Chủ đề này có 565 trả lời

[mathprovn]

Bài 50:Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(x;y)$ sao cho :
$$(x^{2}-y^{2})^{2}=4xy+1 (1)$$

(1) $\Rightarrow (x^2 - y^2)^2$ lẻ. Suy ra trong$2$ số $x^2$ và $y^2$ có một số chẵn và một số lẻ. Không mất tính tổng quát, giả sử x chẵn, y lẻ, mà x, y là $2$ số nguyên tố nên $x = 2$. Khi đó: (1) trở thành: $(2^2 - y^2)^2 = 8y + 1$
hay: $y^4 - 8y^2 - 8y + 15 = 0 \Leftrightarrow (y - 1)(y - 3)(y^2 + 4y + 5) = 0 \Rightarrow y = 3$ (vì y nguyên tố).
Vậy $(x,y) = (2;3); (3;2)$

[nguyencuong123]

Bài 51. Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,z$ thoả mãn: $xyz = 9+x+y+z$
Mod. Gõ công thức toán nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 20-02-2013 - 22:05

[DarkBlood]

Bài 51. Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,z$ thoả mãn: $xyz = 9+x+y+z$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geq y \geq z$
Ta có:
$xyz=9+x+y+z\leq 9+3x$
$\Rightarrow yz\leq \frac{9}{x}+3\leq 9+3=12$
$\Rightarrow z^2\leq 12$
$\Rightarrow z\in \left \{ 1;2;3 \right \}$

Trường hợp 1: $z=1$
Phương trình tương đương:
$xy=10+x+y$
$\Rightarrow x(y-1)=y+10$
Dễ thấy $y\neq 1$
$\Rightarrow x=\frac{y+10}{y-1}=1+\frac{11}{y-1}$
Để $x$ nguyên $(y \in \mathbb{Z})$ thì $y-1\in \texed{Ư}(11)$
Lại có $y-1\geq0$ nên $y-1\in \left \{ 1;11 \right \}\Leftrightarrow y\in\left \{ 12;2 \right \}$
Từ đó có: $x=2,$ $x=12.$

Trường hợp 2: $z=2$
Phương trình tương đương:
$2xy=11+x+y$
$\Rightarrow x(2y-1)=y+11$
$\Rightarrow x=\frac{y+11}{2y-1}$ $(2y-1\neq 0$ do $y \in \mathbb{Z})$
$\Rightarrow 2x=\frac{2y+22}{2y-1}=1+\frac{23}{2y-1}$
Để $x$ nguyên $(y \in \mathbb{Z})$ thì $2y-1\in \texed{Ư}(23)$

Lại có $2y-1\geq1$ nên $2y-1\in \left \{ 1;23 \right \}\Leftrightarrow y\in\left \{ 1;12 \right \}$
Từ đó có: $x=12,$ $x=1.$

Trường hợp 3: $z=3$
Phương trình tương đương:
$3xy=12+x+y$
$\Rightarrow x(3y-1)=y+12$
$\Rightarrow x=\frac{y+12}{3y-1}$ $(3y-1\neq 0$ do $y \in \mathbb{Z})$
$\Rightarrow 3x=\frac{3y+36}{3y-1}=1+\frac{37}{3y-1}$
Để $x$ nguyên $(y \in \mathbb{Z})$ thì $3y-1\in \texed{Ư}(37)$
Lại có $3y-1\geq 2$ nên $3y-1=37\Leftrightarrow y=\frac{38}{3},$ loại do $y \in \mathbb{Z}$


Thử lại các trường hợp 1 và 2 đều thấy đúng.
Vậy $\boxed{(x;y;z)=(12;2;1),(2;12;1),(12;1;2),(1;12;2)}$ và các hoán vị của các bộ số này.

[19kvh97]

Bài 52: Tìm nghiệm nguyên của pt:
$x^3=y^2-4$

[DarkBlood]

Bài 56. Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau :
$8x^{4}-4y^{4}+2z^{4}=t^{4}$

$8x^{4}-4y^{4}+2z^{4}=t^{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

Từ phương trình, ta có: $2|t$ $\Rightarrow t=2t_1\ (t_1\in \mathbb{Z}).$ Thay vào phương trình $(1),$ ta có:

$8x^4-4y^4+2z^4=16t_1^4$

$\Leftrightarrow 4x^4-2y^4+z^4=8t_1^4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$

Do đó: $2|z$ $\Rightarrow z=2z_1\ (z_1\in \mathbb{Z}).$ Thay vào phương trình $(2),$ ta có:

$4x^4-2y^4+16z_1^4=8t_1^4$

$\Leftrightarrow 2x^4-y^4+8z_1^4=4t_1^4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$

Do đó: $2|y$ $\Rightarrow y=2y_1\ (y_1\in \mathbb{Z}).$ Thay vào phương trình $(3),$ ta có:

$2x^4-16y_1^4+8z_1^4=4t_1^4$

$\Leftrightarrow x^4-8y_1^4+4z_1^4=2t_1^4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)$

Do đó: $2|x$ $\Rightarrow x=2x_1\ (x_1\in \mathbb{Z}).$ Thay vào phương trình $(4),$ ta có:

$16x_1^4-8y_1^4+4z_1^4=2t_1^4$

$\Leftrightarrow 8t_1^4-4y_1^4+2z_1^4=1t_1^4$

Do đó $x,$ $y,$ $z,$ $t$ đều chẵn. Lập luận tương tự ta lại được $x_1,$ $y_1,$ $z_1,$ $t_1$ đều chẵn.

Cứ tiếp tục như trên ta sẽ được $2^k|x,$ $2^k|y,$ $2^k|z,$ $2^k|t$ $(k\in \mathbb{N})$

Điều này chỉ xảy ra khi $x=y=z=t=0.$

Vậy $\boxed{(x;y;z;t)=(0;0;0;0)}$
-------------
P/s: Bạn pham anh quan ra đề từ từ thôi nhé Nếu ra nhiều bài một lúc thì bạn nên chỉ viết trong một bài cho dễ nhìn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 04-03-2013 - 19:08

[Zaraki]

Bài 58. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau : $x^{4}+8x+6=9^{y} \qquad (1)$

Lời giải. Ta thấy $9^y \equiv 1 \pmod{8}$.
Nếu $x \equiv 0 \pmod{8}$ thì $x^4+8x+6 \equiv 6 \pmod{8}$, mâu thuẫn.
Nếu $x \not\equiv 0 \pmod{8}$ thì $x^4 \equiv 1 \pmod{8}$. Do đó $VT \equiv 7 \pmod{8}$, cũng mâu thuẫn.
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương.

[phanquockhanh]

Bài 60 Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:
a)$y^{7}-2x=x^{2}+2$
b)$x^{2}+9=y^{p}$ (Trong đó p là số nguyên tố có dạng 4k+3)

[19kvh97]

Bài 61: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của pt:
$(x^2+y)(x+y^2)=(x-y)^3$

[ghibli]

Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:
$3^{x}+4^{y}=5^{z}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ghibli: 18-03-2013 - 23:47

[ghibli]

Bài 61: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của pt:
$(x^2+y)(x+y^2)=(x-y)^3$

Nghiệm phương trình là thế này đúng không bạn (0;0); (9;-6);(9;-21);(-1;-1);(8;-10);(a;0).
Xin lỗi vì bận nên mình không kịp trình bày cách giải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ghibli: 18-03-2013 - 17:26

[phathuy]

Bài 62: Giải phương trình nghiệm nguyên dương $x+y^{2}=z\left ( x^{2}y-1 \right )$

[Zaraki]

Bài 62: Giải phương trình nghiệm nguyên dương $x+y^{2}=z\left ( x^{2}y-1 \right ) \qquad (1)$

PP. Lâu lắm rồi vô đây chém câu vậy 

Lời giải. Với $y=1$ thì suy ra $(x-1)(x+1)|x+1$ nên $x-1|1$. Do đó $x=2$ và $z=3$

Với $y \ge 2$ thì $x^2y-1>0$.

Vì $z \in \mathbb{N}^*$ nên $x^2y-1|(x+y^2)$. Ta có $z= \frac{x+y^2}{x^2y-1}$.

Như vậy bài toán được đưa về dạng tìm $x,y$ nguyên dương thỏa mãn $z$ nguyên dương.

Ta có $$x^2 \cdot z = \frac{x^3+(x^2y-1)y+y}{x^2y-1}= y+ \frac{x^3+y}{x^2y-1}$$

Vì $x \in \mathbb{N}^*$ nên $x^2 \cdot z$ là số nguyên dương và $y$ nguyên dương nên $\frac{x^3+y}{x^2y-1}$ nguyên dương.

Mặt khác dễ thấy $x^3+y>0$ nên ta suy ra $x^3+y \ge x^2y-1 \Leftrightarrow (x+1) \left[ (x-1)(x-y)+1 \right] \ge 0$.

Hiển nhiên $x+1>0$ nên ta suy ra $$(x-1)(x-y) \ge -1 \qquad (2)$$

 

Nếu $x>y$ hay $x \ge y+1$ thì $x+y^2 \le y^2+y+1$ mà $x^2y-1 >y^3-1=(y-1)(y^2+y+1)$.

Theo trên thì $y^2+y+1 \ge x+y^2 \ge x^2y-1>(y-1)(y^2+y+1)$ nên $y^2+y+1>(y-1)(y^2+y+1) \Leftrightarrow 1 \ge y$, mâu thuẫn với điều kiện $y \ge 2$.

Do đó $x \le y$.

 

Nếu $x=y$ thì từ $(1)$ suy ra $x(x+1)$ chia hết cho $x^3-1=(x+1)(x^2-x+1)$. Do đó $x^2-x+1|x$. Như vậy $x=1=y$, mâu thuẫn với điều kiện $y \ge 2$.

 

Nếu $x<y$ thì $x \le y-1$ nên $x-y \le -1$. Kết hợp với $(2)$ thì ta suy ra $1-x \ge -1 \Leftrightarrow x \le 2$. Khi đó $x \in \{ 1;2 \}$.

 

Với $x=1$ thì từ $(1)$ suy ra $y^2+1=(y-1)(y+1)+2$ chia hết cho $y-1$ tức $2$ chia hết cho $y-1$, mà $y-1 \ge 1$ nên $y=2,z=5$ hoặc $y=3,z=5$.

 

Với $x=2$ thì từ $(1)$ suy ra $y^2+2$ chia hết cho $4y-1$, tức $16y^2-1+33=(4y-1)(4y+1)+33$ chia hết cho $4y-1$ suy ra $33$ chia hết cho $4y-1$. Nhận thấy $4y-1 \ge 11$ nên $y=3$. Thử lại thấy thỏa mãn và tìm được $z=1$.

 

Vậy $\boxed{(x;y;z)=(2;1;3),(1;2;5),(1;3;5),(2;3;1)}$.

[Zaraki]

Bài 61: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của pt:
$(x^2+y)(x+y^2)=(x-y)^3 \qquad (1)$

Lời giải. Nếu $y=0$ thì $(1)$ đúng với mọi $x \in \mathbb{Z}$.

Nếu $y \ne 0$ thì $$\begin{aligned} (1) & \Leftrightarrow x^3+x^2y^2+xy+y^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3 \\ & \Leftrightarrow x^2y^2+xy+2y^3=3xy^2-3x^2y \\ & \Leftrightarrow 2y^2+y(x^2-3x)+3x^2+x=0 \end{aligned}$$

Ta có $\Delta_y = (x^2-3x)^2-8(3x^2+x)= x \left[ x(x-3)^2-8(3x+1) \right] =x(x-8)(x+1)^2$.

Để phương trình có nghiệm nguyên thì $\Delta_y$ là số chính phương, hay $x(x-8)$ chính phương.

Đặt $x(x-8)=a^2 \; (a \in \mathbb{N})$ khi đó thì $$a^2-(x-4)^2=16 \Leftrightarrow (a+x-4)(a-x+4)=16$$

Đến đây không khó lắm, sẽ trình bày sau.

[mathprovn]

Lời giải. Nếu $y=0$ thì $(1)$ đúng với mọi $x \in \mathbb{Z}$.

Nếu $y \ne 0$ thì $$\begin{aligned} (1) & \Leftrightarrow x^3+x^2y^2+xy+y^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3 \\ & \Leftrightarrow x^2y^2+xy+2y^3=3xy^2-3x^2y \\ & \Leftrightarrow 2y^2+y(x^2-3x)+3x^2+x=0 \end{aligned}$$

Ta có $\Delta_y = (x^2-3x)^2-8(3x^2+x)= x \left[ x(x-3)^2-8(3x+1) \right] =x(x-8)(x+1)^2$.

Để phương trình có nghiệm nguyên thì $\Delta_y$ là số chính phương, hay $x(x-8)$ chính phương.

Đặt $x(x-8)=a^2 \; (a \in \mathbb{N})$ khi đó thì $$a^2-(x-4)^2=16 \Leftrightarrow (a+x-4)(a-x+4)=16$$

Đến đây không khó lắm, sẽ trình bày sau.

Bạn nên lưu ý $\Delta _y $ là số chính phương thì ta xét thêm trường hợp $ x = - 1 \Rightarrow y = - 1$. Nếu $x\neq - 1$ mới xét $x(x - 8)$ là số chính phương.

[Trang Luong]

Bài 63: Tìm x,y  nguyên :

$3^{x}+171=y^{2}$

 

Mod. Nhớ ghi số thứ tự.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 28-03-2013 - 21:12

[Trang Luong]

Bài 64: Tìm x,y,z nguyên dương :

$7^{z}=2^{x}.3^{y}+1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 28-03-2013 - 21:12

[phanquockhanh]

Bài 65: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau:

$1!+2!+...+(x+y)!=y^{z+1}$

[Zaraki]

Bài 63: Tìm x,y  nguyên :

$3^{x}+171=y^{2} \qquad (1)$

 

Mod. Nhớ ghi số thứ tự.

Lời giải. Với $x <0$ thì $(1) \Leftrightarrow \frac{1}{3^{|x|}}+171=y^2$, mâu thuẫn. Do đó $x \ge 0$.

Nếu $x=0$ thì $y^2=172$ không là số chính phương.

Nếu $x$ lẻ thì $3^x=3^{2k+1}=9^k \cdot 3 \equiv 3 \pmod{4}$ và $171 \equiv 3 \pmod{4}$ nên $3^x+171 \equiv 2 \pmod{4}$, không thể là số chính phương.

Như vậy $x=2k$ với $k \in \mathbb{N}^*$, khi đó $$(1) \Leftrightarrow \left( y -3^k \right) \left( y+3^k \right) =171=3 \cdot 3 \cdot 19 \qquad (2)$$

Nhận thấy $\left( y+3^k \right)- \left( y-3^k \right)=2 \cdot 3^k$ chia hết cho $3$ nên $y+3^k,y-3^k$ có cùng số dư khi chia cho $3$, mà tích chúng chia hết cho $3$ nên mỗi số chia hết cho $3$.

Không mất tính tổng quát, giả sử $y \ge 0$ thì khi đó $y+3^k>y-3^k \ge 0$. Do đó từ $(2)$ ta suy ra $y+3^k=57, \; y-3^k=3$. Khi đó ta tính được $y=30,k=3$ suy ra $x=6$.

Vậy phương trình $(1)$ có nghiệm $\boxed{(x;y)=(6;30),(6;-30)}$.

[Trang Luong]

Bài 66. Tìm x,y nguyên sao cho 54x³+1=y³

(Mình mong bạn Phạm Quang Toàn có lời giải sớm cho mình)

[kinhvung]

Bài 66. Tìm x,y nguyên sao cho 54x³+1=y³

(Mình mong bạn Phạm Quang Toàn có lời giải sớm cho mình)

Mình gợi ý hướng bạn làm nhé: (làm để phát triển tư duy)

TH: x=0 là nghiệm

TH2: x,y trai dấu loại

TH3: cùng dấu

+ x,y cùng dương

VT chia 6 dư 1 nên y=6k+1

54x³=y³ -1 = (y-1)(...)

Bước 2: thay y vào bạn có x=2n

Bước 3: thay vào bạn có đươc k=9m

Bước 4: bạn có 1 biểu thức mới tại đó m(biểu thức của m) 2 số này nguyên tố cùng nhau; bạn xét tim đươc m=4h

Bước 5: thay vào có h(biếu thức của h)=n³

ở đây h nguyên tố cùng nhau với biểu thức của h nên bạn có h =1 thay vào không tìm đươc n

+ x,y cùng âm: tự làm tương tự

Vậy có nghiệm duy nhât

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kinhvung: 31-03-2013 - 16:29