Chủ đề này có 1 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Cho $\{F_{n} \}_{n \ge 0}$ là dãy số Fibonacci với $F_0=0;F_1=1;F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1};n=1,2,...$.
Chứng minh rằng $\forall n \ge 1$ thì:
$$\exists !(a,b,c) \in \mathbb{N};b<a;c<a:a|(F_{n}-nbc^{n})$$

[perfectstrong]

Đề phải ghi là $$\exists ! a,b,c \in \mathbb{N}^*;b<c;c<a: \forall n \ge 1: a|F_n - nbc^n$$


Lời giải:
Kí hiệu $x:=y$ là thay $x$ bởi $y$.
ĐK cần: Giả sử tồn tại $a,b,c \in \mathbb{N}^*$ thỏa đề. Ta sẽ viết giả thiết dưới dạng đồng dư
\[
\forall n \ge 1:F_n \equiv nbc^n \left( {\bmod a} \right) \quad (*)
\]
Vì $a>b;a>c \Rightarrow a \ge 2$.
Trong (*), thay $n:=1 \Rightarrow 1 \equiv bc \pmod a \quad (1)$
Tiếp tục thay $n:=2 \Rightarrow 1 \equiv 2bc^2 \pmod a \quad (2)$
Thay $n:=3 \Rightarrow 2 \equiv 3bc^3 \pmod a \quad (3)$.
Lấy (1) nhân với $2c$ rồi trừ đi (2), ta có
\[
1 - 2c \equiv 0 \pmod a \Rightarrow 2c \equiv 1 \pmod a
\]
Do đó, $(1) \Rightarrow 2 \equiv 2bc \equiv b \pmod a$. Nên từ (3)
\[
16 \equiv 3b\left( {2c} \right)^3 \equiv 3.2.1^3 \left( {\bmod a} \right) \Rightarrow 10 \equiv 0\left( {\bmod a} \right) \Rightarrow a \in \left\{ {2;5;10} \right\}
\]
ĐK đủ:
TH1: $a=2$
$\Rightarrow c=1$ nhưng $2c \not \equiv 1 \pmod a$: loại.
TH2: $a=5$
Bằng thử chọn $c\in \lbrace 1;2;3;4 \rbrace \Rightarrow c=3$.
$b \equiv 2 \pmod a \Rightarrow b=2$. (*) trở thành $5|F_n - 2n3^n$: dễ dàng chứng minh bằng quy nạp.
TH3: $a=10$
Bằng thử chọn $c \in \lbrace 1;2;..;9 \rbrace$ thì không có số nào thỏa: loại.
Kết luận: $\exists !(a;b;c)=(5;2;3)$ thỏa đề.

@Dark templar:Lúc đó đang buồn ngủ nên ghi lộn đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 26-12-2012 - 10:45