Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic tổng hợp các bài toán về phương trình nghiệm nguyên.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 577 trả lời

#121 duaconcuachua98

duaconcuachua98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Stamford Bridge

Đã gửi 26-04-2013 - 19:53

Bài 86 : Chứng minh rằng phương trình $x^{2}-2mx+2.1993^{1994}=0$ không có nghiệm nguyên với mọi số nguyên m

 

Ta có: $x^{2}-2mx+2.1993^{1994}=0(1)$

Xét phương trình $(1)$ có $\Delta '=m^{2}-2.1993^{1994}$

Ta có: $2.1993^{1994}\equiv 2(mod4)$

Vì $m^{2}$ là số chính phương nên ta có: $\begin{bmatrix} m^{2}\vdots 4 & \\ m^{2}\equiv 1(mod4) & \end{bmatrix}$

$\bigstar$ Nếu $m^{2}\vdots 4$ ta có: $\Delta '\equiv 2(mod4)$ nên $\Delta '$ không là số chính phương

$\bigstar$ Nếu $m^{2}\equiv 1(mod4)$ ta có: $\Delta '\equiv 3(mod4)$ nên $\Delta '$ không là số chính phương 

Vậy $\forall m\in \mathbb{Z}$ thì phương trình $(1)$ không có nghiệm nguyên



#122 4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 26-04-2013 - 20:25

Bài 87:gpt NGHIỆM nguyên $41x-37y=187$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 31ichiro: 26-04-2013 - 20:27

 B.F.H.Stone


#123 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 26-04-2013 - 21:33

Bài 88. GPT nghiệm nguyên : $2x^{3}+xy=7$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#124 4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 27-04-2013 - 20:19

Bài 88. GPT nghiệm nguyên : $2x^{3}+xy=7$

$2x^{3}+xy=7\Leftrightarrow x(2x^{2}+y)=7$

thế này là thành phương trình ước số rồi, việc còn lại quá đơn giản


 B.F.H.Stone


#125 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 29-04-2013 - 14:32

Bài 85: $x^{3}+(x+1)^{3}+(x+2)^{3}+...+(x+7)^{3}=y^{3} \qquad (1)$

Lời giải. Ta sẽ đi chứng minh $(1)$ không có nghiệm nguyên bằng cách vận dụng tính chất:

$a \equiv 0 \pmod{7} \Rightarrow a^3 \equiv 0 \pmod{7}$

$a \equiv 1,2,4 \pmod{7} \Rightarrow a^3 \equiv 1 \pmod{7}$.

$a \equiv 3,5,6 \pmod{7} \Rightarrow a^3 \equiv 6 \pmod{7}$.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#126 caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 30-04-2013 - 10:08

Topic quên có bài chưa được giải nè !( Bài của mình :D)

 

Bài 46:Tìm tất cả các số nguyên $x$ thảo mãn:

$\left | x-3 \right |+\left | x-10 \right |+\left | x+101 \right |+\left | x+990 \right |+\left | x+1000 \right |=2004.$

Ai có ý tưởng hay lời giải thì post lên để mọi người tham khảo............ :lol:


KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#127 4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 30-04-2013 - 14:52

Bài 87:gpt NGHIỆM nguyên $41x-37y=187$

không có ai giải thì em cũng xin post lời giải lên vậy (mãi mới ra)

$41x-37y=187\Leftrightarrow x=4+\frac{23+37y}{41}$

vì x là số nguyên nên $\frac{23+37y}{41}$ cũng là số nguyên $23+37y\vdots 41\Leftrightarrow y\equiv 16(mod 41)$

vậy y có dạng 41k+16 với k nguyên 

từ đó suy ra x có dạng 19+37k


 B.F.H.Stone


#128 4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 30-04-2013 - 15:03

Bài 77. Tìm $x,y,z \epsilon \mathbb{N}$, $x+y+z>11, 8x+9y+10z=100$

ta thấy $x+y+z<13$ vì nếu $x+y+z=13$ thì $8x+9y+10z>8x+8y+8z=104>100$ (vô lý)

vậy x+y+z=12

suy ra y+2z=4 suy ra y là số tự nhiên chẵn nhỏ hơn hoặc bằng 4

nếu y=0 thì z=2 suy ra x=8

nếu y=2 thì z=1 suy ra x=9

nếu y=4 thì z=0 suy ra x=8


 B.F.H.Stone


#129 4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 01-05-2013 - 10:13

từ pt đã cho suy ra $\left |3-x \right |+\left | 10-x \right |+\left | x+100 \right |+\left | x+990 \right |+\left | x+1000 \right |\geq 2004+\left | x+100 \right |\geq 2004$

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=-100

vậy pt có nghiệm x=-100


 B.F.H.Stone


#130 caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 02-05-2013 - 11:31

từ pt đã cho suy ra $\left |3-x \right |+\left | 10-x \right |+\left | x+100 \right |+\left | x+990 \right |+\left | x+1000 \right |\geq 2004+\left | x+100 \right |\geq 2004$

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=-100

vậy pt có nghiệm x=-100

Chưa đúng rồi ...

 

Bài Toán :Tìm tất cả các số nguyên $x$ thỏa mãn :$\left | x-3 \right |+\left | x-10 \right |+|+\left | x+101 \right |+\left | x+990 \right |+\left | x+1000 \right |=2004 (1)$

Lời Giải :

$(1)\Rightarrow \left | 3-x\right |+\left | 10-x \right |+|+\left | x+101 \right |+\left | x+990 \right |+\left | x+1000 \right |=2004 $

Mà :$\left | a \right |\geq a\\$

Suy ra :

$\left | 3-x \right |\geq 3-x\\ $
$\left | 10-x \right |\geq 10-x\\ $
$\left | x+101 \right |\geq x+101 \\ $
$\left | x+990 \right |\geq x+990  \\ $
$\left | x+1000 \right |\geq x+1000.\\$

$\Rightarrow 2004\geq \left | x+101 \right |+2003\Leftrightarrow \left | x+101 \right |\leq 1\\$

$\Leftrightarrow -1\leq x+101\leq 1\Rightarrow x+101\in\left \{ -1;0;1 \right \}\Rightarrow x\in\left \{ -102;-101;-100 \right \}$

Dễ thấy :$x=-101\Rightarrow 2004=2003 \textbf{:Vô Lí}$

Vậy nghiệm của phương trình :$\boxed{S =\left \{ -102;-100 \right \}} $


KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#131 4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 05-05-2013 - 15:07

Chưa đúng rồi ...

 

Bài Toán :Tìm tất cả các số nguyên $x$ thỏa mãn :$\left | x-3 \right |+\left | x-10 \right |+|+\left | x+101 \right |+\left | x+990 \right |+\left | x+1000 \right |=2004 (1)$

Lời Giải :

$(1)\Rightarrow \left | 3-x\right |+\left | 10-x \right |+|+\left | x+101 \right |+\left | x+990 \right |+\left | x+1000 \right |=2004 $

Mà :$\left | a \right |\geq a\\$

Suy ra :

$\left | 3-x \right |\geq 3-x\\ $
$\left | 10-x \right |\geq 10-x\\ $
$\left | x+101 \right |\geq x+101 \\ $
$\left | x+990 \right |\geq x+990  \\ $
$\left | x+1000 \right |\geq x+1000.\\$

$\Rightarrow 2004\geq \left | x+101 \right |+2003\Leftrightarrow \left | x+101 \right |\leq 1\\$

$\Leftrightarrow -1\leq x+101\leq 1\Rightarrow x+101\in\left \{ -1;0;1 \right \}\Rightarrow x\in\left \{ -102;-101;-100 \right \}$

Dễ thấy :$x=-101\Rightarrow 2004=2003 \textbf{:Vô Lí}$

Vậy nghiệm của phương trình :$\boxed{S =\left \{ -102;-100 \right \}} $

chẳng là mình chép nhầm đề, ko sai

Đã gửi 01-05-2013 - 10:13
từ pt đã cho suy ra |3−x|+|10−x|+|x+101|+|x+990|+|x+1000|≥2003+|x+101|
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=-100 hoặc -102
vậy pt có nghiệm x=-100 và -102 :lol:


 B.F.H.Stone


#132 4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 10-05-2013 - 08:10

bài 89: giải hệ phương trình nghiệm nguyên dương 

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+13y^{2}=z^{2}\\ 13x^{2}+y^{2}=t^{2} \end{matrix}\right.$


 B.F.H.Stone


#133 letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\sqrt{MF}$
  • Sở thích:$Maths$

Đã gửi 11-05-2013 - 22:08

Cho $3x^2 + 5y^2=345$

Tìm $x;y$ nguyên ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 11-05-2013 - 22:09

        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#134 4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 13-05-2013 - 08:55

Cho $3x^2 + 5y^2=345$

Tìm $x;y$ nguyên ?

$3x^{2}+5y^{2}=345\Rightarrow x^{2}\vdots 5\Rightarrow x^{2}\vdots 25\Rightarrow x^{2}\in \left \{ 0,25,100 \right \}$

tới đây là quá đoqn giản rồi


 B.F.H.Stone


#135 4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 13-05-2013 - 08:57

bài 91: giải phương trình nghiệm nguyên dương

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=7.4^{n}$


 B.F.H.Stone


#136 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 13-05-2013 - 15:13

bài 91: giải phương trình nghiệm nguyên dương

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=7.4^{n} (1)$

Lời giải.

$\blacktriangleright$ Nếu $a,b,c,d$ đều lẻ thì $VT \equiv 4 \pmod{8}$. Do đó chỉ có thể $n=1$. Khi đó ta tìm được nghiệm $(a,b,c,d)=(3,3,3,1),(5,1,1,1)$ và các hoán vị.

Nếu $a,b,c,d$ đều chẵn thì đặt $a=2a_1,b=2b_1,c=2c_1,d=2d_1$ với $a_1,b_1,c_2,d_1 \in \mathbb{N}^*$. Khi đó $$(1) \Leftrightarrow a_1^2+b_1^2+c_1^2+d_1^2=7 \cdot 4^{n-1} \qquad (2)$$

Nếu $a_1,b_1,c_1,d_1$ lẻ thì ở $(2)$ ta có $VT \equiv 4 \pmod{8}$. Do đó $n=2$. Ta tìm được $(a_1,b_1,c_1,d_1)=(3,3,3,1),(5,1,1,1)$ và các hoán vị.

Còn nếu $a_1,b_1,c_1,d_1$ chẵn thì đặt $a_1=2a_2,b_1=2b_2,c_1=2c_2,d_1=2d_2$ với $a_2,b_2,c_2,d_2 \in \mathbb{N}^*$. Khi đó $$(2) \Leftrightarrow a_2^2+b_2^2+c_2^2+d_2^2=7 \cdot 4^{n-2}$$

$\blacktriangleright$ Lập luận, tương tự như trên, ta thấy $2^{k} \mid a, 2^k \mid b, 2^k \mid c, 2^k \mid d$ với $k \in \mathbb{N},k \le n$. Ta đặt $a=2^k \cdot a_i, \; b=2_k \cdot b_i, \; c=2^k \cdot c_i, \; d=2^k \cdot d_i$ với $a_i,b_i,c_i,d_i \in \mathbb{N}^*$ và $a_i,b_i,c_i,d_i$ có ước chung không chia hết cho $2$.

Do đó $$(1) \Leftrightarrow a_i^2+b_i^2+c_i^2+d_i^2=7 \cdot 4^{n-k} \qquad (3)$$

$\blacktriangleright$ Nếu $n-k \ge 2$ thì ta dễ dàng suy ra $a_i,b_i,c_i,d_i$ chẵn, mâu thuẫn với điều kiện đặt ra.

Vậy hoặc $n-k=0$ hoặc $n-k=1$.

Với $n-k=0$ thì $$(3) \Leftrightarrow a_i^2+b_i^2+c_i^2+d_i^2=7$$ Ta tìm được $(1,1,1,2)$.

Với $n-k=1$ thì $$(3) \Leftrightarrow a_i^2+b_i^2+c_i^2+d_i^2=28$$ Ta tìm được $(5,1,1,1),(3,3,3,1)$.

 

Kết luận. Vậy phương trình $(1)$ có nghiệm nguyên dương $$(a,b,c,d) = \left( 2^n,2^n,2^n,2^{n+1} \right), \left( 2^{n-1} \cdot 5, 2^{n-1},2^{n-1},2^{n-1} \right), \left( 2^{n-1} \cdot 3,2^{n-1} \cdot 3, 2^{n-1} \cdot 3, 2^{n-1} \right) $$ và các hoán vị tương ứng.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 13-05-2013 - 15:14

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#137 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 13-05-2013 - 20:49

Cho $3x^2 + 5y^2=345$

Tìm $x;y$ nguyên ?

Ta có : $x^{2}+5.\frac{y^{2}}{3}=115\Rightarrow \frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{3}=23$

Đặt $\left\{\begin{matrix} x^{2}=25x_{1}^{2} & & \\ y^{2}=9y_{1}^{2} & & \end{matrix}\right.$

$5x_{1}^{2}+3y_{1}^{2}=23\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}^{2}=4 & & \\ y_{1}^{2}=1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\pm 10 & & \\ y=\pm 3 & & \end{matrix}\right.$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#138 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 14-05-2013 - 11:49

bài 89: giải hệ phương trình nghiệm nguyên dương 

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+13y^{2}=z^{2}\\ 13x^{2}+y^{2}=t^{2} \end{matrix}\right.$

Xem tại đây


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#139 phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tường THPT số 1 Đức Phổ, huyện Đức Phổ, tỉnh Quảng Ngãi
  • Sở thích:Ăn kem

Đã gửi 20-05-2013 - 16:45

Bài 92: Giải phương trình nghiệm nguyên $x^3+y^3+z^3=5$


  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39


#140 phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tường THPT số 1 Đức Phổ, huyện Đức Phổ, tỉnh Quảng Ngãi
  • Sở thích:Ăn kem

Đã gửi 20-05-2013 - 16:46

Bài 93: Giải phương trình nghiệm nguyên $x^5+y^5+z^5=5$


  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh