Chủ đề này có 565 trả lời

[Trang Luong]

Bài 67. Tìm x,y nguyên : $\left ( y+2 \right )x^{2}+1=y^{2}$

[Trang Luong]

Bài 68. Tìm x,y nguyên $y(x-1)=x^{2}+1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 31-03-2013 - 20:03

[Trang Luong]

Bài 69. Tìm tất cả các chữ số b sao cho : $\underset{2n c/s}{\underbrace{1111...11}}-\underset{n c/s}{\underbrace{\overline{bbb.bbb}}}$

là số chính phương

[Zaraki]

Bài 67. Tìm x,y nguyên : $\left ( y+2 \right )x^{2}+1=y^{2} \qquad (1)$

Lời giải. Phương trình tương đương với $(y+2)x^2=(y-1)(y+1)$.

Ta thấy $y+2|(y-1)(y+1)$ mà $(y+1,y+2)=1$ nên $y+2|y-1$ hay $y+2|3$.

Do đó $y+2 \in \{ \pm 1, \; \pm 3 \} \Rightarrow y \in \{ -1,-3,1,-5 \}$.

Với $y=-1$ thì $(1) \Leftrightarrow 1+x^2=1 \Leftrightarrow x=0$.

Với $y=-3$ thì $(1) \Leftrightarrow 1-x^2=9 \Leftrightarrow x^2=-8$, mâu thuẫn.

Với $y=1$ thì $(1) \Leftrightarrow 3x^2+1=1 \Leftrightarrow x=0$.

Với $y=-5$ thì $(1) \Leftrightarrow 1-3x^2=25 \Leftrightarrow 3x^2=-24$, mâu thuẫn.

Vậy $\boxed{(x,y)=(0;1),(0;-1)}$.

[Zaraki]

Bài 68. Tìm x,y nguyên $y(x-1)=x^{2}+1$

Lời giải. Phương trình tương đương với $(1-x)(x+1-y)=2$.

Nếu $1-x=1,x+1-y=2$ thì $x=0,y=-1$.

Nếu $1-x=2,x+1-y=1$ thì $x=-1,y=-1$.

Nếu $1-x=-1,x+1-y=-2$ thì $x=2,y=5$.

Nếu $1-x=-2,x+1-y=-1$ thì $x=3,y=5$.

Vậy phương trình có nghiệm $\boxed{(x;y)=(0;-1),(-1;-1),(2;5),(3;5)}$.

[DarkBlood]

Bài 69. Tìm tất cả các chữ số b sao cho : $\underset{2n c/s}{\underbrace{1111...11}}-\underset{n c/s}{\underbrace{\overline{bbb.bbb}}}$

là số chính phương

Không biết đúng không nữa

 

Xét $n=1,$ ta có:

$11-\overline{b}$ phải là số chính phương.

Thử lần lượt giá trị của $b$ $(0\leq b\leq 9;\ b\in \mathbb{N})$ được $b=2$ và $b=7$ thỏa mãn.

 

Xét $n=2,$ ta có:

$1111-\overline{bb}$ phải là số chính phương.

Với $b=2,$ ta có: $1111-22=1089=33^2,$ là số chính phương.

Với $b=7,$ ta có: $1111-77=1034,$ không là số chính phương. $($Loại$)$

 

Bây giờ ta chứng minh với $b=2$ thì $\underset{2n\ c/s}{\underbrace{111...11}}-\underset{n\ c/s}{\underbrace{\overline{bbb...bbb}}}$ luôn là số chính phương.

Đặt $\underset{n\ c/s}{\underbrace{\overline{111...111}}}=k$ $(k\in \mathbb{N}^*)$

Khi đó:

$\bullet $ $10^n=9k+1$

 

$\bullet $ $\underset{2n\ c/s}{\underbrace{111...11}}=\underset{n\ c/s}{\underbrace{\overline{111...111}}}.10^n+\underset{n\ c/s}{\underbrace{\overline{111...111}}}=k(9k+1)+k=9k^2+2k$

 

$\bullet $ $\underset{n\ c/s}{\underbrace{\overline{222...222}}}=2k$

 

Do đó: 

$\underset{2n\ c/s}{\underbrace{111...11}}-\underset{n\ c/s}{\underbrace{\overline{222...222}}}=9k^2+2k-2k=9k^2,$ là số chính phương.

 

Vậy $\boxed{b=2}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 01-04-2013 - 00:42

[Trang Luong]

Bài 70. Tìm tất cả các cặp số nguyên $x,y$ thỏa mãn : $9x^{2}+3y=y^{2}+8$

[duaconcuachua98]

Bài 70. Tìm tất cả các cặp số nguyên $x,y$ thỏa mãn : $9x^{2}+3y=y^{2}+8$

Ta có: $9x^{2}+3y=y^{2}+8\Leftrightarrow y^{2}-3y+8-9x^{2}=0(1)$

Xét phương trình $(1)$ có $\Delta =36x^{2}-23$

Để phương trình có nghiệm nguyên khi $\Delta$ là số chính phương 

Đặt $36x^{2}-23=t^{2}\Leftrightarrow (6x-t)(6x+t)=23$

Vì $x,y\in \mathbb{Z}$ nên $(6x-t)(6x+t)$ là tích $2$ số nguyên 

Mà $23$ viết thành tích $2$ số nguyên có các trương hợp là $23=1.23=-1.(-23)$

$\bullet$ Nếu $\left\{\begin{matrix} 6x-t=1 & \\ 6x+t=23 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 & \\ t=11 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 & \\ \begin{bmatrix} y=-4 & \\ y=7 & \end{bmatrix} & \end{matrix}\right.$

$\bullet$ Nếu $\left\{\begin{matrix} 6x-t=-1 & \\ 6x+t=-23 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-2 & \\ t=-11 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-2 & \\ \begin{bmatrix} y=-4 & \\ y=7 & \end{bmatrix} & \end{matrix}\right.$

Vậy phương trình có $4$ nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(2;-4);(2;7);(-2;-4);(-2;7)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duaconcuachua98: 04-04-2013 - 20:45

[4869msnssk]

Bài 71: GPT nghiệm nguyên: $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=y^{2}+1$

Mod. Nhớ ghi số thứ tự

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 05-04-2013 - 17:22

[Trang Luong]

GPT nghiệm nguyên: $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=y^{2}+1$

Ko khó chỉ kẹp giữa 2 số là đc

ta có :

$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=y^{2}+1\Leftrightarrow x^{4}+x^{3}+x^{2}+x=y^{2}\Rightarrow 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=4y^{2}$

Với $x=-1$$\Rightarrow x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=1\Rightarrow y=0$

Với $x\neq -1$

ta có : $(2x^{2}+x)^{2} \leq 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )<\left ( 2x^{2}+x+2 \right )^{2}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} (2x^{2}+x)^{2} = 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )\Rightarrow x=0& & \\ \left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=\left ( 2x^{2}+x+1 \right )^{2}\Rightarrow x=1 & & \end{bmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 05-04-2013 - 21:01

[4869msnssk]

Ko khó chỉ kẹp giữa 2 số là đc

ta có :

$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=y^{2}+1\Leftrightarrow x^{4}+x^{3}+x^{2}+x=y^{2}\Rightarrow 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=4y^{2}$

mà $(2x^{2}+x)^{2} \leq 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )<\left ( 2x^{2}+x+2 \right )^{2}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} (2x^{2}+x)^{2} = 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )\Rightarrow x=0& & \\ \left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=\left ( 2x^{2}+x+1 \right )^{2}\Rightarrow x=1 & & \end{bmatrix}$

cứ làm đi rồi bạn sẽ thấy thiếu 

[Trang Luong]

cứ làm đi rồi bạn sẽ thấy thiếu 

Thiếu ở đâu hả bạn, mong bạn chỉ ra cho mình

[4869msnssk]

có lẽ mình nhầm nhưng bạn nên viết cách biến đổi ra để mọi người cùng biết

[duaconcuachua98]

Bài 72:

Tìm $x,y,z$ nguyên để $xyz=x^{2}-2z+2$

[Nguyen Duc Thuan]

Ko khó chỉ kẹp giữa 2 số là đc

ta có :

$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=y^{2}+1\Leftrightarrow x^{4}+x^{3}+x^{2}+x=y^{2}\Rightarrow 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=4y^{2}$

mà $(2x^{2}+x)^{2} \leq 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )$$<\left ( 2x^{2}+x+2 \right )^{2}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} (2x^{2}+x)^{2} = 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )\Rightarrow x=0& & \\ \left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=\left ( 2x^{2}+x+1 \right )^{2}\Rightarrow x=1 & & \end{bmatrix}$

Rõ ràng ở đây chưa đc, vì x đâu có dương!

(Khi khai triển ra còn hạng tử 4x)

 

 

Vì $x^{2}+x+1>0\Rightarrow 2x^{2}+x+1,2x^{2}+x+2>0$

Đâu có sai

và $2x^{2}\geq x^{2}\geq x\Rightarrow 2x^{2}-x\geq 0$ vì x nguyên chứ có phải số vô tỉ đâu

 

 

Cụ thể: Chõ đỏ sai:

$4x^4+4x^3+x^2<4x^4+4x^3+4x^2+4x$

$\Leftrightarrow 0<3x^2+4x$

CÁi này ko luôn đúng (x=-1)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Thuan: 05-04-2013 - 20:50

[Trang Luong]

Rõ ràng ở đây chưa đc, vì x đâu có dương!

(Khi khai triển ra còn hạng tử 4x)

Vì $x^{2}+x+1>0\Rightarrow 2x^{2}+x+1,2x^{2}+x+2>0$

Đâu có sai

và $2x^{2}\geq x^{2}\geq x\Rightarrow 2x^{2}-x\geq 0$ vì x nguyên chứ có phải số vô tỉ đâu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 05-04-2013 - 20:46

[4869msnssk]

Rõ ràng ở đây chưa đc, vì x đâu có dương!

(Khi khai triển ra còn hạng tử 4x)

khai triển ra phải còn thừa $x(3x+4)$

[4869msnssk]

Vì $x^{2}+x+1>0\Rightarrow 2x^{2}+x+1,2x^{2}+x+2>0$

Đâu có sai

và $2x^{2}\geq x^{2}\geq x\Rightarrow 2x^{2}-x\geq 0$ vì x nguyên chứ có phải số vô tỉ đâu

đây là $2x+x$ chứ

[Trang Luong]

khai triển ra phải còn thừa $x(3x+4)$

Ta có : $x(3x+4)=0$ đúng ko

mà $3x+4$ khác 0 $\Rightarrow x=0\neq 0$ 

Mà sai chỗ nào bạn hãy chỉ rõ ra, và sửa chữa. Nếu cách mình sai mong các bạn có lời giải khác

P/s: Nói nhiu với các bạn mình sẽ spam mất

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 05-04-2013 - 21:02

[DarkBlood]

Bài 73: Giải hệ phương trình nghiệm nguyên:

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+z^2=194\\ x^2z^2+y^2z^2=4225 \end{matrix}\right.$