1/ CMR: $(C_{2n}^{0})^{2}-(C_{2n}^{1})^{2}+(C_{2n}^{3})^{2}-...+(C_{2n}^{2n})^{2}=(-1)^{n}C_{2n}^{n}$
Tình hình là chưa giải ra bài này,nhưng vẫn mạn phép bình "loạn" chút
**********
Tổng bên vế trái có thể biểu diễn theo hàm Gamma như sau:
$$\sum_{k=0}^{2n}(-1)^{k}\binom{2n}{k}^2=\dfrac{\Gamma (1).\Gamma (1-n)}{\Gamma (1-2n) \Gamma (1+n)}$$
Và nếu ta sử dụng 2 tính chất sau của hàm Gamma :
- $\Gamma (1-n)=-n \Gamma (-n)$
- $\Gamma (-n)=\dfrac{(-1)^{n}}{n!}$
Thì ta có thể biến đổi ra ngay được vế phải .
Tổng này kha khá gần dạng với tổng sau :
$$\sum_{k=0}^{2n}(-1)^{k}\binom{2n}{k}^3=(-1)^{n}\binom{3n}{n}\binom{2n}{n}(*)$$
,xuất phát từ đẳng thức Dixon :
$$\sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}\binom{a+b}{a+k}\binom{b+c}{b+k}\binom{c+a}{c+k}=\dfrac{(a+b+c)!}{a!b!c!}(a,b,c \in \mathbb{N})$$
Nếu ta chọn $a=b=c=n$ thì sẽ có (*).