Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic tổng hợp các bài toán về phương trình nghiệm nguyên.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 577 trả lời

#561 niemvuitoan

niemvuitoan

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 35 Bài viết

Đã gửi 28-07-2018 - 20:08

Cách của mình nè $\frac{x-1}{2019}=\frac{1-y}{2018}=t$ ,tính x,y theo t rùi dùng $x\geq0$ và $y\geq0$ giới hạn t trong một khoảng giá trị ,chú ý là t nguyên nữa nhé là oke

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi niemvuitoan: 28-07-2018 - 21:04


#562 toanhoc2017

toanhoc2017

    Trung úy

  • Thành viên
  • 970 Bài viết

Đã gửi 30-07-2018 - 12:12

Bài tập :
a) Tìm nghiệm nguyên của $(y-2)x^{2018}+y^2+3y-3=0$
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình $(x+2018)(x+2019)(x+2020)(x+2021)+24y=2022$
(sáng tác)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanhoc2017: 30-07-2018 - 12:16


#563 azcva

azcva

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

Đã gửi 30-07-2018 - 12:21

Thỉnh giáo 3 câu nè ae ( không biết làm nói vậy cho oai thôi :} ) 

1) Tìm n nguyên để n4+n3+n2 là số chính phương

2) Tìm n nguyên để (n-2010)(n-2011)(n-2012) là số chính phương

3) Tìm các số nguyên tố x,y sao cho : x2+3xy+y2 là số chính phương



#564 toanhoc2017

toanhoc2017

    Trung úy

  • Thành viên
  • 970 Bài viết

Đã gửi 30-07-2018 - 12:21

Bài tập :tìm nghiệm nguyên của $2018xy=2017(x+y)$

#565 toanhoc2017

toanhoc2017

    Trung úy

  • Thành viên
  • 970 Bài viết

Đã gửi 30-07-2018 - 19:52

Bài tập : Tìm $a, b, c$ nguyên tố để $abc=2017(a+b+c) $

#566 Katnatte

Katnatte

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 13-04-2019 - 21:40

 

Bài 3. Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^3-x^2y+3x-2y-5=0$

(Được đăng bởi yellow)


Lời giải. (Phạm Quang Toàn)Ta có $y= \frac{x^3+3x-5}{x^2+2}= x+ \frac{x-5}{x^2+2}$.
Để $x,y \in \mathbb{Z}$ thì $x^2+2 \mid x-5$, suy ra $x^2+2 \mid (x-5)(x+5)$, nên $x^2+2 \mid 27$ hay $x^2+2 \in \{ \pm 1; \pm 3; \pm 9; \pm 27 \}$.
Lại có $x^2+2 \ge 2 \; \forall x \in \mathbb{Z}$ nên chỉ có thể $x^2+2 \in \{ 3,9,27 \}$.
Ta tìm được $x= \pm 1, \pm 5$. Thử lại thì thấy chỉ có $x=-1,x=5$ thỏa mãn. Đến đây dễ tìm $y$.
Phương trình có nghiệm $$\boxed{(x;y) \in \{ (-1;-3),(5;5_ \}}$$

Bài 4. Giải phương trình nghiệm nguyên
a, $3x^5+x^3+6x^2-18x=2001$
b, $x^5-5x^3+4x=24(5y+1)$




(Đăng bởi MyLoVeForYouNMT)


Lời giải. (lời giải của MIM) a, Ta có: $3x^5+6x^2-18x$ chia hết cho $3$, $2001$ cũng chia hết cho $3$ nên $x^3$ chia hết cho $3 \Rightarrow$ $x^3$ chia hết cho $9 \Rightarrow$ vế trái chia hết cho $9$, mà vế phải không chia hết cho $9$, phương trình trên không có nghiệm nguyên
b, Ta có $x^5 - 5x^3 + 4x =x(x+1)(x-1)(x-2)(x+2)$ chia hết cho $5$ ( vì $x,x+1,x-1,x-2,x+2$ là 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5) .Mặc khác, vế phải không chia hết cho $5$. vậy PT vô nghiệm.

Bài 5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $$x(x^2+x+1)=4y(y+1) \qquad (1)$$

(Đăng bởi MyLoVeForYouNMT)


Lời giải. (lời giải của Secrets In Inequalities VP) Ta có $$ (1) \Leftrightarrow (x^{2}+1)(x+1)= (2y+1)^{2}$$
Vì $2y+1$ là số lẻ nên $x^2+1$ và $x+1$ là hai số lẻ.
Đặt $(x^2+1,x+1)=d$, thì $d$ lẻ.
Lại có $x+1 \ \vdots d \Rightarrow x^2-1 \ \vdots d$ mà $x^2+1 \ \vdots d$ nên $2 \ \vdots d$. Do đó $d=1$.
Vậy $(x^2+1,x-1)=1$, nên $x^2+1$ và $x+1$ là hai số chính phương.
Ta thấy $x^2$ là số chính phương và $x^2+1$ cũng là số chính phương nên chỉ có thể $x=0$. Khi đó $y=0$ Ta tìm được nghiệm nguyên duy nhất của phương trình là $$\boxed{(x;y)=(0;0)}.$$

Chú ý. Bài này ta phải chú ý đến kết quả:
Nếu cho hai số nguyên dương $a,b$ nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $ab=x^2$ với $x \in \mathbb{N}^*$ thì $a,b$ là hai số chính phương.

Bài 6. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $

$y^2z^2+(y^3-2xy)z+x(x-y)+y^2z^2(y-1)=0$$


(Đăng bởi MIM)


Lời giải. (của xuanmai1998)
$y^2z^2+(y^3-2xy)z+x(x-y)+y^2z^2(y-1)=0$

$\Leftrightarrow (yz-x+\frac{y}{2})^2=y^2z(1-y)(1+z)+\frac{y^2}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{y^2}{4}=y^2z(y-1)(1+z)+(yz-x+\frac{y}{2})^2$

$\Rightarrow \frac{y^2}{4}\geq y^2z(y-1)(1+z)$

Nếu $y\geq 2$ thì $z(z+1)(y-1)\geq 2$ (do $z\geq 1$)

$\Rightarrow y^2z(z+1)(y-1)\geq \frac{y^2}{4}$, mâu thuẫn. Do đó $y=1$
Thay $y=1$ vào $\frac{y^2}{4}=y^2z(y-1)(1+z)+(yz-x+\frac{y}{2})^2$ ta có $(z-x+\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x=z \\
x=z+1 \\
\end{array} \right.$

Vậy, các nghiệm của pt đã cho là $(k,1,k);(k+1,1+k)$ với $k$ nguyên dương tùy ý.

Bài 7. Giải phương trình nghiệm nguyên sau: $$2x^6+y^2-3x^3y=320$$

(Đăng bởi Nguyen Viet Khanh 6c)



Lời giải. Cách 1. (của tramyvodoi) Viết phương trình đã cho dưới dạng : $\left ( x^{3} \right )^{2} + \left ( x^{3} - y \right )^{2} = 320$.
Đặt $u = x^{3}$ $,$ $v = x^{3} - y$. Ta có : $u^{2} + v^{2} = 320$. Do $320$ là số chẵn nên $u$ và $v$ có cùng tính chẵn lẻ. Giả sử $u$ $,$ $v$ cùng lẻ, thế thì $u^{2} \equiv 1 \left ( \mod {4} \right )$ và $v^{2} \equiv 1 \left ( \mod {4} \right )$ $\Rightarrow$ $u^{2} + v^{2} \equiv 2 \left ( \mod {4} \right )$ $\Rightarrow$ $u^{2} + v^{2} \neq 320$, vô lý. Vậy $u$ và $v$ cùng chẵn.
Đặt $u = 2u_{1}$ $,$ $v = 2v_{1}$, thay vào ta được $u_{1}^{2} + v_{1}^{2} = 80$. Lập luận tương tự, ta lại có $u_{1}$ và $v_{1}$ cùng chẵn. Tiếp tục, lại đặt $u_{1} = 2u_{2}$ $,$ $v_{1} = 2v_{2}$, và lại suy ra $u_{2}$ và $v_{2}$ cung chẵn $\left ( u_{2}^{2} + v_{2}^{2} = 20 \right )$.
Đặt $u_{2} = 2u_{3}$ $,$ $v_{2} = 2v_{3}$, ta lại được $u_{3}^{2} + v_{3}^{2} = 5$. Do $u$ là lập phương của một số nguyên và $u = 2^{3}u_{3}$, nên suy ra $u_{3}$ cũng là lập phương của một số nguyên. Từ đó các cặp $u_{3}$ $,$ $v_{3}$ thỏa mãn phương trình trên là : $\left ( 1, 2 \right ) ; \left ( -1, 2 \right ) ; \left ( 1, -2 \right ) ; \left ( -1, -2 \right )$.
Vậy dễ dàng tìm được các nghiệm $\left ( x, y \right )$ của phương trình đã cho là : $\left ( 2, -8 \right ) ; \left ( 2, 24 \right ) ; \left ( -2, -24 \right ) ; \left ( -2, 8 \right )$.

Cách 2. (của duaconcuachua98) Ta có pt đã cho tương đương với $$(x^{3})^{2}+(x^{3}-y)^{2}=320$$
Vì $x,y$ nguyên nên $320$ là tổng của $2$ số chính phương
Mà 320 viết thành tổng của 2 số chính phương chỉ có trường hợp là $320=16^{2}+8^{2}$ hoặc $320=16^2+(-8)^2$.
Mà $x^{3}$ là lập phương của 1 số nguyên nên $x^{3}=8$ hoặc $x^3=-8$, suy ra $x=2$ hoặc $x=-2$
+)Với $x=2$ ta có: $64+(8-y)^{2}=320$, suy ra $y=24$ hoặc $y=-8$
+)Với $x=-2$ ta có: $64+(-8-y)^{2}=320$, suy ra $y=8$ hoặc $y=-24$.

(Sẽ cập nhật tiếp ...)

 

câu 5 còn nghiệm y=-1



#567 Nguyenkhanhviet

Nguyenkhanhviet

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết

Đã gửi 04-01-2020 - 00:00

tìm cặp số nguyên dương x y thỏa mãn phương trình x(x+1)+y(y+1)=z(z+1) trong đó x y nguyên tố
Ai giúp tớ cái

#568 ngoc tram1802

ngoc tram1802

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết

Đã gửi 21-03-2020 - 21:27

tìm nghiệm nguyên x2-2xy+4y2=x2y2



#569 LTQ

LTQ

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Đã gửi 21-03-2020 - 21:38

Tìm nghiệm nguyên của pt x2-2xy+4y2=x2y2    (1)

Giải:

pt(1)<=>x2-4xy+4y2=(x2y2-2xy+1)-1

<=>(x-2y)2=(xy-1)2-1

<=>(xy+x-2y-1)(xy-x+2y-1)=1=1.1=-1(-1)

Xét các trường hợp trên là ra.



#570 ngoc tram1802

ngoc tram1802

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết

Đã gửi 24-03-2020 - 22:57

bài 20: tìm nghiệm nguyên x2y2(x+y)+x=2+xy-y



#571 Long Sei

Long Sei

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 47 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng
  • Sở thích:Hình học, Bất đẳng thức

Đã gửi 02-04-2020 - 13:01

bài 20: tìm nghiệm nguyên x2y2(x+y)+x=2+xy-y

 

Bài này chắc xài đánh giá được...



#572 dvkolineok

dvkolineok

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 04-04-2020 - 20:02

Mọi người giúp mình bài toán này nhé:

 

Cho x,y là các số nguyên dương thỏa mãn: $\frac{x^{2}+xy+1}{y^{2}+xy+1}$ là một số nguyên dương.

Chứng tỏ: $\frac{4025*xy}{2012*x^{2}+2013*y^{2}}$ cũng là một số nguyên dương.

 

Cám ơn ace


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dvkolineok: 04-04-2020 - 20:06


#573 doankhang12345

doankhang12345

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:NƠI NÀO ĐÓ
  • Sở thích:MỌI THỨ :))

Đã gửi 12-04-2020 - 10:30

bài 20: tìm nghiệm nguyên x2y2(x+y)+x=2+xy-y

Nếu bạn rảnh thì có thể làm cách dài dòng là dùng Δ :))



#574 vietdung109

vietdung109

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:thích bđt và số học

Đã gửi 19-04-2020 - 16:45

mk có bài này muốn góp cho topic:

 

Tìm m,n nguyên dương thỏa mãn : $n! + 505 = m^{2}$



#575 Lovesha

Lovesha

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Đã gửi 21-04-2020 - 23:18

mk có bài này muốn góp cho topic:

 

Tìm m,n nguyên dương thỏa mãn : $n! + 505 = m^{2}$

Nếu $n=1,2,3,4,5,6,7,8,9$, thay vào rồi tính m

Nếu $n\geq10$ =>$n!$ chia hết cho $25$

=>$n!+505$ chia hết cho $5$

=>$m^2$ chia hết cho $5$

=>$m^2$ chia hết cho $25$ (loại do $n!+505$ không chia hết cho $25$)



#576 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 23-04-2020 - 14:46

Bài tập :tìm nghiệm nguyên của $2018xy=2017(x+y)$

$\Leftrightarrow y=\frac{2017x}{2018x-2017}$ (1)

Ta có: x=y=0  là 1 nghiệm.

Xét x;y khác 0; từ (1); ta có: 2017 chia hết cho x

=> x=1 hoặc x=2017.

Nếu x=1=>y=2017.

x=2017=>.y=1

Vậy...



#577 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Wakanda

Đã gửi 03-05-2020 - 14:29

mk có bài này muốn góp cho topic:

 

Tìm m,n nguyên dương thỏa mãn : $n! + 505 = m^{2}$

Bài này trong đề thi thử KHTN năm nay  :D

Đáp số là $(n;m)=(4;23), (5;25), (6;35)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 03-05-2020 - 14:30


#578 vietdung109

vietdung109

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:thích bđt và số học

Đã gửi 03-05-2020 - 23:18

Bài này trong đề thi thử KHTN năm nay  :D

Đáp số là $(n;m)=(4;23), (5;25), (6;35)$

uk mà mk ko đi thi đc nên lm đề mà ko có đáp án ( buồn.) :(






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh