10$. Mình xin gợi ý bài $10$ và giải quyết bài $9$.
Lời giải bài 9. Phương trình đã cho tương đương với $$(x^2+1)^y=(2x)^y+(x^2-1)^y$$ Ta chia hai vế của phương trình cho $(x^2+1)^y \ne 0$ thì được $$1= \left( \frac{2x}{x^2+1} \right)^y+ \left( \frac{x^2-1}{x^2+1} \right)^y \qquad (1).$$

+) Nếu $x=1$ thì $(1) \Leftrightarrow 1=1+0$ luôn đúng với mọi $y \in \mathbb{N}^*$.
+) Nếu $x>1$ thì $y \ne 0$, do đó $y>1$.
  • Nếu $y=2$ thì $\left( \frac{2x}{x^2+1} \right)^2<1$ và $\left( \frac{x^2-1}{x^2+1} \right)^2<1$ $$\Rightarrow \frac{4x^2}{(x^2+1)^2}+ \frac{(x^2-1)^2}{(x^2+1)^2}= \frac{(x^2+1)^2}{(x^2+1)^2}=1$$ thỏa mãn $(1)$.
  • Nếu $y>2$ thì $\left( \frac{2x}{x^2+1} \right)^y> \left( \frac{2x}{x^2+1} \right)^2$ và $\left( \frac{x^2-1}{x^2+1} \right)^y> \left( \frac{x^2-1}{x^2+1} \right)^2$ nên $$\left( \frac{2x}{x^2+1} \right)^y+ \left( \frac{x^2-1}{x^2+1} \right)^y > \left( \frac{2x}{x^2+1} \right)^2+ \left( \frac{x^2-1}{x^2+1} \right)^2=1$$ không thỏa mãn $(1)$.
Vậy phương trình có nghiệm $$\boxed{(x,y) \in \{ (1;k),(m;2) \}}$$ với $k,m \in \mathbb{N}^*$.

Còn bài 10 thì có một gợi ý là phương trình $3x^2=y(y+2)=(z-1)(z^2+z+1)$ sẽ tương đương với $$3x^2+1=(y+1)^2=z^3$$ Một số vừa là bình phương vừa là lập phương thì chỉ có thể là lũy thừa bậc $6$. ... <_<

Bài 13. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $$3(x^2+xy+y^2)=x+8y$$
Bài 14. Tồn tại hay không cặp số nguyên $x,y$ thỏa mãn $$x^2-2y^2=1995+20^{11}+2000^{1996}$$
Bài 15. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $$x^4+y^4+z^4=2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2+24$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 26-12-2012 - 21:57

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#15 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-12-2012 - 18:51

Bài 15. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $$x^4+y^4+z^4=2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2+24$$


$$x^4+y^4+z^4=2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2+24$$
$$\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4+2x^2y^2-2y^2z^2-2z^2x^2-4x^2y^2=24 (1)$$
$$\Leftrightarrow \left ( z^2-x^2-y^2 \right )^2-4x^2y^2=24$$
$$\Leftrightarrow \left ( z^2-x^2-y^2-2xy \right )\left ( z^2-x^2-y^2+2xy \right )=24$$
$$\Leftrightarrow \left [ z^2-\left ( x+y \right )^2 \right ]\left [ z^2-\left ( x-y \right )^2 \right ]=24$$
$$\Leftrightarrow \left ( z-x-y \right )\left ( z+x+y \right )\left ( z-x+y \right )\left ( z+x-y \right )=24$$
Từ $(1)$ dễ thấy $3$ số $x;$ $y;$ $z$ cùng chẵn hoặc có $2$ số chẵn, $1$ số lẻ.

Trường hợp $1$: $x;$ $y;$ $z$ cùng chẵn
$\Rightarrow $ $z-x-y$ $\vdots$ $2$
$z+x+y$ $\vdots$ $2$
$z-x+y$ $\vdots$ $2$
$z+x-y$ $\vdots$ $2$
$\Rightarrow $ $\left ( z-x-y \right )\left ( z+x+y \right )\left ( z-x+y \right )\left ( z+x-y \right )$ $\vdots$ $16$
mà $24$ $\not {\vdots }$ $16$ nên vô nghiệm!

Trường hợp $2$: $x;$ $y;$ $z$ có $2$ số chẵn, $1$ số lẻ.
Tương tự như trên ta cũng chứng minh được $VT$ $\vdots$ $16$ nhưng $VP=24$ $\not {\vdots }$ $16$ $\Rightarrow$ vô nghiệm!

Kết luận: Vậy phương trình vô nghiệm nguyên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 27-12-2012 - 00:24


#16 Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:K46- Toán1 Chuyên Sư Phạm
  • Sở thích:Nghe nhạc, đánh đàn guitar và làm BDT

Đã gửi 26-12-2012 - 21:46

Bài 14. Tồn tại hay không cặp số nguyên $x,y$ thỏa mãn $$x^2-2y^2=1995+20^{11}+2000^{1996}$$

GIải như sau:
Ta có vế phải lẻ nên $x$ lẻ,$x^2$ chia $8$ dư $1$ tức là $x$ chia $4$ dư $1$, mặt khác vế phải chia $4$ dư $3$ nên $2y^2$ chia $4$ dư $2$, do đó $y$ chia $4$ dư $1$,
Như vậy $y$ lẻ, do đó $y^2$ chia $8$ dư 1.
Vế trái chia $8$ sẽ có số dư là $7$ nhưng vế phải chia $8$ dư 3.
Kết luận: Không tồn tại cặp $x,y$ nguyên thoả mãn đề bài.



Bài 13. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $$3(x^2+xy+y62)=x+8y$$

$y62$ là sao anh? X_X

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#17 Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:K46- Toán1 Chuyên Sư Phạm
  • Sở thích:Nghe nhạc, đánh đàn guitar và làm BDT

Đã gửi 26-12-2012 - 22:55

Bài 15. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $$x^4+y^4+z^4=2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2+24$$


Cách 2:$(x^2,y^2,z^2)\rightarrow (a,b,c)$ coi đây là pt bậc 2 ẩn a ta có:
$a^2-2a(b+c)+(b-c)^2-24=0$
$\Delta '=(b+c)^2-(b-c)^2+24=4bc+24\Rightarrow bc+6=k^2$
DO đó $6=(k-yz)(k+yz)$. Lại có $k-yz,k+yz$ đồng tính chẵn lẻ, nên nếu cả 2 cùng chẵn thì nó phải chia hết cho $4$ nhưng $6$ lại không chia hết cho $4$.
Kết luận: Phương trình vô nghiệm

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#18 Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:K46- Toán1 Chuyên Sư Phạm
  • Sở thích:Nghe nhạc, đánh đàn guitar và làm BDT

Đã gửi 27-12-2012 - 08:35

Bài 13. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $$3(x^2+xy+y^2)=x+8y$$

Giải như sau:
$3x^2+x(3y-1)+3y^2-8y=0$, coi đây là phương trình bậc $2$ ẩn $x$.
$\Delta =(3y-1)^2-12(3y^2-8y)=-27y^2+90y+1$
$\Delta \geq 0\Rightarrow 0\leq x\leq 3$.
Xét 3 trường hợp ta thấy cả 3 thì $\Delta$ không là số chính phương, trừ trường hợp $y=0$, ta có: $x=\frac{1-3y\pm 1}{6}=0$
Kết luận: Phương trình có nghiệm $(x,y)=(0,0)$

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#19 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 27-12-2012 - 14:45

Bài 10. Giải phương trình nghiệm nguyên $$3x^2=y(y+2)=(z-1)(z^2+z+1)$$


Lời giải bài 10. Phương trình tương đương với hệ $$\begin{cases} 3x^2+1=(y+1)^2 \\ 3x^2+1=z^3 \end{cases} \Rightarrow 3x^2+1=n^6$$ với $n \in \mathbb{N}$.
$$\Rightarrow 3x^2=n^6-1=(n^2-1)(n^4+n^2+1) \qquad (1)$$
Đặt $GCD(n^2-1,n^4+n^2+1)=d$ với $d \in \mathbb{N}^*$ thì $$\begin{cases} n^2-1 \vdots d \\ n^4+n^2+1 \vdots d \end{cases} \Rightarrow (n^4+n^2+1)-(n^2-1)^2=3n^2 \ \vdots d$$
Mà $n^2-1 \ \vdots d \Rightarrow 3n^2-3 \ \vdots d \Rightarrow 3 \vdots d \Rightarrow d \in \{1;3 \}$.

$\boxed{ \text{TH1}}.$ Nếu $d=1$ thì $(1) \Leftrightarrow \begin{cases} n^2-1=3u^2 \\ n^4+n^2+1=v^2 \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} n^2-1=u^2 \\ n^4+n^2+1=3v^2 \end{cases}$ với $u,v \in \mathbb{N}$.

$\boxed{ \text{TH2}}.$ Nếu $d=2$ thì $(1) \Leftrightarrow \begin{cases} n^2-1=3u^2 \\ n^4+n^2+1=3^2v^2 \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} n^2-1=3^2u^2 \\ n^4+n^2+1=3v^2 \end{cases}$.

Mọi người thử giải bốn hệ trên coi nghiệm được bao nhiêu nhỉ !! :wacko:

Bài 16. Giải phương trình nghiệm nguyên $$x^4+4x^3+7x^2+6x+4=y^2$$
Bài 17. Giải phương trình nghiệm nguyên $$8x^2+23y^2+16x-44y+16xy-1180=0$$
Bài 18. Tìm $x,y \in \mathbb{N}^*$ sao cho $6x+5y+18=2xy$.
Bài 19. Giải phương trình nghiệm nguyên $$32x^6+16y^6+4z^6=t^6$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 27-12-2012 - 16:39

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#20 duaconcuachua98

duaconcuachua98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Stamford Bridge

Đã gửi 27-12-2012 - 17:23

Bài 16. Giải phương trình nghiệm nguyên $$x^4+4x^3+7x^2+6x+4=y^2$$


Mình xin giải bằng phương pháp kẹp:
Với $x< -2$ và $x> 0$ ta có: $(x^{2}+2x+1)^{2}< x^{4}+4x^{3}+7x^{2}+6x+4< (x^{2}+2x+2)^{2}$
$\Rightarrow (x^{2}+2x+1)^{2}< y^{2}< (x^{2}+2x+2)^{2}$
Nên trường hợp này không xảy ra
Suy ra $-2\leq x\leq 0$ và $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \left \{ -2;-1;0 \right \}$
+) Với $x=-2$ ta có: $y=\pm 2$
+) Với $x=-1$ ta có $y=\sqrt{2}$ (không thỏa mãn)
+) Với $x=0$ ta có: $y=\pm 2$
Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(-2;-2);(-2;2);(0;2);(0;-2)$




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh