Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $n^{n+1}>(n+1)^{n},\forall n\geqslant 3,n\epsilon N$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
whiterose96

whiterose96

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
1/ CMR: $(C_{2n}^{0})^{2}-(C_{2n}^{1})^{2}+(C_{2n}^{3})^{2}-...+(C_{2n}^{2n})^{2}=(-1)^{n}C_{2n}^{n}$

2/CMR:$\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}<2$

3/CMR: $n^{n+1}>(n+1)^{n},\forall n\geqslant 3,n\epsilon N$

NLT: Chú ý tiêu đề bài viết, nếu còn vi phạm ĐHV sẽ xóa thẳng tay ! Thân !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 27-12-2012 - 09:37

Hình đã gửi


#2
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
Câu 2 :
Ta có $\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n-1)}=1+1-\frac{1}{n}< 2$
Câu 3 :
Ta có $n^{n+1}> (n+1)^n\Leftrightarrow n> \left ( \frac{n+1}{n} \right )^n$
$\Leftrightarrow n> \left ( n+\frac{1}{n} \right )^n$
Lại có : $(n+\frac{1}{n})^n< 3\leq n$ ( 1 kết quả quen thuộc ) nên ta có ngay đpcm ?
Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

1/ CMR: $(C_{2n}^{0})^{2}-(C_{2n}^{1})^{2}+(C_{2n}^{3})^{2}-...+(C_{2n}^{2n})^{2}=(-1)^{n}C_{2n}^{n}$

Tình hình là chưa giải ra bài này,nhưng vẫn mạn phép bình "loạn" chút :P
**********
Tổng bên vế trái có thể biểu diễn theo hàm Gamma như sau:
$$\sum_{k=0}^{2n}(-1)^{k}\binom{2n}{k}^2=\dfrac{\Gamma (1).\Gamma (1-n)}{\Gamma (1-2n) \Gamma (1+n)}$$
Và nếu ta sử dụng 2 tính chất sau của hàm Gamma :
  • $\Gamma (1-n)=-n \Gamma (-n)$
  • $\Gamma (-n)=\dfrac{(-1)^{n}}{n!}$
Thì ta có thể biến đổi ra ngay được vế phải .
Tổng này kha khá gần dạng với tổng sau :
$$\sum_{k=0}^{2n}(-1)^{k}\binom{2n}{k}^3=(-1)^{n}\binom{3n}{n}\binom{2n}{n}(*)$$
,xuất phát từ đẳng thức Dixon :
$$\sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}\binom{a+b}{a+k}\binom{b+c}{b+k}\binom{c+a}{c+k}=\dfrac{(a+b+c)!}{a!b!c!}(a,b,c \in \mathbb{N})$$
Nếu ta chọn $a=b=c=n$ thì sẽ có (*). :)
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#4
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

$\sum_{k=0}^{2n} (-1)^k {2n\choose k}^2=?$

Bài này có lẽ không dùng SPTP được, nhưng dùng khai triển nhị thức thì lại đơn giản!

Lời giải

Ta có: $(x^2+1)^{2n}=\left[(x-i)(x+i)\right]^{2n}\quad(1)$
Do đó, khai triển nhị thức ra ta được:
$VP(1)=\left[\sum_{k_1=0}^{2n}{2n\choose k_1}x^{k_1}(-1)^{2n-k_1}.i^{2n-k_1}\right]\cdot\left[\sum_{k_2=0}^{2n}{2n\choose k_2}x^{k_2}.i^{2n-k_2}\right]$
Suy ra hệ số của $x^{2n}$ trong khai triển trên là:
$\begin{eqnarray*}S_{2n}&=&\sum_{k_1+k_2=2n}{2n\choose k_1}{2n\choose k_2}(-1)^{2n-k_1}.i^{2n-k_1+2n-k_2}\\&=&\sum_{k_1=0}^{2n}{2n\choose k_1}{2n\choose 2n-k_1}(-1)^{k_1}i^{2n}\\&=&(-1)^n\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k{2n\choose k}^2\end{eqnarray*}$

Trong khi đó hệ số $x^{2n}$ trong khai triển $(x^2+1)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}x^{2k}$ chính là ${2n\choose n}$
Từ đó suy ra đẳng thức:
$(-1)^n\sum_{k=0}^{2n} (-1)^k {2n\choose k}^2={2n\choose n}$
hay $$\sum_{k=0}^{2n} (-1)^k {2n\choose k}^2=(-1)^n{2n\choose n}$$

#5
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Cách của thầy Thanh đẹp quá :D Em có 1 cách dùng Lagrange như sau (nhưng hơi dài :D)
Lời giải:
Ta cần có bổ đề sau: (có thể chứng minh bằng quy nạp)
Bổ đề:
Cho $P(x)$ là đa thức bậc $2n$ thỏa \[
P\left( i \right) = C_{2n}^i ,\forall i = \overline {0,2n}
\]
Khi đó, hệ số bậc $2n$ của $P(x)$ là $\dfrac{(-1)^n}{n!^2}$.
================================
Quay lại bài toán. Gọi $P(x)$ là đa thức bậc $2n$ thỏa $P\left( i \right) = C_{2n}^i ,\forall i = \overline {0,2n}$.
Xét công thức Lagrange cho $P(x)$ tại $2n+1$ điểm $x_i=i\,\,\forall i=\overline{0,2n}$.
\[
P\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^{2n} {P\left( i \right)\prod\limits_{\scriptstyle j = 0 \atop
\scriptstyle j \ne i }^{2n} {\frac{{x - j}}{{i - j}}} } = \sum\limits_{i = 0}^{2n} {C_{2n}^i .\frac{{\prod\limits_{j = 0;j \ne i}^{2n} {\left( {x - j} \right)} }}{{\left( { - 1} \right)^{2n - i} i!\left( {2n - i} \right)!}}}
\]
Khi đó, hệ số bậc $2n$ của $P(x)$ là $\sum\limits_{i = 0}^{2n} {\left( { - 1} \right)^i \frac{{\left( {2n} \right)!}}{{i!^2 \left( {2n - i} \right)!}}}$
Nên theo bổ đề
\[
\begin{array}{rcl}
\sum\limits_{i = 0}^{2n} {\left( { - 1} \right)^i \frac{{\left( {2n} \right)!}}{{i!^2 \left( {2n - i} \right)!}}} &=& \frac{{\left( { - 1} \right)^n }}{{n!^2 }} \\
\Leftrightarrow \sum\limits_{i = 0}^{2n} {\left( { - 1} \right)^i \left[ {\frac{{\left( {2n} \right)!}}{{i!\left( {2n - i} \right)!}}} \right]^2 } &=& \left( { - 1} \right)^n \frac{{\left( {2n} \right)!}}{{n!^2 }} \\
\Leftrightarrow \sum\limits_{i = 0}^{2n} {\left( { - 1} \right)^i \left( {C_{2n}^i } \right)^2 } &=& \left( { - 1} \right)^n C_{2n}^n \\
\end{array}
\]
_______________
@hxthanh: Tình hình là phần Đa thức nội suy Lagrange và ứng dụng chứng minh ĐTTH phải nhờ em giúp một tay thôi. :))

@Perfectstrong: Dạ chắc em thi xong sẽ rãnh rỗi một thời gian ngắn :D Mà phần đó cũng hơi khó viết do em thấy nó nặng nề thật :(


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh