Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic tổng hợp các bài toán về phương trình nghiệm nguyên.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 577 trả lời

#181 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 18-06-2013 - 20:46

Tiếp tục topic nào ! (Mới phát hiện 1 bài khá hay)  :lol:

Bài 114 : Giải phương trình trên tập nghiệm tự nhiên :

  $x(x+3)+y(y+1)=z^{2}-2xy-1$

 

 

 

 

P.S : Jinbe giải giùm mình bài mở rộng 2 đi !


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 18-06-2013 - 20:47

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#182 phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tường THPT số 1 Đức Phổ, huyện Đức Phổ, tỉnh Quảng Ngãi
  • Sở thích:Ăn kem

Đã gửi 19-06-2013 - 08:06

Tiếp tục topic nào ! (Mới phát hiện 1 bài khá hay)  :lol:

Bài 114 : Giải phương trình trên tập nghiệm tự nhiên :

  $x(x+3)+y(y+1)=z^{2}-2xy-1$

 

 

 

 

P.S : Jinbe giải giùm mình bài mở rộng 2 đi !

Ta có $x(x+3)+y(y+1)=z^{2}-2xy-1\Leftrightarrow x^2+y^2+1+3x+y+2xy=z^2$

$*$ Ta thấy $z^2< (x+y+2)^2$ $(1)$

Thật vậy $x^2+y^2+1+3x+y+2xy< (x+y+2)^2$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+1+3x+y+2xy< x^2+y^2+4+4x+4y+2xy$

$\Leftrightarrow 0< 3+x+3y(Right)$

$*$ Mặt khác $z^2> (x+y)^2$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $(x+y)^2< z^2< (x+y+2)^2$

Suy ra $\left\{\begin{matrix} (x+y+1)^2=z^2\\ \\ (x+y+1)^2=x(x+3)+y(y+1)+2xy+1 \end{matrix}\right.$

Giải hệ trên là xong.


  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39


#183 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 19-06-2013 - 11:22

Các bạn post bài lên đi chứ ! Mình đang ôn về chuyên đề Số học nên đang cần bài tập  :angry:

Bài 115 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

$a_{1}^{5}+(a_{1}+a_{2})^{5}+(a_{1}+a_{2}+a_{3})^{5}+...+(a_{1}+a_{2}+...+a_{2014})^{5}=2014a_{1}+2013a_{2}+...+2a_{2013}+a_{2014}+2012^{2013}$

 

P.S : Bài này nghĩ ra giải ngon rồi nhưng chẳng biết có trật chỗ nào không ?  :luoi: 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 26-06-2013 - 11:41

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#184 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 19-06-2013 - 13:02

Bài 112: Tìm $x,\ y,\ z\in \mathbb{Z}$ thỏa mãn

$$\left\{\begin{matrix} 2x^3-7x^2+8x-2=y\\ 2y^3-7y^2+8y-2=z\\ 2z^3-7z^2+8z-2=x \end{matrix}\right.$$

 

Đặt $f(n)=2n^{3}-7n^{2}+8n-2$

- Xét $x,y,z$ đôi một khác nhau

Áp dụng tính chất $f(m)-f(p)\vdots (m-p)$

Ta có $f(x)-f(y)\vdots (x-y)\Rightarrow (y-z)\vdots (x-y)\Rightarrow y-z\geq x-y$

Hoàn toàn tương tự ta có :

$x-y\geq z-x;z-x\geq y-z$

Suy ra $y-z\geq y-z$

Đẳng thức phải xảy ra, khi đó : $x=y=z$  (mâu thuẫn)

- Xét $x = y = z$

Thay vào phương trình ta tìm được $(x;y;z)=(1;1;1);(2;2;2)$

 

P.S : Nếu hệ số $8$ của ẩn bậc nhất được thay bằng một hệ số lớn hơn $24,5$ thì ta có thể giải được hệ này trên tập số thực chứ không cần là tập số nguyên nữa !


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 19-06-2013 - 15:53

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#185 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 19-06-2013 - 13:56

Bài này coi na ná giống bài trên THTT số tháng này.

@Dark: Mình thử mở rộng bài đó :))
@Toàn: Tạm thời Dark đừng cho giải được không, vì nếu giải được bài đó là sẽ giải được bài trên THTT mất.

@Dark: OK, thế mình tạm ẩn bài này đi v 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 19-06-2013 - 14:14

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#186 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 19-06-2013 - 14:04

Đóng góp thêm bài.
Bài 117. Tìm số nguyên tố $(p,q)$ thoả mãn $36(3p-2q)^3=5(p+q)^2$.
“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#187 phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tường THPT số 1 Đức Phổ, huyện Đức Phổ, tỉnh Quảng Ngãi
  • Sở thích:Ăn kem

Đã gửi 20-06-2013 - 21:01

Bài 118. Cho $a,b$ là các số thực thỏa $a^3+b^3=16$. Hỏi ta tìm được bao nhiêu tổng $a+b\in \mathbb{Z}$.


  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39


#188 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 22-06-2013 - 10:38

Bài 118. Cho $a,b$ là các số thực thỏa $a^3+b^3=16$. Hỏi ta tìm được bao nhiêu tổng $a+b\in \mathbb{Z}$.

$0<16=a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=(a+b)[(a-\frac{b}{2})^{2}+\frac{3b^{2}}{4}]\Rightarrow a+b>0$

Khi đó ta chứng minh được :

$(a+b)^{3}\leq 4(a^{3}+b^{3})=64\Rightarrow 0<a+b\leq 4\Rightarrow a+b\in \left \{ 1;2;3;4 \right \}$

Vậy : Số giá trị nguyên của tổng $a+b$ nhận được là 4.


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#189 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 26-06-2013 - 10:40

Bài 119 : Giải phương trình nghiêm nguyên dương :

 

$2+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=y$

 

 

(Bài này ra nghiệm tổng quát hay sao ấy ?  :wacko: )


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#190 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-06-2013 - 11:22

Bài 119 : Giải phương trình nghiêm nguyên dương :

 

$2+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=y$

 

 

(Bài này ra nghiệm tổng quát hay sao ấy ?  :wacko: )

 

Ta có: $x\geq 1$ nên $\sqrt{x+\dfrac{1}{3}}>1$ suy ra $\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\dfrac{1}{3}}}>1$

 

Mặt khác dễ thấy $\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\dfrac{1}{3}}}$ nguyên nên 

 

$\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\dfrac{1}{3}}}\geq 2$ hay $y\geq 4$

 

Ta có: $2+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=y$

 

$\Leftrightarrow x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}=(y-2)^2$

 

$\Leftrightarrow 4x+2+2\sqrt{4x+1}=4(y-2)^2$

 

$\Leftrightarrow (\sqrt{4x+1}+1)^2=4(y-2)^2$

 

$\Leftrightarrow \sqrt{4x+1}+1=2(y-2)$

$(\sqrt{4x+1}+1\neq 2(2-y)$ vì $y\geq 4\Rightarrow y-2<0 \Rightarrow \sqrt{4x+1}+1<0,$ vô lý$)$

 

$\Leftrightarrow 4x+1=[(2y-4)-1]$

 

$\Leftrightarrow 4x=(2y-4)(2y-6)$

 

$\Leftrightarrow x=(y-2)(y-3)$

 

Vì $y\geq 4$ nên $x>0$ $($Thỏa mãn$)$

 

Vậy $\boxed{(x\ ;\ y)=((y-2)(y-3)\ ;\ y)}$



#191 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 26-06-2013 - 11:58

Bài 119 : Giải phương trình nghiêm nguyên dương :

 

$2+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=y$

 

 

(Bài này ra nghiệm tổng quát hay sao ấy ?  :wacko: )

Lời giải. Ta có $\sqrt{x+ \frac 12 + \sqrt{x+ \frac 14}}= \sqrt{ \left( \sqrt{x+ \frac 14}+ \frac 12 \right)^2}= \sqrt{x+ \frac 14}+ \frac 12$.

Do đó $\sqrt{x+ \frac 14}= y- \frac 52 \Leftrightarrow x+ \frac 14= y^2- 5y+ \frac{25}{4}$

$\Leftrightarrow x=y^2-5y+6= (y-2)(y-3)$.

Vậy $\boxed{ (x,y)=( (k-2)(k-3);k)}$ với mọi $k \in \mathbb{N}^*$.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#192 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 26-06-2013 - 12:00

Bài 119 : Giải phương trình nghiêm nguyên dương :

 

$2+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=y$

 

 

(Bài này ra nghiệm tổng quát hay sao ấy ?  :wacko: )

Thay $2$ bởi $x$ thì ta được bài toán này (chắc tổng quát nhất rồi), lời giải ở topic đó luôn.


Thích ngủ.


#193 4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 26-06-2013 - 15:58

Đóng góp thêm bài.
Bài 117. Tìm số nguyên tố $(p,q)$ thoả mãn $36(3p-2q)^3=5(p+q)^2$.

ta thấy vế trái chia hết cho 36 mà (5;360=1 suy ra $(p+q)^{2}\vdots 6$

vế phải chia hết cho 5 suy ra vế trái chia hết cho 5 suy ra $\left ( 3p-2q \right )^{3}\vdots 5\Leftrightarrow 3p-2q\vdots 5\Rightarrow VT\vdots 125\Rightarrow (p+q)^{2}\vdots 25\Rightarrow p+q\vdots 5$

đặt $3p-2q=n$;$p+q=m$ với m,n là các số nguyên không âm

thì ta có $36.(5n)^{3}=5.(30m)^{2}\Leftrightarrow n^{3}= m^{2}$

vậy m có dạng $k^{3}$ khi đó 

+) nếu k bằng 1 thì p=13; q=17

nếu $k\neq 1\Rightarrow p+q=(30k)^{3}\Rightarrow (3p-2q)^{3}=125k^{6}\rightarrow (3p-2q)= 125k^{2}\rightarrow p=k^{2}+12k^{3}$ chia hết cho $k^{2}$ loại vì p là số nguyên tố .

vậy p=13;q=17


 B.F.H.Stone


#194 Best Friend

Best Friend

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Đã gửi 26-06-2013 - 17:15

Bài này sai 

 

ta thấy vế trái chia hết cho 36 mà (5;360=1 suy ra $(p+q)^{2}\vdots 6$

vế phải chia hết cho 5 suy ra vế trái chia hết cho 5 suy ra $\left ( 3p-2q \right )^{3}\vdots 5\Leftrightarrow 3p-2q\vdots 5\Rightarrow VT\vdots 125\Rightarrow (p+q)^{2}\vdots 25\Rightarrow p+q\vdots 5$

đặt $3p-2q=n$;$p+q=m$ với m,n là các số nguyên không âm

thì ta có $36.(5n)^{3}=5.(30m)^{2}\Leftrightarrow n^{3}= m^{2}$

vậy m có dạng $k^{3}$ khi đó 

+) nếu k bằng 1 thì p=13; q=17

nếu $k\neq 1\Rightarrow p+q=(30k)^{3}\Rightarrow (3p-2q)^{3}=125k^{6}\rightarrow (3p-2q)= 125k^{2}\rightarrow p=k^{2}+12k^{3}$ chia hết cho $k^{2}$ loại vì p là số nguyên tố .

vậy p=13;q=17

 Nhìn cái đề đã là phương trình vô nghiệm rồi

VT là 1 sô chính phương còn VP $5(p+q)^{2}$ ko là scp


Best Friend   :wub:  :wub:  :wub:  :wub:


#195 phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tường THPT số 1 Đức Phổ, huyện Đức Phổ, tỉnh Quảng Ngãi
  • Sở thích:Ăn kem

Đã gửi 27-06-2013 - 20:29

Bài này sai 

 

 Nhìn cái đề đã là phương trình vô nghiệm rồi

VT là 1 sô chính phương còn VP $5(p+q)^{2}$ ko là scp

Tại sao vế trái là số chính phương vậy bạn? :luoi:  Tui thấy kết luận VT chính phương là hơi sớm đấy!


  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39


#196 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 27-06-2013 - 22:14

Bài 120 (hàng mới nhập :icon10: )

Giải phương trình trên tập nghiệm tự nhiên :

$x^{2}y^{4}z^{6}=y^{2}+2y-1$


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#197 Best Friend

Best Friend

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Đã gửi 28-06-2013 - 10:00

Tại sao vế trái là số chính phương vậy bạn? :luoi:  Tui thấy kết luận VT chính phương là hơi sớm đấy!

Vì $\left ( p+q \right )^{2}$ là 1 số chính phương $\Rightarrow 5\left ( p+q \right )^{2}$ ko thể đc.

Theo tính chất số chính phương mà bạn luôn có dạng $a^{2}k^{2}$


Best Friend   :wub:  :wub:  :wub:  :wub:


#198 Best Friend

Best Friend

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Đã gửi 28-06-2013 - 10:06

Bài 120 (hàng mới nhập :icon10: )

Giải phương trình trên tập nghiệm tự nhiên :

$x^{2}y^{4}z^{6}=y^{2}+2y-1$

Vì x,y,z là các số tự nhiên.

Xét $xyz=0$ PT VN

Xét $xyz\neq 0$

Ta có : 

 

$x^{2}y^{4}z^{6}=y^{2}+2y-1$

Vì $x^{2}y^{4}z^{6}\vdots y\Rightarrow y^{2}+2y-1\vdots y\Rightarrow 1\vdots y\Rightarrow y=1$ VN

 

@Dark: Mình góp ý chút nha :))

Tới chỗ suy ra $y=1$ suy ra $x^2z^6=2$

Xét 2 trường hợp: $x=1$ và $x>1$ 

TH1:  $x=1$ suy ra $z^6=2$ (Vô lý)

TH2: $x>1\Leftrightarrow x\geq 2\Leftrightarrow x^2\geq 4$ mà $z^6\geq 1$ nên $x^2z^6\geq 6>2$ (Vô nghiệm)

@Best: Thanks bạn, mik đã sửa rồi


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Best Friend: 28-06-2013 - 14:09

Best Friend   :wub:  :wub:  :wub:  :wub:


#199 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 28-06-2013 - 10:06

Bài 120 (hàng mới nhập :icon10: )

Giải phương trình trên tập nghiệm tự nhiên :

$x^{2}y^{4}z^{6}=y^{2}+2y-1$

 

$y\vdots 2$ $\Rightarrow$ VP không chia hết cho 2 còn VT chia hết cho $2$ (vô lý)

$\Rightarrow$ y không chia hết cho 2. Đặt $y=2k+1$ thì $VP=(4k^2+4k+1)+4k+2-1=4k^2+8k+2$ chia 4 dư 2, Do $VP$ lẻ nên $VT$ lẻ mà $VT$ là số chính phương nên không thể chia 4 dư 2. Vậy phương trình vô nghiệm


:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#200 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 28-06-2013 - 10:09

Vì x,y,z là các số tự nhiên.

Xét $xyz=0$

$x^{2}y^{4}z^{6}=y^{2}+2y-1$

Vì $x^{2}y^{4}z^{6}\vdots y\Rightarrow y^{2}+2y-1\vdots y\Rightarrow 1\vdots y\Rightarrow y=1\Rightarrow x=z=1$

Xét $xyz\neq 0$

Ta có : 

Sai rồi bạn ơi lỡ $y=0$ thì sao ?không xảy ra $x^{2}y^{4}z^{6}\vdots y$


:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh