Đến nội dung


Chú ý

Nếu bạn gặp lỗi trong quá trinh đăng ký thành viên, hoặc đã đăng ký thành công nhưng không nhận được email kích hoạt, hãy thực hiện những bước sau:

  • Đăng nhập với tên và mật khẩu bạn đã dùng kể đăng ký. Dù bị lỗi nhưng hệ thống đã lưu thông tin của bạn vào cơ sở dữ liệu, nên có thể đăng nhập được.
  • Sau khi đăng nhập, phía góc trên bên phải màn hình sẽ có nút "Gửi lại mã kích hoạt", bạn nhấn vào nút đó để yêu cầu gửi mã kích hoạt mới qua email.
Nếu bạn đã quên mật khẩu thì lúc đăng nhập hãy nhấn vào nút "Tôi đã quên mật khẩu" để hệ thống gửi mật khẩu mới cho bạn, sau đó làm theo hai bước trên để kích hoạt tài khoản. Lưu ý sau khi đăng nhập được bạn nên thay mật khẩu mới.

Nếu vẫn không đăng nhập được, hoặc gặp lỗi "Không có yêu cầu xác nhận đang chờ giải quyết cho thành viên đó", bạn hãy gửi email đến [email protected] để được hỗ trợ.
---
Do sự cố ngoài ý muốn, tất cả bài viết và thành viên đăng kí sau ngày 08/08/2019 đều không thể được khôi phục. Những thành viên nào tham gia diễn đàn sau ngày này xin vui lòng đăng kí lại tài khoản. Ban Quản Trị rất mong các bạn thông cảm. Mọi câu hỏi hay thắc mắc các bạn có thể đăng vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để được hỗ trợ. Ngoài ra nếu các bạn thấy diễn đàn bị lỗi thì xin hãy thông báo cho BQT trong chủ đề Báo lỗi diễn đàn. Cảm ơn các bạn.

Ban Quản Trị.


Hình ảnh
- - - - -

CMR: $n^{n+1}>(n+1)^{n},\forall n\geqslant 3,n\epsilon N$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 whiterose96

whiterose96

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 25-12-2012 - 22:07

1/ CMR: $(C_{2n}^{0})^{2}-(C_{2n}^{1})^{2}+(C_{2n}^{3})^{2}-...+(C_{2n}^{2n})^{2}=(-1)^{n}C_{2n}^{n}$

2/CMR:$\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}<2$

3/CMR: $n^{n+1}>(n+1)^{n},\forall n\geqslant 3,n\epsilon N$

NLT: Chú ý tiêu đề bài viết, nếu còn vi phạm ĐHV sẽ xóa thẳng tay ! Thân !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 27-12-2012 - 09:37

Hình đã gửi


#2 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 25-12-2012 - 23:13

Câu 2 :
Ta có $\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n-1)}=1+1-\frac{1}{n}< 2$
Câu 3 :
Ta có $n^{n+1}> (n+1)^n\Leftrightarrow n> \left ( \frac{n+1}{n} \right )^n$
$\Leftrightarrow n> \left ( n+\frac{1}{n} \right )^n$
Lại có : $(n+\frac{1}{n})^n< 3\leq n$ ( 1 kết quả quen thuộc ) nên ta có ngay đpcm ?
Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 26-12-2012 - 10:27

1/ CMR: $(C_{2n}^{0})^{2}-(C_{2n}^{1})^{2}+(C_{2n}^{3})^{2}-...+(C_{2n}^{2n})^{2}=(-1)^{n}C_{2n}^{n}$

Tình hình là chưa giải ra bài này,nhưng vẫn mạn phép bình "loạn" chút :P
**********
Tổng bên vế trái có thể biểu diễn theo hàm Gamma như sau:
$$\sum_{k=0}^{2n}(-1)^{k}\binom{2n}{k}^2=\dfrac{\Gamma (1).\Gamma (1-n)}{\Gamma (1-2n) \Gamma (1+n)}$$
Và nếu ta sử dụng 2 tính chất sau của hàm Gamma :
  • $\Gamma (1-n)=-n \Gamma (-n)$
  • $\Gamma (-n)=\dfrac{(-1)^{n}}{n!}$
Thì ta có thể biến đổi ra ngay được vế phải .
Tổng này kha khá gần dạng với tổng sau :
$$\sum_{k=0}^{2n}(-1)^{k}\binom{2n}{k}^3=(-1)^{n}\binom{3n}{n}\binom{2n}{n}(*)$$
,xuất phát từ đẳng thức Dixon :
$$\sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}\binom{a+b}{a+k}\binom{b+c}{b+k}\binom{c+a}{c+k}=\dfrac{(a+b+c)!}{a!b!c!}(a,b,c \in \mathbb{N})$$
Nếu ta chọn $a=b=c=n$ thì sẽ có (*). :)
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#4 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-12-2012 - 11:40

$\sum_{k=0}^{2n} (-1)^k {2n\choose k}^2=?$

Bài này có lẽ không dùng SPTP được, nhưng dùng khai triển nhị thức thì lại đơn giản!

Lời giải

Ta có: $(x^2+1)^{2n}=\left[(x-i)(x+i)\right]^{2n}\quad(1)$
Do đó, khai triển nhị thức ra ta được:
$VP(1)=\left[\sum_{k_1=0}^{2n}{2n\choose k_1}x^{k_1}(-1)^{2n-k_1}.i^{2n-k_1}\right]\cdot\left[\sum_{k_2=0}^{2n}{2n\choose k_2}x^{k_2}.i^{2n-k_2}\right]$
Suy ra hệ số của $x^{2n}$ trong khai triển trên là:
$\begin{eqnarray*}S_{2n}&=&\sum_{k_1+k_2=2n}{2n\choose k_1}{2n\choose k_2}(-1)^{2n-k_1}.i^{2n-k_1+2n-k_2}\\&=&\sum_{k_1=0}^{2n}{2n\choose k_1}{2n\choose 2n-k_1}(-1)^{k_1}i^{2n}\\&=&(-1)^n\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k{2n\choose k}^2\end{eqnarray*}$

Trong khi đó hệ số $x^{2n}$ trong khai triển $(x^2+1)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}x^{2k}$ chính là ${2n\choose n}$
Từ đó suy ra đẳng thức:
$(-1)^n\sum_{k=0}^{2n} (-1)^k {2n\choose k}^2={2n\choose n}$
hay $$\sum_{k=0}^{2n} (-1)^k {2n\choose k}^2=(-1)^n{2n\choose n}$$
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#5 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4145 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 27-12-2012 - 20:35

Cách của thầy Thanh đẹp quá :D Em có 1 cách dùng Lagrange như sau (nhưng hơi dài :D)
Lời giải:
Ta cần có bổ đề sau: (có thể chứng minh bằng quy nạp)
Bổ đề:
Cho $P(x)$ là đa thức bậc $2n$ thỏa \[
P\left( i \right) = C_{2n}^i ,\forall i = \overline {0,2n}
\]
Khi đó, hệ số bậc $2n$ của $P(x)$ là $\dfrac{(-1)^n}{n!^2}$.
================================
Quay lại bài toán. Gọi $P(x)$ là đa thức bậc $2n$ thỏa $P\left( i \right) = C_{2n}^i ,\forall i = \overline {0,2n}$.
Xét công thức Lagrange cho $P(x)$ tại $2n+1$ điểm $x_i=i\,\,\forall i=\overline{0,2n}$.
\[
P\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^{2n} {P\left( i \right)\prod\limits_{\scriptstyle j = 0 \atop
\scriptstyle j \ne i }^{2n} {\frac{{x - j}}{{i - j}}} } = \sum\limits_{i = 0}^{2n} {C_{2n}^i .\frac{{\prod\limits_{j = 0;j \ne i}^{2n} {\left( {x - j} \right)} }}{{\left( { - 1} \right)^{2n - i} i!\left( {2n - i} \right)!}}}
\]
Khi đó, hệ số bậc $2n$ của $P(x)$ là $\sum\limits_{i = 0}^{2n} {\left( { - 1} \right)^i \frac{{\left( {2n} \right)!}}{{i!^2 \left( {2n - i} \right)!}}}$
Nên theo bổ đề
\[
\begin{array}{rcl}
\sum\limits_{i = 0}^{2n} {\left( { - 1} \right)^i \frac{{\left( {2n} \right)!}}{{i!^2 \left( {2n - i} \right)!}}} &=& \frac{{\left( { - 1} \right)^n }}{{n!^2 }} \\
\Leftrightarrow \sum\limits_{i = 0}^{2n} {\left( { - 1} \right)^i \left[ {\frac{{\left( {2n} \right)!}}{{i!\left( {2n - i} \right)!}}} \right]^2 } &=& \left( { - 1} \right)^n \frac{{\left( {2n} \right)!}}{{n!^2 }} \\
\Leftrightarrow \sum\limits_{i = 0}^{2n} {\left( { - 1} \right)^i \left( {C_{2n}^i } \right)^2 } &=& \left( { - 1} \right)^n C_{2n}^n \\
\end{array}
\]
_______________
@hxthanh: Tình hình là phần Đa thức nội suy Lagrange và ứng dụng chứng minh ĐTTH phải nhờ em giúp một tay thôi. :))

@Perfectstrong: Dạ chắc em thi xong sẽ rãnh rỗi một thời gian ngắn :D Mà phần đó cũng hơi khó viết do em thấy nó nặng nề thật :(


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh