Chủ đề này có 565 trả lời

[phatthemkem]

Bài 214:

c,  GPT nghiệm nguyên sau: $x^{2}-2xy+5y^{2}=y+1$

Viết lại: $x^2-2y.x+5y^2-y-1=0$

Coi đây là phương trình bậc hai ẩn $x$, ta có $\Delta' \geq 0 \Leftrightarrow y^2-\left ( 5y^2-y-1 \right )\geq 0\Leftrightarrow 4y^2-y-1\leq 0\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{17}}{8}\leq y\leq \frac{1+\sqrt{17}}{8}\Rightarrow y=0$

Suy ra $x^2=1\Leftrightarrow x=\pm 1$

[Nhungmai]

Cho tớ hỏi là tại sao lại xóa câu hỏi của tớ ra khỏi topic a

@Toàn: Những bài toán không đánh số thứ tự đề và những thảo luận cho đề đó sẽ bị xoá.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 09-02-2014 - 22:02

[huukhangvn]

Bài 214:

a, GPT nghiệm nguyên sau: $(x-2)^{4}-x^{4}=y^{4}$

b, Tìm nghiệm  nguyên dương $x^{17}+y^{^{17}}=19^{17}$

a,Ta có:$y\geq 0$ => $(x-2)^{4}> x^{4}$=> $x< 2$

xét y=0:pt<=>(x-2)⁴=x⁴=>x=1

xét y>0=>(x-2)⁴-x⁴>0

nhận thấy hằng đẵng thức a⁴-b⁴=(a-b)(a³+ab²+a²b+b³)=N^m(N,m nguyên dương)

và ta chứng minh được m=1(chi tiết các bạn tham khảo tại mms trận 1 năm 2014)

=>y không là số nguyên=>loại

vậy cặp nghiệm thoả mãn pt là x=1;y=0

b,ta phân tích ra dạng hằng đẳng thức như câu a rồi chứng minh pt vô nghiệm với x,y cùng khác không

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huukhangvn: 12-02-2014 - 21:10

[Trang Luong]

giải phương trình nghiệm nguyên:

$x^2(y-1)+y^2(x-1)=1$

b) $2(x+y)+xy=x^2+y^2$

a) $\Leftrightarrow xy(x+y+2)-(x+y)^2=0\Leftrightarrow (x+y+2)(xy+2-x-y)=4$

[Trang Luong]

Bài 215. GPT nghiệm nguyên $x^2-11^x+5=0$

[huukhangvn]

Bài 215. GPT nghiệm nguyên $x^2-11^x+5=0$

xét x>0,ta có:x²+5<11^x=>x²-11^x+5<0

xét x=0,ta có:x²-11^x+5=4>0

xét x<0,ta có 11^x<x²+5=>x²-11^x+5>0

vậy pt vô nghiệm

[backieuphong]

Cho $\overline{abc}=p$ (p là số nguyên tố). Chứng minh pt \[ax{}^{2}+b\text{x}+c=0\] vô nghiệm

[lahantaithe99]

216.Cho $\overline{abc}=p$ (p là số nguyên tố). Chứng minh pt \[ax{}^{2}+b\text{x}+c=0\] vô nghiệm

Bài 216: Hình như đề bài thiếu: Phải là CM phương trình đã cho vô nghiệm hữu tỉ (nghiệm nguyên)

Giả sử pt đã cho có nghiệm hữu tỉ

Ta có $\Delta _{x}=b^2-4ac$ $(1)$

Từ $\overline{abc}=p\Leftrightarrow c=p-100a-10b$

$\Leftrightarrow 4ac=4ap-400a^2-40ba$

Thay vào $(1)$ : $\Delta =b^2-4ap+400a^2+40ab=(20a+b)^2-4ap$

Để pt có ngiệm hữu tỉ thì $\Delta =(20a+b)^2-4ap=k^2 (k\in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow (20a+b-k)(20+b+k)=4ap\vdots p$

suy ra $20a+b+k\vdots p$ hoặc $20a+b-k\vdots p$

Mà $20a+b-k;20a+b+k\neq 0$ $\Rightarrow 20a+b+k;20a+b-k\geqslant p$

(điều này vô lý vì $\overline{abc}=p$

Vậy điều giả sử là vô lý

Do đó ta có đpcm

[habangbn]

Bài 217: Giải phương trình
a, $x^3 - 5x^2 - x - 7 =0$
b, $4x^{3} + 5x^{2} + 2x + 3 = 0$

[backieuphong]

Tìm nghiệm nguyên dương của $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{1995}$

[BoY LAnH LuNg]

218, giải các phương trình nghiệm nguyên

a, $8x+11y=73$

b, $5x-3y=2xy-11$

c, $x^{2}+(x+1)^{2}+(x+2)^{2}=y^{2}$

d, $x^{3}+y^{3}+z^{3}=2003^{4}$

e, xyz = 9 + x + y + z và x, y, z >0

g, $x^{3}-x^{2}-2xy=y^{3}+y^{2}+100$

h, 5 (x + y + z + t) + 10 = 2xyzt  và x, y, z, t là các số dương

i, 2^x  + 3^x = 5^x với x không âm

k, 19x² + 28y² = 729 với x, y nguyên dương

l, 9x + 5 = y(y+1)

m, 2016x + 3 = y³

n, 2x² + 4x = 19 - 3y²

p, x⁴ + 2x³ + 2x² + x + 3 = y²

r, x³ + 2y³ = 4z³ (sử dụng phương pháp lùi vô hạn)

s, x³ + y³ + z³ = (x + y + z)² với x, y, z đôi một khác nhau

t, x³ - y³ = xy + 8

u, 6x + 15y + 10z = 3

v, 2^x + 57 = y²

w, 12x² + 6xy + 3y² = 28(x + y)

[CHU HOANG TRUNG]

a/ $x=\frac{73-8y}{11}=\frac{77-11y-4+4y}{11}=7-y+4(\frac{y-1}{11}) Đặt \frac{y-1}{11}=a(a\epsilon\ Z)\Rightarrow y=11a+1 \rightarrow x=7-11a-1+4a$

Vậy $\left\{\begin{matrix} x=6-7a & & \\ y=11a+1 & & \\ a\epsilon\ Z & & \end{matrix}\right.$

 

i/Chia 2 vế pt cho $5^x \rightarrow pt:(\frac{2}{5})^x+(\frac{3}{5})^x=1$

Với x=0 => 1+1=1(loại)

Với x=1=>$\frac{2}{5}+\frac{3}{5}=\frac{5}{5}=1$

Với $x\geq 2 => \left\{\begin{matrix} (\frac{2}{5})^x<\frac{2}{5} & & \\ & & \\ (\frac{3}{5})^x< \frac{3}{5} \end{matrix}\right.$

           => $(\frac{2}{5})^x + (\frac{3}{5})^x<1$(loại)

Vậy x=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CHU HOANG TRUNG: 06-05-2014 - 21:46

[CHU HOANG TRUNG]

c/ Dễ thấy x,x+1,x+2 là các số nguyên liên tiếp =>Giữa chúng không có số chính phương nào 

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên

[CHU HOANG TRUNG]

n/$pt\Leftrightarrow 2x^2+4x+2=21-3y^2\Leftrightarrow 2(x+1)^2=3(7-y^2)$

Vì VT=$2(x+1)^2\ \vdots\ 2\Rightarrow VP =3(7-y^2)\ \vdots\ 2 \Leftrightarrow 7-y^2\ \vdots 2$

=> y lẻ Mà $7-y^2 \geq 0\Rightarrow y^2\leq 7\Rightarrow y\leq 1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 & & \\ y=4 & & \end{matrix}\right.$

Vậy (x:y) =(.......)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CHU HOANG TRUNG: 07-05-2014 - 21:21

[CHU HOANG TRUNG]

t/ $PT\Leftrightarrow (x-y)^3+3xy(x-y)=xy+8$

Đặt x-y =a; xy=b=> PT có dạng $a^3-8=-b(3a-1)$

Ta có $a^3-8\ \vdots 3a-1$

Nhân với 27     ta được $215\ \vdots 3a-1\Rightarrow 3a-1\ \epsilon \ \left \{ 1;-1;5;-5;43;-43;215;-215 \right \}$

=> Tìm được a,b 

Vậy tìm được (x;y)=(....)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CHU HOANG TRUNG: 07-05-2014 - 21:22

[CHU HOANG TRUNG]

u/ Vì $6x\ \vdots 3 ; 15y\ \vdots 3=> 10z\ \vdots 3=> z\vdots 3=> z=3k$

Giải pt với ẩn x,y tham số k là 2x+5y=1-10k =>$x=-5k-2y+\frac{1-y}{2}$

Đặt $\frac{1-y}{2}=t(t\epsilon Z)\Rightarrow y=1-2t$

Vậy $\left\{\begin{matrix} x=5t-5k-2 & & \\ y=1-2t & & \\ z=3k & & \\ t,z\ \epsilon Z \end{matrix}\right.$

[CHU HOANG TRUNG]

219/ 

a.$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{6xy}=\frac{1}{6}$

b.$4x^2+25y^2+144z^2=2007$

c.$105=(2x+5y+1)(y+x^2+x+2^\left | x \right |$

[CHU HOANG TRUNG]

h/ Vì x,y,z giữ vai trò như nhau nên ta giả sử $x\geq y\geq z\geq t\geq 1$

Pt<=> $2=\frac{5}{xyz}+\frac{5}{xzt}+\frac{5}{xyt}+\frac{10}{xyzt}\leq \frac{30}{t^3}$

=> t=1;t=2

* Với t=1 ta có $5(x+y+z)+15=2xyz \Rightarrow 2=\frac{5}{xy}+\frac{5}{yz}+\frac{5}{xz}+\frac{15}{xyz}\leq \frac{30}{z^2}$

$\Rightarrow z^2\leq 15\Rightarrow z=1 ;z=2; z=3$

Với z=1 ta có $5(x+y)+20 =2xy\Leftrightarrow (2x-5)(2y-5)=65\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-5=65 & & \\ 2x-5=1 & & \end{matrix}\right. Và \left\{\begin{matrix} 2x-5=13 & & \\ 2x-5=5 & & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x=35 & & \\ y=3 & & \end{matrix}\right. Và \left\{\begin{matrix} x=9 & & \\ y=5 & & \end{matrix}\right.$

Vậy ( x;y;z;t)={ (35;3;1;1);(9;5;1;1)} và các hoán vị của chúng

Với z=2 ; z=3 phương trình không có nghiệm nguyên dương

Với t=2 ta có $5(x+y+z)+20=4xyz \Rightarrow 4 =\frac{5}{xy}+\frac{5}{yz}\frac{5}{xz}+\frac{20}{xyz}\leq \frac{35}{z^2}$ => $\Rightarrow z^2 \leq \frac{35}{4}<9 \rightarrow z=2 (z\geq t=2)$

Khi đó $5(x+y)+30=8xy\Leftrightarrow (8x-5)(8y-5)=265$

Do $x\geq y\geq z\geq t\geq 2$ nên $8x-5\geq 8y-5\geq 11;265=53*5$

Trường hợp này pt ko có nghiệm nguyên dương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CHU HOANG TRUNG: 08-05-2014 - 22:09

[CHU HOANG TRUNG]

219 b/

  Giả sử $x^2+y^2+z^2=7 (mod 8).$Mà $x=0;1;-1;2;-2;3;-3;4;-4(mod 8)\Rightarrow x^2 =0;1;4(mod 8)\Rightarrow y^2+z^2=7;6;3(mod 8)$

Nhưng $y^2+z^2=0;1;2;3;4;5(mod 8)$(vô lí) Vậy $ x^2+y^2+z^2 \ddots 7(mod 8)$

Phương trình đã cho có thể viết $ (2x)^2+(5y)^2+(12z)^2 = 6*12+7$

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên

[CHU HOANG TRUNG]

219/ 

a.$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{6xy}=\frac{1}{6}$

Nhân 2  vế pt với 6xy ta được $6y+6x+1 =xy \Leftrightarrow (x-6)(y-6)= 37$

Vậy tìm (x;y)=(.......)