Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

CMR: $n^{n+1}>(n+1)^{n},\forall n\geqslant 3,n\epsilon N$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 whiterose96

whiterose96

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 25-12-2012 - 22:07

1/ CMR: $(C_{2n}^{0})^{2}-(C_{2n}^{1})^{2}+(C_{2n}^{3})^{2}-...+(C_{2n}^{2n})^{2}=(-1)^{n}C_{2n}^{n}$

2/CMR:$\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}<2$

3/CMR: $n^{n+1}>(n+1)^{n},\forall n\geqslant 3,n\epsilon N$

NLT: Chú ý tiêu đề bài viết, nếu còn vi phạm ĐHV sẽ xóa thẳng tay ! Thân !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 27-12-2012 - 09:37

Hình đã gửi


#2 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 25-12-2012 - 23:13

Câu 2 :
Ta có $\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n-1)}=1+1-\frac{1}{n}< 2$
Câu 3 :
Ta có $n^{n+1}> (n+1)^n\Leftrightarrow n> \left ( \frac{n+1}{n} \right )^n$
$\Leftrightarrow n> \left ( n+\frac{1}{n} \right )^n$
Lại có : $(n+\frac{1}{n})^n< 3\leq n$ ( 1 kết quả quen thuộc ) nên ta có ngay đpcm ?
Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 26-12-2012 - 10:27

1/ CMR: $(C_{2n}^{0})^{2}-(C_{2n}^{1})^{2}+(C_{2n}^{3})^{2}-...+(C_{2n}^{2n})^{2}=(-1)^{n}C_{2n}^{n}$

Tình hình là chưa giải ra bài này,nhưng vẫn mạn phép bình "loạn" chút :P
**********
Tổng bên vế trái có thể biểu diễn theo hàm Gamma như sau:
$$\sum_{k=0}^{2n}(-1)^{k}\binom{2n}{k}^2=\dfrac{\Gamma (1).\Gamma (1-n)}{\Gamma (1-2n) \Gamma (1+n)}$$
Và nếu ta sử dụng 2 tính chất sau của hàm Gamma :
  • $\Gamma (1-n)=-n \Gamma (-n)$
  • $\Gamma (-n)=\dfrac{(-1)^{n}}{n!}$
Thì ta có thể biến đổi ra ngay được vế phải .
Tổng này kha khá gần dạng với tổng sau :
$$\sum_{k=0}^{2n}(-1)^{k}\binom{2n}{k}^3=(-1)^{n}\binom{3n}{n}\binom{2n}{n}(*)$$
,xuất phát từ đẳng thức Dixon :
$$\sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}\binom{a+b}{a+k}\binom{b+c}{b+k}\binom{c+a}{c+k}=\dfrac{(a+b+c)!}{a!b!c!}(a,b,c \in \mathbb{N})$$
Nếu ta chọn $a=b=c=n$ thì sẽ có (*). :)
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#4 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-12-2012 - 11:40

$\sum_{k=0}^{2n} (-1)^k {2n\choose k}^2=?$

Bài này có lẽ không dùng SPTP được, nhưng dùng khai triển nhị thức thì lại đơn giản!

Lời giải

Ta có: $(x^2+1)^{2n}=\left[(x-i)(x+i)\right]^{2n}\quad(1)$
Do đó, khai triển nhị thức ra ta được:
$VP(1)=\left[\sum_{k_1=0}^{2n}{2n\choose k_1}x^{k_1}(-1)^{2n-k_1}.i^{2n-k_1}\right]\cdot\left[\sum_{k_2=0}^{2n}{2n\choose k_2}x^{k_2}.i^{2n-k_2}\right]$
Suy ra hệ số của $x^{2n}$ trong khai triển trên là:
$\begin{eqnarray*}S_{2n}&=&\sum_{k_1+k_2=2n}{2n\choose k_1}{2n\choose k_2}(-1)^{2n-k_1}.i^{2n-k_1+2n-k_2}\\&=&\sum_{k_1=0}^{2n}{2n\choose k_1}{2n\choose 2n-k_1}(-1)^{k_1}i^{2n}\\&=&(-1)^n\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k{2n\choose k}^2\end{eqnarray*}$

Trong khi đó hệ số $x^{2n}$ trong khai triển $(x^2+1)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}x^{2k}$ chính là ${2n\choose n}$
Từ đó suy ra đẳng thức:
$(-1)^n\sum_{k=0}^{2n} (-1)^k {2n\choose k}^2={2n\choose n}$
hay $$\sum_{k=0}^{2n} (-1)^k {2n\choose k}^2=(-1)^n{2n\choose n}$$
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#5 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4124 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 27-12-2012 - 20:35

Cách của thầy Thanh đẹp quá :D Em có 1 cách dùng Lagrange như sau (nhưng hơi dài :D)
Lời giải:
Ta cần có bổ đề sau: (có thể chứng minh bằng quy nạp)
Bổ đề:
Cho $P(x)$ là đa thức bậc $2n$ thỏa \[
P\left( i \right) = C_{2n}^i ,\forall i = \overline {0,2n}
\]
Khi đó, hệ số bậc $2n$ của $P(x)$ là $\dfrac{(-1)^n}{n!^2}$.
================================
Quay lại bài toán. Gọi $P(x)$ là đa thức bậc $2n$ thỏa $P\left( i \right) = C_{2n}^i ,\forall i = \overline {0,2n}$.
Xét công thức Lagrange cho $P(x)$ tại $2n+1$ điểm $x_i=i\,\,\forall i=\overline{0,2n}$.
\[
P\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^{2n} {P\left( i \right)\prod\limits_{\scriptstyle j = 0 \atop
\scriptstyle j \ne i }^{2n} {\frac{{x - j}}{{i - j}}} } = \sum\limits_{i = 0}^{2n} {C_{2n}^i .\frac{{\prod\limits_{j = 0;j \ne i}^{2n} {\left( {x - j} \right)} }}{{\left( { - 1} \right)^{2n - i} i!\left( {2n - i} \right)!}}}
\]
Khi đó, hệ số bậc $2n$ của $P(x)$ là $\sum\limits_{i = 0}^{2n} {\left( { - 1} \right)^i \frac{{\left( {2n} \right)!}}{{i!^2 \left( {2n - i} \right)!}}}$
Nên theo bổ đề
\[
\begin{array}{rcl}
\sum\limits_{i = 0}^{2n} {\left( { - 1} \right)^i \frac{{\left( {2n} \right)!}}{{i!^2 \left( {2n - i} \right)!}}} &=& \frac{{\left( { - 1} \right)^n }}{{n!^2 }} \\
\Leftrightarrow \sum\limits_{i = 0}^{2n} {\left( { - 1} \right)^i \left[ {\frac{{\left( {2n} \right)!}}{{i!\left( {2n - i} \right)!}}} \right]^2 } &=& \left( { - 1} \right)^n \frac{{\left( {2n} \right)!}}{{n!^2 }} \\
\Leftrightarrow \sum\limits_{i = 0}^{2n} {\left( { - 1} \right)^i \left( {C_{2n}^i } \right)^2 } &=& \left( { - 1} \right)^n C_{2n}^n \\
\end{array}
\]
_______________
@hxthanh: Tình hình là phần Đa thức nội suy Lagrange và ứng dụng chứng minh ĐTTH phải nhờ em giúp một tay thôi. :))

@Perfectstrong: Dạ chắc em thi xong sẽ rãnh rỗi một thời gian ngắn :D Mà phần đó cũng hơi khó viết do em thấy nó nặng nề thật :(


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh