Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic tổng hợp các bài toán về phương trình nghiệm nguyên.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 569 trả lời

#161 minhhieuchu

minhhieuchu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi-Amsterdam
  • Sở thích:Math, Basketball, Chatting

Đã gửi 04-06-2013 - 23:08

bài 102: Giải phương trình nghiệm nguyên dương

 $a^{2}= b^{3}+1$

Mình giải ntn, bạn xem thử nhé!!
a2=b3+1
~> a chia 3 dư 1
Đặt: a=3k+1

~> 3k(3k+2)=b.b2
*sở dĩ chỗ này có bước suy ra ở dưới là vì 3k có k là số nguyên tố nếu k không nguyên tố thì phân tích ra thừa số nguyên tố luôn được 3k+2=3k.m+2=3h+2 nên b2-b=(3k+2)-3k hay =(3h+2)-3h ... =2*
~> b2-b-2=0
~> (b-2)(b+1)=0
~> b=2 (do b dương)
~> a=3


:icon12:  Số 11 Ams 2 basketball team   :icon12: 

(~~)  HỌC...   (~~)

(~~)  HỌC nữa...   (~~)

(~~)  HỌC mãi...   (~~)

:icon6:  98er   :icon6:

:namtay  PHẢI THI ĐỖ!!  :)))))))   :namtay
:wub:  :wub:
  :wub:  :wub:  :wub:  :wub:  :wub: 


#162 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 05-06-2013 - 06:33

Bạn giải thích vì sao $a$ chia $3$ dư $1$ không ??


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#163 phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tường THPT số 1 Đức Phổ, huyện Đức Phổ, tỉnh Quảng Ngãi
  • Sở thích:Ăn kem

Đã gửi 05-06-2013 - 06:52

Mình giải ntn, bạn xem thử nhé!!
a2=b3+1
~> a chia 3 dư 1
Đặt: a=3k+1

~> 3k(3k+2)=b.b2
*sở dĩ chỗ này có bước suy ra ở dưới là vì 3k có k là số nguyên tố nếu k không nguyên tố thì phân tích ra thừa số nguyên tố luôn được 3k+2=3k.m+2=3h+2 nên b2-b=(3k+2)-3k hay =(3h+2)-3h ... =2*
~> b2-b-2=0
~> (b-2)(b+1)=0
~> b=2 (do b dương)
~> a=3

Bài làm có vấn đề ở hai chỗ màu đỏ kìa bạn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 05-06-2013 - 06:52

  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39


#164 minhhieuchu

minhhieuchu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi-Amsterdam
  • Sở thích:Math, Basketball, Chatting

Đã gửi 05-06-2013 - 19:39

Bài này mình làm nhầm đấy!!

:icon12:  Số 11 Ams 2 basketball team   :icon12: 

(~~)  HỌC...   (~~)

(~~)  HỌC nữa...   (~~)

(~~)  HỌC mãi...   (~~)

:icon6:  98er   :icon6:

:namtay  PHẢI THI ĐỖ!!  :)))))))   :namtay
:wub:  :wub:
  :wub:  :wub:  :wub:  :wub:  :wub: 


#165 zZblooodangelZz

zZblooodangelZz

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:9A1,THCS Hồng Bàng, Hải Phòng
  • Sở thích:Dota xong thì làm toán,Final Fantasy,RPG,Hayate no Goto Ku

Đã gửi 09-06-2013 - 09:52

Bài 103. Mình có bài mới đây $(new member)$:Tìm $x,y$ nguyên dương: $7^{x}=3.2^{y}+1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zZblooodangelZz: 09-06-2013 - 12:55

Chép sách ==> Sách zép.

 

Final Fantasy***Forever***Nobuo Uematsu***RPG***SquareEnix

 

                 Hayate the Combat Butler***Hata Kenjirou

                                                            cảm ơn bằng hành động : đúng thì  :like

 

 

 

                      zZbloodangelZz

                                        email:  [email protected]   :closedeyes:

 

                                        

 


#166 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 09-06-2013 - 11:47

Mình có bài mới đây $(new member)$: $7^{x}=3.2^{y}+1$

PP. Đề nghị ghi rõ yêu cầu giải nghiệm nguyên hay nghiệm nguyên dương nhé.  :angry:

Đây mình giải nghiệm nguyên dương.

Lời giải. Với $x=0$ thì $3 \cdot 2^y=0$, mâu thuẫn.

Với $x \ge 1$ thì $7|VT$. Do đó $3 \cdot 2^y \equiv 6 \pmod{7} \Rightarrow y=3k+1$ với $k \in \mathbb{N}$.

$\blacktriangleright$ Nếu $k=0$ thì $y=1$ và $x=1$.

$\blacktriangleright$ Nếu $k \ge 1$ thì khi đó phương trình tương đương với $7^x=6 \cdot 8^k+1 \qquad (1)$.

Ta suy ra $VP \equiv 1 \pmod{8}$. Do đó $7^x \equiv 1 \pmod{8} \Rightarrow x=2m$ với $m \in \mathbb{N}^*$.

Ta có $(1) \Leftrightarrow \left( 7^m-1 \right) \left( 7^m+1 \right) = 2^{3k+1} \cdot 3= 2^y \cdot 3$.

Dễ thấy $3|7^m-1$ nên ta đặt $7^m-1=3 \cdot 2^p$ và $7^m+1=2^r$ với $p,r \in \mathbb{N}^*, \; p+r=y$.

Vì $7^m+1>7^m-1 \Rightarrow 2 \cdot 2^{r-1} > 3 \cdot 2^p \Rightarrow r-1>p \Rightarrow r \ge p$.

Ta có $$\left( 7^m+1 \right)- \left( 7^m-1 \right) = 2^p \left( 2^{r-p}-3 \right) \Leftrightarrow 2^p \left( 2^{r-p}-3 \right)=2$$

Suy ra $p=1,r=3$. Do đó $y=4$ và $x=2$.

Vậy phương trình có nghiệm nguyên $\boxed{(x,y)=(2,4),(1,1)}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 09-06-2013 - 16:45

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#167 zZblooodangelZz

zZblooodangelZz

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:9A1,THCS Hồng Bàng, Hải Phòng
  • Sở thích:Dota xong thì làm toán,Final Fantasy,RPG,Hayate no Goto Ku

Đã gửi 09-06-2013 - 12:59

PP. Đề nghị ghi rõ yêu cầu giải nghiệm nguyên hay nghiệm nguyên dương nhé.  :angry:

Đây mình giải nghiệm nguyên dương.

Lời giải. Với $x=0$ thì $3 \cdot 2^y=0$, mâu thuẫn.

Với $x \ge 1$ thì $7|VT$. Do đó $3 \cdot 2^y \equiv 6 \pmod{7} \Rightarrow y=3k+1$ với $k \in \mathbb{N}$.

Khi đó phương trình tương đương với $7^x=6 \cdot 8^k+1 \qquad (1)$.

Ta suy ra $VP \equiv 1 \pmod{8}$. Do đó $7^x \equiv 1 \pmod{8} \Rightarrow x=2m$ với $m \in \mathbb{N}^*$.

Ta có $(1) \Leftrightarrow \left( 7^m-1 \right) \left( 7^m+1 \right) = 2^{3k+1} \cdot 3= 2^y \cdot 3$.

Dễ thấy $3|7^m-1$ nên ta đặt $7^m-1=3 \cdot 2^p$ và $7^m+1=2^r$ với $p,r \in \mathbb{N}^*, \; p+r=y$.

Vì $7^m+1>7^m-1 \Rightarrow 2 \cdot 2^{r-1} > 3 \cdot 2^p \Rightarrow r-1>p \Rightarrow r \ge p$.

Ta có $$\left( 7^m+1 \right)- \left( 7^m-1 \right) = 2^p \left( 2^{r-p}-3 \right) \Leftrightarrow 2^p \left( 2^{r-p}-3 \right)=2$$

Suy ra $p=1,r=3$. Do đó $y=4$ và $x=2$.

Vậy phương trình có nghiệm nguyên $\boxed{(x,y)=(2,4)}$.

Hình như anh Jinbe thiếu nghiêm $(x,y)$: (1,1) :(

@Toàn: Đã sửa  :lol: .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 09-06-2013 - 16:45

Chép sách ==> Sách zép.

 

Final Fantasy***Forever***Nobuo Uematsu***RPG***SquareEnix

 

                 Hayate the Combat Butler***Hata Kenjirou

                                                            cảm ơn bằng hành động : đúng thì  :like

 

 

 

                      zZbloodangelZz

                                        email:  [email protected]   :closedeyes:

 

                                        

 


#168 Supermath98

Supermath98

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 512 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Toán;Thơ;đá bóng;...

Đã gửi 16-06-2013 - 20:56

Bài 104: Tìm các cặp số nguyên x,y thỏa mãn điều kiện: $\large \left ( x-2006 \right )^{2}=y\left ( y+1 \right )\left ( y+2 \right )\left ( y+3 \right )$


:icon12: :icon12: :icon12: Đừng bao giờ ngồi một chỗ và ước. Hãy đứng dậy và làm:icon12: :icon12: :icon12:

#169 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 16-06-2013 - 21:49

Bài 104: Tìm các cặp số nguyên x,y thỏa mãn điều kiện: $\large \left ( x-2006 \right )^{2}=y\left ( y+1 \right )\left ( y+2 \right )\left ( y+3 \right )$

$PT\Leftrightarrow (x-2006)^{2}=(y^{2}+3y)(y^{2}+3y+2)$

Đặt $y^{2}+3y=1=t$ thì $(x-2006)^{2}=(t-1)(t+1)=t^{2}-1\Leftrightarrow (t-x+2006)(t+x-2006)=1$

  • $\left\{\begin{matrix} t-x+2006=1 & & \\ t+x-2006=1 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t=1 & & \\ x=2006 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=0\vee y=-3 & & \\ x=2006 & & \end{matrix}\right.$
  • $\left\{\begin{matrix} t-x+2006=-1 & & \\ t+x-2006=-1 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t=-1 & & \\ x=2006 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=-1\vee y=-2 & & \\ x=2006 & & \end{matrix}\right.$

Kết luận : $(x;y)=(2006;0);(2006;-1);(2006;-2);(2006;-3)$


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#170 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 16-06-2013 - 21:58

Bài 105 : Giải phương trình  :   $13p+1=k^{3}$ $(p\in P,k\in N)$

Bài 106 : (My creation :lol: ) Giải phương trình nghiệm nguyên :

$x_{1}^{16}+x_{2}^{16}+...+x_{16}^{16}=17$ 


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#171 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-06-2013 - 01:18

Bài 105 : Giải phương trình  :   $13p+1=k^{3}$ $(p\in P,k\in N)$

Bài 106 : (My creation :lol: ) Giải phương trình nghiệm nguyên :

$x_{1}^{16}+x_{2}^{16}+...+x_{16}^{16}=17$ 

Bài 105:

 Ta có:

 

$13p+1=k^3\Leftrightarrow (k-1)(k^2+k+1)=13p$

 

Vì $p$ là số nguyên tố và $k-1<k^2+k+1$ $(k\in \mathbb{N})$ nên có $3$ trường hợp xảy ra.

 

Trường hợp 1: $\left\{\begin{matrix} k-1=1\\ k^2+k+1=13p \end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} k=2\\ 13p=2^2+2+1=7\ \ \ (\text{vô lý}) \end{matrix}\right.$

 

Trường hợp 2: $\left\{\begin{matrix} k-1=13\\ k^2+k+1=p \end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} k=14\\ p=14^2+14+1=211\in \mathbb{P}\ \ \ (\text{thỏa mãn}) \end{matrix}\right.$

 

Trường hợp 3: $\left\{\begin{matrix} k-1=p\\ k^2+k+1=13 \end{matrix}\right.$

 

$\left\{\begin{matrix} p=3-1=2\in \mathbb{P}\ \ \ (\text{thỏa mãn})\\ k=3\ \ (k\in \mathbb{N}) \end{matrix}\right.$

 

Vậy phương trình có nghiệm $$\boxed{(k\ ;\ p)=(14\ ;\ 211)\ ;\ (3\ ;\ 2)}$$

 

Bài 106:

Trường hợp 1: $x_1\geq 2$ và $x_i\leq -2\ (x_i \in \mathbb{Z}\ ;\ i=\overline{1,16})$

 

Khi đó $x_i^{16}\geq 2^{16}>17$

 

Trường hợp 2: $-1\leq x_i\leq 1\ (x_i \in \mathbb{Z}\ ;\ i=\overline{1,16})$

 

Khi đó $x_i^{16}\leq 1,$ suy ra $x_{1}^{16}+x_{2}^{16}+...+x_{16}^{16}\leq 16 <17$

 

Vậy phương trình vô nghiệm.



#172 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 17-06-2013 - 11:01


Bài 107 : Giải phương trình $x^{2}+(x+1)^{2}+(x+2)^{2}+...+(x+1983)^{2}=y^{2}$ trên tập nghiệm nguyên

Bài 108 : Giải phương trình $1!+2!+3!+...+x!=y^{2}$ trên tập nghiệm tự nhiên 

Bài 109 : Giải phương trình $p_{1}^{6}+p_{2}^{6}+...+p_{7}^{6}=p_{1}p_{2}...p_{7}$ với $p_{i}\in P$ và $i\in \left \{ 1;2;3;4;5;6;7 \right \}$

 

:icon6: P.S : Bài làm của DarkBlood rất hay ! 


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#173 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 17-06-2013 - 11:24

Bài 108 : Giải phương trình $1!+2!+3!+...+x!=y^{2}$ trên tập nghiệm tự nhiên 

Lời giải. Xét với $x=1,2,3,4$ thì ta thấy với $x=3$ thì $y=3$, VỚI $X=1$ thì $x=1$, với $x=0$ thì $y=0$ thỏa mãn.

Nếu $x \ge 5$.

Nhân thấy $(a+5)!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdots (a+5)$ luôn tận cùng là $0$ với $a \in \mathbb{N}$.

Do đó nên trong trường hợp này thì $5!+6!+ \cdots + x!$ luôn tận cùng là $0$.

Ta suy ra $1!+2!+ \cdots + x!$ có cùng chữ số tận cùng với $1!+2!+3!+4!=33$ nên không thể là số chính phương.

Kết luận. $\boxed{(x,y)=(0,1),(1,1),(3,3)}.$

 

Mở rộng 1. Giải phương trình nghiệm tự nhiên $1!+2!+3!+ \cdots + x!=y^3$.

Mở rộng 2. Giải phương trình nghiệm tự nhiên $1!+2!+3!+ \cdots + x!=y^n$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 17-06-2013 - 17:33

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#174 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 17-06-2013 - 14:58

Bài 109 : Giải phương trình $p_{1}^{6}+p_{2}^{6}+...+p_{7}^{6}=p_{1}p_{2}...p_{7}$ với $p_{i}\in P$ và $i\in \left \{ 1;2;3;4;5;6;7 \right \}$

Lời giải. Nhận thấy $a^6 \equiv 0,1 \pmod{7}$ với $a \in \mathbb{Z} \qquad (*)$.

$\blacktriangleright$ Nếu một trong các số $a_i$ chia hết cho $7$, không mất tính tổng quát giả sử $7|p_1$. Khi đó $p_1=7$.

Từ phương trình ta suy ra $p_2^6+p_3^6+ \cdots + p_7^6$ chia hết cho $7$. Áp dụng $(*)$ ta suy ra $p_i$ đều chia hết cho $7$.

Do đó $p_i=7$. Thử lại thấy thỏa mãn.

$\blacktriangleright$ Nếu không có số nào chia hết cho $7$, ta cũng áp dụng $(*)$ thì suy ra $VT \equiv 0 \pmod{7}$, trong khi đó $VP \equiv 1 \pmod{7}$, mâu thuẫn.

Vậy kết quả cuối cùng là $\boxed{p_i=7}$.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#175 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 17-06-2013 - 16:16

 

Mở rộng 1. Giải phương trình nghiệm tự nhiên $1!+2!+3!+ \cdots + x!=y^3$.

Xét x = 1;2;3;4;5;6 đều không tìm được y tự nhiên thỏa mãn phương trình 

Xét $x\geq 7\Rightarrow x!\equiv 0(mod7)$

$\Rightarrow y^{3}=1!+2!+...+x!\equiv 1!+2!+3!+...+6!\equiv 5(mod7)$

Vô lí vì $y^{3}\equiv 0;1;6(mod7)$

Vậy : Phương trình không có nghiệm tự nhiên

 

:icon6:  Bài nữa nhé ! Công nhận mấy bạn giỏi ghê, bài nào ra cũng làm được hết !

Bài 110 : Giải hệ phương trình trên tập nghiệm nguyên :

$\left\{\begin{matrix} x^{12}+y^{12}+z^{12}=1679 & & \\ xyz=210& & \end{matrix}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 17-06-2013 - 16:20

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#176 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 17-06-2013 - 16:24

Bài 110 : Giải hệ phương trình trên tập nghiệm nguyên :

$\left\{\begin{matrix} x^{12}+y^{12}+z^{12}=1679 & & \\ xyz=210& & \end{matrix}\right.$

Lời giải. Áp dụng BĐT AM-GM ta có $x^{12}+y^{12}+z^{12} \ge 3(xyz)^4$, tức là $1679 \ge 3 \cdot 210^4$, mâu thuẫn.

vậy hệ phương trình không có nghiệm nguyên.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#177 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 17-06-2013 - 16:32

Lời giải. Áp dụng BĐT AM-GM ta có $x^{12}+y^{12}+z^{12} \ge 3(xyz)^4$, tức là $1679 \ge 3 \cdot 210^4$, mâu thuẫn.

vậy hệ phương trình không có nghiệm nguyên.

Cách giải của bạn hay nhưng không tổng quát cho lắm ! (Nói thật thì khi nghĩ ra bài toán này mình không dùng BĐT nên nó ra như vậy :icon6: ) 

 

Bài 111 : Giải hệ phương trình nghiệm nguyên :

$\left\{\begin{matrix} x^{12}+y^{12}+z^{12}+t^{12}= 1601& & \\ xyz= 14& & \end{matrix}\right.$

 

P.S : Giải bài mở rộng 2 đi Jinbe !  :closedeyes: 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 17-06-2013 - 16:45

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#178 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 17-06-2013 - 16:42

Cách giải của bạn hay nhưng không tổng quát cho lắm ! (Nói thật thì khi nghĩ ra bài toán này mình không dùng BĐT nên nó ra như vậy :icon6: ) 

Cách áp dụng AM-GM không dùng được cho bài toán tương tự như bài trên :

Bài 111 : Giải hệ phương trình nghiệm nguyên :

$\left\{\begin{matrix} x^{12}+y^{12}+z^{12}+t^{12}= 1601& & \\ xyz= 14& & \end{matrix}\right.$

Bài này cũng thế cả thôi  :mellow: .

Áp dụng AM-GM ta có $x^{12}+y^{12}+z^{12} \ge 3(xyz)^4=3 \cdot 14^4>1601$ nên hệ phương trình không có nghiệm nguyên.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#179 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-06-2013 - 17:17

Bài 112: Tìm $x,\ y,\ z\in \mathbb{Z}$ thỏa mãn

$$\left\{\begin{matrix} 2x^3-7x^2+8x-2=y\\ 2y^3-7y^2+8y-2=z\\ 2z^3-7z^2+8z-2=x \end{matrix}\right.$$

 

Bài 113: Tìm ba số nguyên dương $x,\ y,\ z$ lớn hơn $1$ sao cho:

$xy+1$ chia hết cho $z$

$yz+1$ chia hết cho $x$

$zx+1$ chia hết cho $y$

 

 

Lời giải. Xét với $x=1,2,3,4$ thì ta thấy với $x=3$ thì $y=3$, thỏa mãn.

Nếu $x \ge 5$.

Nhân thấy $(a+5)!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdots (a+5)$ luôn tận cùng là $0$ với $a \in \mathbb{N}$.

Do đó nên trong trường hợp này thì $5!+6!+ \cdots + x!$ luôn tận cùng là $0$.

Ta suy ra $1!+2!+ \cdots + x!$ có cùng chữ số tận cùng với $1!+2!+3!+4!=33$ nên không thể là số chính phương.

Kết luận. $\boxed{(x,y)=(3,3)}.$

 

Xét x = 1;2;3;4;5;6 đều không tìm được y tự nhiên thỏa mãn phương trình 

Xét $x\geq 7\Rightarrow x!\equiv 0(mod7)$

$\Rightarrow y^{3}=1!+2!+...+x!\equiv 1!+2!+3!+...+6!\equiv 5(mod7)$

Vô lí vì $y^{3}\equiv 0;1;6(mod7)$

Vậy : Phương trình không có nghiệm tự nhiên

 

 

Các bạn thiếu nghiệm $(x\ ;\ y)=(1\ ;\ 1)$ rồi :))

@Toàn: Cảm ơn bạn, mình thiếu cả $0,0$ nữa.  :wub: 

@Thông: Phải là $0\ ;\ 1$ chứ nhỉ  :icon6: 

@Toàn; Quên béng mất định nghĩa giai thừa.  :wacko:  Đã sửa.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 17-06-2013 - 17:33


#180 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 17-06-2013 - 18:34

 

Bài 113: Tìm ba số nguyên dương $x,\ y,\ z$ lớn hơn $1$ sao cho:

$xy+1$ chia hết cho $z$

$yz+1$ chia hết cho $x$

$zx+1$ chia hết cho $y$

Nhân hết lại :

$\frac{(xy+1)(yz+1)(zx+1)}{xyz}\in Z\Rightarrow \frac{zx+yz+xy+1}{xyz}\in Z\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xyz}\in Z$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geq y\geq z\Rightarrow x\geq 3;y\geq 2;z\geq 1$

$k=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xyz}\leq \frac{3}{z}+\frac{1}{z^{3}}\leq 4\Rightarrow k\in \left \{ 1;2;3 \right \}$

Tới đây thì đơn giản rồi nhưng khá là dài ! 


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh