Chủ đề này có 565 trả lời

[Best Friend]

Sai rồi bạn ơi lỡ $y=0$ thì sao ?không xảy ra $x^{2}y^{4}z^{6}\vdots y$

Mình đã xét $xyz=0$ rồi mà thì PT vô nghiệm còn j

và $xyz\neq 0$

[DarkBlood]

Bài 120 (hàng mới nhập  )

Giải phương trình trên tập nghiệm tự nhiên :

$x^{2}y^{4}z^{6}=y^{2}+2y-1$

Cách khác nha :3

Ta có: $y^2+2y-1=(xy^2z^3)^2$

$\Leftrightarrow (y+1)^2-(xy^2z^3)^2=2$

$\Leftrightarrow (y-xy^2z^3+1)(y+xy^2z^3+1)=2=1.2=(-1)(-2)$

Mặt khác $(y-xy^2z^3+1)+(y+xy^2z^3+1)=2(y+1)\ \vdots\ 2$ 

Do đó $y-xy^2z^3+1$ và $y+xy^2z^3+1$ cùng tính chẵn lẻ.

Suy ra $(y-xy^2z^3+1)(y+xy^2z^3+1)$ chia hết cho $4$ hoặc là một số lẻ.

Vậy pt vô nghiệm.

[Juliel]

Mình đã xét $xyz=0$ rồi mà thì PT vô nghiệm còn j

và $xyz\neq 0$

Nhưng sao bạn ra x = y = z = 1 vậy bạn ? 

 

Bài 121 : Giải hệ phương trình nghiệm nguyên :

$\left\{\begin{matrix} x^{x+y}=y^{12} & & \\ y^{x+y}=x^{3}& & \end{matrix}\right.$

Bài 122 : Giải phương trình trên tập nghiệm tự nhiên :

$2^{9}+2^{13}+2^{x}=y^{2}$

Bài 123 : Giải phương trình trên tập nghiệm tự nhiên :

$2^{x}+2^{y}+2^{z}+2^{t}=680$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 28-06-2013 - 13:17

[Juliel]

Cách khác nha :3

Ta có: $y^2+2y-1=(xy^2z^3)^2$

$\Leftrightarrow (y+1)^2-(xy^2z^3)^2=2$

$\Leftrightarrow (y-xy^2z^3+1)(y+xy^2z^3+1)=2=1.2=(-1)(-2)$

Mặt khác $(y-xy^2z^3+1)+(y+xy^2z^3+1)=2(y+1)\ \vdots\ 2$ 

Do đó $y-xy^2z^3+1$ và $y+xy^2z^3+1$ cùng tính chẵn lẻ.

Suy ra $(y-xy^2z^3+1)(y+xy^2z^3+1)$ chia hết cho $4$ hoặc là một số lẻ.

Vậy pt vô nghiệm.

Công nhận bài này nhiều cách ghê ? Cho mình giải thêm 1 cách khác nữa nhá @Thông và @Hiếu :

Cách này phải sử dụng bổ đề nên khi đi thi mà giải theo cách này thì phải chứng minh cả bổ đề khá là mệt ! 

Bổ đề : Nếu x,y là hai số nguyên , p là số nguyên tố có dạng p = 4k + 3 và $x^{2}+y^{2}\vdots p$ thì ta có $x,y\vdots p$

 

Lời giải : Phương trình tương đương :$(xy^{2}z^{3})^{2}+2=(y+1)^{2}$

• Nếu y chẵn , đặt $y = 2k$

Thay vào phương trình, ta được : $x^{2}y^{2}+4=4k(k+1)+3$

Vì $4k(k+1) + 3$ là một số nguyên có dạng $4m + 3$ nên tồn tại ít nhất một ước nguyên tố của nó $p = 4t + 3$

Áp dụng bổ đề :

$4k(k+1)+3\vdots p\Rightarrow (xy^{2}z^{3})^{2}+4\vdots p\Rightarrow 2\vdots p\Rightarrow p=2\Rightarrow 4k(k+1)+3$ chẵn

Điều này vô lí

• Nếu y lẻ, đặt y = $2k + 1$

Thay vào phương trình , ta được $(xy^{2}z^{3})^{2}+1=4k(k+2)+3$

Vì $4k(k+2) + 3$ là một số nguyên có dạng $4m + 3$ nên tồn tại ít nhất một ước nguyên tố của nó $p = 4t + 3$

Áp dụng bổ đề $4k(k+2)+3\vdots p\Rightarrow (xy^{2}z^{3})^{2}+1\vdots p\Rightarrow 1\vdots p\Rightarrow p=1$

Loại vì p là một số nguyên tố

Kết luận : Phương trình vô nghiệm nguyên dương

 

P/S : Tiếp tục hâm nóng topic đi mấy mem, dạo này mình nghiền Phương trình nghiệm nguyên mất rồi 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 28-06-2013 - 12:24

[phatthemkem]

Vì $\left ( p+q \right )^{2}$ là 1 số chính phương $\Rightarrow 5\left ( p+q \right )^{2}$ ko thể đc.

Theo tính chất số chính phương mà bạn luôn có dạng $a^{2}k^{2}$

Vế trái là $36(3p-2q)^3$ chắc gì là số chính phương.

[bachhammer]

Nhưng sao bạn ra x = y = z = 1 vậy bạn ? 

 

Bài 121 : Giải hệ phương trình nghiệm nguyên :

$\left\{\begin{matrix} x^{x+y}=y^{12} & & \\ y^{x+y}=x^{3}& & \end{matrix}\right.$

Bài 122 : Giải phương trình trên tập nghiệm tự nhiên :

$2^{9}+2^{13}+2^{x}=y^{2}$

Bài 123 : Giải phương trình trên tập nghiệm tự nhiên :

$2^{x}+2^{y}+2^{z}+2^{t}=680$

Câu 121 thì a đoán x=y=1, lời giải thì chưa dám chắc chắn, nên ko nói ra...

Câu 123: Xin mạn phép mở rộng bài toán thành tập số nguyên, ta thấy: $x < 0$ thì ko thỏa. Nếu phương trình có nghiệm $(x;y)$ thì cũng có nghiệm $(x;-y)$ nên ta có thể giả sử $y > 0$. 

+ Xét $x=9$ thì thử ta thấy thỏa và có nghiệm $(9;96)$.

+ Xét $x > 9$ thì ta có $2^{8}.2.(1+2^{4}+2^{x-9})=y^{2}$ không thể có nghiệm nguyên.

+ Xét $0 < x < 9$ thì ta có $2^{x}.(2^{13-x}+2^{9-x}+1)=y^{2}$. Từ đó ta suy ra $2^{x}$ là bình phương của số nguyên. Từ đó ta suy ra x chẵn và $2^{13-x}+2^{9-x}+1$ là số chính phương. Nhưng ta thấy $2^{13-x}+2^{9-x}+1\equiv 2(mod 3)$ thế nên ko tồn tại số nguyên y thỏa mãn.

+ Xét $x=0$ thì thử ko thỏa nên loại.

Tóm lại nó chỉ có nghiệm $(9;96)$; $(9;-96)$. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 28-06-2013 - 19:23

[phatthemkem]

 

Bài 122 : Giải phương trình trên tập nghiệm tự nhiên :

$2^{9}+2^{13}+2^{x}=y^{2}$

Ta có $2^9+2^{13}+2^{x}=y^2\Leftrightarrow 8704+2^x=y^2$

$*$ Xét $0\leq x\leq 9$, ta được $x=9,y=96$

$*$ Xét $x> 9$, ta xét tiếp các TH sau

  $-$ Xét $x=2k$ $(k\geq 0)$, ta có $2^x=4^k=(3+1)^k\equiv 1(mod3)$. Và $8704\equiv 1(mod3)$

Suy ra $y^2\equiv 2(mod3)$ (Vô lý)

  $-$ Xét $x=2k+1$ $(k> 4)$, ta có $2^9+2^{13}+2^{x}=y^2\Leftrightarrow 8704+2.4^k=y^2$

Vì $8704+2.4^k\vdots 8\Rightarrow y^2\vdots 8\Rightarrow y^2\vdots 16 \Rightarrow y^2=16y_{1}^2$

$\Rightarrow 8704+2.4^k=y^2\Leftrightarrow 544+2.4^{k-2}=y_{1}^2$

Tương tự, ta có $544+2.4^{k-2}=y_{1}^2\Leftrightarrow 34+2.4^{k-4}=y_{2}^2$ (Với $y_{1}^2=16y_{2}^2$)

Ta thấy $34+2.4^{k-4}\equiv 2(mod4)\Rightarrow y_{2}^2\equiv 2(mod4)$ (Vô lý)

Vậy pt có nghiệm $(x;y)=(9;96)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 28-06-2013 - 14:19

[DarkBlood]

Bài 123 : Giải phương trình trên tập nghiệm tự nhiên :

$2^{x}+2^{y}+2^{z}+2^{t}=680$

Không mất tính tổng quát, giả sử $0\leq x\leq t\leq z\leq t$

 

Ta có:

$$\begin{aligned} 2^x+2^y+2^z+2^t&=680\\\\ \Leftrightarrow 2^x(1+2^{y-x}+2^{z-x}+2^{t-x})& =2^3.85\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{aligned}$$

Do đó $x=3.$ Khi đó $(1)$ trở thành

$$\begin{aligned} 2^{y-3}+2^{z-3}+2^{t-3}&=84\\\\ \Leftrightarrow 2^{y-3}(1+2^{z-y}+2^{t-y})& =2^2.21\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{aligned}$$

Suy ra $y=5.$ Do đó $(2)$ tương đương với

$$\begin{aligned} 2^{z-5}+2^{t-5}&=20\\\\ \Leftrightarrow 2^{z-5}(1+2^{t-z})& =2^2.5\end{aligned}$$

Do đó $z=7\ ;\ t=9.$

 

Vậy $(x\ ;\ y\ ;\ z\ ;\ t)=(3\ ;\ 5\ ;\ 7\ ;\ 9)$ và các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 28-06-2013 - 14:29

[Zaraki]

Bài 123 : Giải phương trình trên tập nghiệm tự nhiên :

$2^{x}+2^{y}+2^{z}+2^{t}=680 \qquad (1)$

Lời giải. Không mất tính tổng quát, giả sử rằng $0 \le x \le y \le z \le t$. Khi đó $$(1) \Leftrightarrow 2^x \left( 1+2^{y-x}+2^{z-x}+2^{t-x} \right)=2^3 \cdot 85 \qquad (2)$$

Do đó $x \in \{ 0;1;2;3 \}$.

$\blacktriangleright$ Nếu $x=0$ thì $$(2) \Leftrightarrow 1+2^{y-x}+2^{z-x}+2^{t-x}=2^3 \cdot 85 \qquad (1.1)$$ Ta suy ra $2^{y}+2^{z}+2^{t}$ lẻ nên sẽ có một số bằng $1$ trong ba số $2^{y},2^{z},2^{t}$. Theo giả sử thì $2^{y} \le 2^{z} \le 2^{t} \Rightarrow 2^{y}=1 \Rightarrow y=0$. Khi đó $$(1.1) \Leftrightarrow 1+2^{z-1}+2^{t-1}=2^2 \cdot 85 \qquad (1.2)$$

Lập luận tương tự ta cũng suy ra $2^{z-1}=0$ nên $(1.2) \Leftrightarrow 1+2^{t-2}=2 \cdot 85$, điều này mâu thuẫn.

$\blacktriangleright$ Nếu $x=1$ thì $$(2) \Leftrightarrow 1+2^{y-1}+2^{z-1}+2^{t-1}=2^2 \cdot 85$$

Lập luận tương tự thì $2^{y-1}=0$, nên ta có $1+2^{z-2}+2^{t-2}=2 \cdot 85$, điều này dẫn đến $2^{z-2}=0$. Do đó $1+2^{t-3}=85 \Leftrightarrow 2^{t-3}=84$, mâu thuẫn.

$\blacktriangleright$ Nếu $x=2$ thì $$(2) \Leftrightarrow 1+2^{y-2}+2^{z-2}+2^{t-2}=2 \cdot 85$$ Ta suy ra $2^{y-2}=1$ nên $$1+2^{z-3}+2^{t-3}=85 \Leftrightarrow 2^{z-3} \left( 1+2^{t-z} \right)=2^2 \cdot 21$$

Hiển nhiên $t=z$ không thoả mãn, do đó $2^{t-z}=20$, mâu thuẫn.

$\blacktriangleright$ Nếu $x=3$ thì $$\begin{aligned} (2) & \Leftrightarrow 1+2^{y-3}+2^{z-3}+2^{t-3}=85 \\ & \Leftrightarrow 2^{y-3} \left( 1+ 2^{z-y}+2^{t-y} \right)= 2^2 \cdot 21 \end{aligned}$$

Hiển nhiên $y=z$ hoặc $t=y$ không thoả mãn, vậy $y-3=2,2^{z-y}+2^{t-y}=20$.

Ta suy ra $y=5$ và $2^{z-5} \left( 1+2^{t-z} \right)=2^2 \cdot 5 \Leftrightarrow z=7,t=9$.

Kết luận. Phương trình có nghiệm tự nhiên $\boxed{(x,y,z,t)=(3,5,7,9)}$ và các hoán vị.

[Juliel]

Xin được phép giải bài 121 :

Hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} x^{x+y}=y^{12} & (1) & \\ y^{x+y}=x^{3} & (2) & \end{matrix}\right.$

Dễ thấy phương trình có nghiệm tầm thường $(1 ; 1)$

Từ (1) suy ra $x=\sqrt[x+y]{y^{12}}$. Thế vào (2) : $y^{x+y}=\sqrt[x+y]{y^{36}}\Rightarrow (x+y)^{2}=36\Rightarrow x+y=6\vee x+y=-6$

Nhận thấy nếu $x+y<0$ thì $y^{12}=x^{x+y}\notin Z$ . Do đó phải có $x + y = 6$. Thế $x = 6-y$ vào (2) :

$y^{6}=(6-y)^{3}\Leftrightarrow y^{6}+y^{3}-18y^{2}+108y-216=0\Leftrightarrow (y-2)(y+3)(y^{4}-y^{3}+7y^{2}-12y+36)=0$

Dễ chứng minh $y^{4}-y^{3}+7y^{2}-12y+36>0\Rightarrow y=2\vee y=-3\Rightarrow (x;y)=(4;2);(9;-3)$

 

Kết luận : $(x ; y) = (1 ; 1)  ; (4 ; 2) ; (9 ; -3)$

 

P.S : Cám ơn Jinbe nhé !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 28-06-2013 - 17:18

[Zaraki]

Xin được phép giải bài 121 :

Hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} x^{x+y}=y^{12} & (1) & \\ y^{x+y}=x^{3} & (2) & \end{matrix}\right.$

Dễ thấy phương trình có các nghiệm tầm thường $(0;0);(1;1)$

Từ (1) suy ra $x=\sqrt[x+y]{y^{12}}$. Thế vào (2) : $y^{x+y}=\sqrt[x+y]{y^{36}}\Rightarrow (x+y)^{2}=36\Rightarrow x+y=6\vee x+y=-6$

Nhận thấy nếu $x+y<0$ thì $y^{12}=x^{x+y}\notin Z$ . Do đó phải có $x + y = 6$. Thế $x = 6-y$ vào (2) :

$y^{6}=(6-y)^{3}\Leftrightarrow y^{6}+y^{3}-18y^{2}+108y-216=0\Leftrightarrow (y-2)(y+3)(y^{4}-y^{3}+7y^{2}-12y+36)=0$

Dễ chứng minh $y^{4}-y^{3}+7y^{2}-12y+36>0\Rightarrow y=2\vee y=-3\Rightarrow (x;y)=(4;2);(9;-3)$

 

Kết luận : $(x ; y) = (0 ; 0);  (1 ; 1)  ; (4 ; 2) ; (9 ; -3)$

Hình như phương trình không có nghiệm $x=y=0$ đâu vì $0^0$ vô nghĩa.

[Juliel]

Bài 124 : Giải hệ phương trình nghiệm tự nhiên : 

$\left\{\begin{matrix} 3x\equiv -1(mod y) & & \\ 3y\equiv -1(modx) & & \end{matrix}\right.$

Bài 125 : Giải phương trình nghiệm tự nhiên $2^{x}+3^{y}=z^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 28-06-2013 - 18:33

[DarkBlood]

Thêm mấy bài nữa nhé

Bài 126: Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x,\ y)$ thỏa mãn 

$$(x+1)^4-(x-1)^4=y^3$$

Bài 127: Tìm các số nguyên $x,\ y$ thỏa mãn 

$$x^3+x^2y+xy^2+y^3=4(x^2+y^2+xy+3)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 28-06-2013 - 18:27

[DarkBlood]

Bài 124 : Giải hệ phương trình nghiệm tự nhiên : 

$\left\{\begin{matrix} 3x\equiv -1(mod y) & & \\ 3y\equiv -1(modx) & & \end{matrix}\right.$

Bài 125 : Giải phương trình nghiệm tự nhiên $2^{x}+3^{y}=z^{2}$

Bài 124: Từ giả thiết suy ra $3x+1\ \vdots\ y$ và $3y+1\ \vdots\ x$

Do đó $3x+3y+1\ \vdots\ xy$

$\Rightarrow \dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}+\dfrac{1}{xy}=k\in \mathbb{Z}^+$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geq y\geq 1$

Do đó $1\leq k\leq 3+3+1=7$

Tới đây đơn giản rồi nhưng có vẻ dài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 28-06-2013 - 20:45

[phatthemkem]

Thêm mấy bài nữa nhé

Bài 126: Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x,\ y)$ thỏa mãn 

$$(x+1)^4-(x-1)^4=y^3$$

Ta có $(x+1)^4-(x-1)^4=y^3\Leftrightarrow 8x(x^2+1)=y^3$

$(2x)^3\leq 8x(x^2+1)=y^3\leq (2x+1)^3$

CONTINUE...

[Juliel]

Ta có $(x+1)^4-(x-1)^4=y^3\Leftrightarrow 8x(x^2+1)=y^3$

$(2x)^3\leq 8x(x^2+1)=y^3\leq (2x+1)^3$

CONTINUE...

$(2x)^{3}\leq 8x(x^{2}+1)\Leftrightarrow 8x\geq 0 (?)$

Điều này không thể khẳng định vì x nguyên

Bài này dùng phương pháp kẹp là đúng nhưng cần xét một số trường hợp

Đây là suy nghĩ của mình :

 

 

Bài 126: Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x,\ y)$ thỏa mãn 

$$(x+1)^4-(x-1)^4=y^3$$

Rút gọn :

$8x^{3}+8x=y^{^{3}}$

• Xét x dương :

$(2x)^{3}<y^{3}=8x^{3}+8x<(2x+1)^{3}$

Phương trình vô nghiệm

• Xét x âm :

$(2x-1)^{3}<y^{3}=8x^{3}+8x<(2x)^{3}$

Phương trình vô nghiệm

• Xét $x = 0$ thì $y = 0$

KẾT LUẬN : $(x ; y) = ( 0 ; 0 )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 28-06-2013 - 21:50

[phatthemkem]

$(2x)^{3}\leq 8x(x^{2}+1)\Leftrightarrow 8x\geq 0 (?)$

Điều này không thể khẳng định vì x nguyên

Bài này dùng phương pháp kẹp là đúng nhưng cần xét một số trường hợp

Đây là suy nghĩ của mình :

 

Rút gọn :

$8x^{3}+8x=y^{^{3}}$

• Xét x dương :

$(2x)^{3}<y^{3}=8x^{3}+8x<(2x+1)^{3}$

Phương trình vô nghiệm

• Xét x âm :

(2x-1)^{3}<y^{3}=8x^{3}+8x<(2x)^{3}

Phương trình vô nghiệm

• Xét $x = 0 thì y = 0$

KẾT LUẬN : $(x ; y) = ( 0 ; 0 )$

Cảm ơn bạn đã có ý kiến sửa chữa cho bài $128$.

[Zaraki]

Bài 125 : Giải phương trình nghiệm tự nhiên $2^{x}+3^{y}=z^{2} \qquad (1)$

Lời giải.

Nếu $y=0$ thì $2^x+1=z^2 \Leftrightarrow (z-1)(z+1)=2^x$.

Đặt $z-1=2^n,z+1=2^m$ với $m,n \in \mathbb{N}, \; m>n, \; m+n=x$. Khi đó $2^m-2^n=2 \Leftrightarrow 2^n \left( 2^{m-n}-1 \right)=2$.

Do đó $n=1,m=2$. Vậy $x=3,z=3$.

 

Nếu $y \ge 1$ thì $3|3^y$. Xét các trường hợp:

Với $x=2k+1, \; (k \in \mathbb{N} )$ thì $2^x=4^k \cdot 2 \equiv 2 \pmod{3} \Rightarrow 2^x+3^y \equiv 2 \pmod{3}$. Do đó $z^2 \equiv 2 \pmod{3}$, mâu thuẫn.

Vậy $x=2k$ với $k \in \mathbb{N}$. thì $$(1) \Leftrightarrow \left( z-2^k \right) \left( z+ 2^k \right)= 3^y$$

Đặt $z-2^k=3^n,z+2^k=3^m$ với $m,n \in \mathbb{N}, \; m>n, \; m+n=y$.

Khi đó $3^m-3^n=2^{k+1} \Leftrightarrow 3^n \left( 3^{m-n}-1 \right)=2^{k+1}$. Do đó $n=0$, suy ra $3^m-1=2^{k+1} \qquad (2)$.

$\blacktriangleright$ Nếu $k=0$ thì $3^m=3 \Rightarrow m=1 \Rightarrow y=1,z=2,x=0$.

$\blacktriangleright$ Nếu $k \ge 1$ thì $4|2^{k+1}$, do đó $3^m \equiv 1 \pmod{4} \Rightarrow m=2q$ với $q \in \mathbb{N}$.

Do đó $(2) \Leftrightarrow \left( 3^q-1 \right) \left( 3^q+1 \right)= 2^{k+1}$.

Tiếp tục đặt $3^q-1=2^a,3^q+1=2^b$ với $a,b \in \mathbb{N}, \; b>a, \; a+b=k+1$.

Khi đó $2^a \left( 2^{b-a}-1 \right)=2 \Rightarrow a=1,b=2 \Rightarrow k=2,q=1 \Rightarrow x=2k=4,m=2q=2$ hay $y=m+n=2$. Khi đó $z^2=2^4+3^2=25 \Rightarrow z=5$.

 

Kết luận. Phương trình $(1)$ có nghiệm nguyên $\boxed{(x;y;z)=(3;0;3),(0;1;2),(4;2;5)}$.

[phatthemkem]

Bài 125 : Giải phương trình nghiệm tự nhiên $2^{x}+3^{y}=z^{2}$

Mới học logarit nên nếu có sai thì cứ góp ý nhiều vào

$*$ Cho $a,n> 0$, $a\neq 1$, và một số $m$ sao cho $n=a^m$ thì ta có $n=a^m\Leftrightarrow log_{a}(n)=m$

Một trong những tính chất của logarit: $a^x=b^{xlog_{b}(a)}(a,b\neq 1)$

Áp dụng tính chất trên, ta có $3^y=2^{ylog_{2}(3)},z^2=2^{2log_{2}(z)}$

Suy ra $2^x+3^y=z^2\Leftrightarrow 2^x+2^{ylog_{2}(3)}-2^{2log_{2}(z)}=0\Leftrightarrow 1+2^{ylog_{2}(3)-x} -2^{2log_{2}(z)-x}=0$

Suy ra ít nhất một trong hai số $2^{ylog_{2}(3)-x},2^{2log_{2}(z)-x}$ bằng $1$

$-$ Nếu $2^{ylog_{2}(3)-x}=1\Rightarrow 2^{2log_{2}(z)-x}=2$

$2^{ylog_{2}(3)-x}=1\Rightarrow 2^{2log_{2}(z)-x}=2$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ylog_{2}(3)-x=0\\ 2log_{2}(z)-x=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} log_{2}(3)=\frac{x}{y}\\ log_{2}(z)=\frac{x+1}{2} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2^{\frac{x}{y}}=3\\ \\ 2^{\frac{x+1}{2}}=z \end{matrix}\right.$

Hệ vô nghiệm.

$-$ Nếu $2^{2log_{2}(z)-x}=1\Rightarrow 2^{ylog_{2}(3)-x}=0$ vô lý vì $2^n$ khác $0$ với mọi $n$.

Vậy pt vô nghiệm.

[Zaraki]

Bài 127: Tìm các số nguyên $x,\ y$ thỏa mãn 

$$x^3+x^2y+xy^2+y^3=4(x^2+y^2+xy+3) \qquad (1)$$

Lời giải. Không mất tính tổng quát, giả sử $x \le y$. Ta có $$\begin{aligned} (1) & \Leftrightarrow (x+y)(x^2+y^2)=2(x^2+y^2)+2(x+y)^2+12 \\ & \Leftrightarrow (x^2+y^2)(x+y-2)=2(x+y)(x+y-2)+4(x+y-2)+20 \\ & \Leftrightarrow (x+y-2)(x^2+y^2-2x-2y-4)=20 \qquad (2) \end{aligned}$$

Ta có $x^2+y^2-2x-2y-4=(x-1)^2+(y-1)^2-6 \ge -6$. Hơn nữa thì $x+y-2,x^2+y^2-2x-2y-4$ cùng tính chẵn lẻ nên từ $(2)$ suy ra $x+y-2,x^2+y^2-2x-2y-4$ đều chẵn.

Ta có các trường hợp:

Nếu $x+y-2=2,x^2+y^2-2x-2y-4=10$.

Nếu $x+y-2=-10,x^2+y^2-2x-2y-4=-2$.

Nếu $x+y-2=10,x^2+y^2-2x-2y=2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 29-06-2013 - 10:39