Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}} \ge 2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1
thanhelf96

thanhelf96

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 155 Bài viết
Cho $a;b;c>0$ và $a+b+c=6$
CMR:
$\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\geqslant 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 26-12-2012 - 12:10

sống là cho đâu chỉ nhận riêng mình  :icon6:


#2
maitienluat

maitienluat

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 182 Bài viết
Ta có $\frac{a}{\sqrt{b^{3}+1}}= \frac{a}{\sqrt{(b+1)(b^{2}-b+1)}}\geq \frac{2a}{b^{2}+2}$
$\frac{2a}{b^{2}+2}= a-\frac{ab^{2}}{\frac{b^{2}}{2}+\frac{b^{2}}{2}+2}\geq a-\frac{ab^{2}}{3b\sqrt[3]{\frac{b}{2}}}= a-\frac{ab}{3\sqrt[3]{\frac{b}{2}}}$
Thực hiện đánh giá tương tự với 2 phân thức còn lại, ta chỉ cần chứng minh
$\frac{ab}{\sqrt[3]{\frac{b}{2}}}+\frac{bc}{\sqrt[3]{\frac{c}{2}}}+\frac{ca}{\sqrt[3]{\frac{a}{2}}}\leq 12$
Theo Holder thì
$\left ( \frac{ab}{\sqrt[3]{\frac{b}{2}}}+\frac{bc}{\sqrt[3]{\frac{c}{2}}}+\frac{ca}{\sqrt[3]{\frac{a}{2}}} \right )^{3}\leq \left ( \frac{ab}{\frac{b}{2}} \right )(ab+bc+ca)^{2}= 2(\sum a)(\sum ab)^{2}\leq 2.6.12^{2}= 12^{3}$ ( do $\sum ab\leq \frac{(\sum a)^{2}}{3}= 12$ )
Suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=2$
(Có lẽ bài giải của mình hơi quá so với THCS chăng :( )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 26-12-2012 - 08:28


#3
Katyusha

Katyusha

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết
Theo AM-GM:
$$\dfrac{a}{\sqrt{b^3+1}}=\dfrac{a}{\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)}} \ge \dfrac{a}{\dfrac{b^2+2}{2}}=\dfrac{2a}{b^2+2}$$
Tương tự ta có:
$$\dfrac{b}{\sqrt{c^3+1}}\ge \dfrac{2b}{c^2+2} \quad ; \quad \dfrac{c}{\sqrt{a^3+1}}\ge \dfrac{2c}{a^2+2}$$
Vậy ta quy về chứng minh:
$$\dfrac{2a}{b^2+2}+\dfrac{2b}{c^2+2}+\dfrac{2c}{a^2+2} \ge 2$$
Sử dụng kĩ thuật Cauchy-ngược dấu:

$$6-\sum\dfrac{2a}{b^2+2}=a-\dfrac{2a}{b^2+2}+b-\dfrac{2b}{c^2+2}+c-\dfrac{c}{a^2+2}$$
$$=\dfrac{ab^2}{b^2+2}+\dfrac{bc^2}{c^2+2}+\dfrac{ca^2}{a^2+2} $$
$$=\dfrac{ab^2}{\frac{b^2}{2}+\frac{b^2}{2}+2}+\dfrac{bc^2}{\frac{c^2}{2}+\frac{c^2}{2}+2}+\dfrac{ca^2}{\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}+2}$$
$$\le \dfrac{ab^2}{3\sqrt[3]{\dfrac{b^4}{2}}}+\dfrac{bc^2}{3\sqrt[3]{\dfrac{c^4}{2}}}+\dfrac{cb^2}{3\sqrt[3]{\dfrac{a^4}{2}}}$$
$$=\dfrac{\sqrt[3]{2}}{3}\left[a\sqrt[3]{b^2}+b\sqrt[3]{c^2}+c\sqrt[3]{a^2}\right]$$

Theo AM-GM:

$$a\sqrt[3]{b^2}=\sqrt[3]{a^3b^2}=\dfrac{\sqrt[3]{ab.ab.2a}}{3\sqrt[3]{2}} \le \dfrac{ab+ab+2a}{3\sqrt[3]{2}} $$
$$b\sqrt[3]{c^2}=\sqrt[3]{b^3c^2}=\dfrac{\sqrt[3]{bc.bc.2b}}{3\sqrt[3]{2}}\le \dfrac{bc+bc+2b}{3\sqrt[3]{2}} $$
$$c\sqrt[3]{a^2}=\sqrt[3]{c^3a^2}=\dfrac{\sqrt[3]{ca.ca.2c}}{3\sqrt[3]{2}}\le \dfrac{ca+ca+2c}{3\sqrt[3]{2}}$$

Cộng 3 BĐT vế theo vế ta được:

$$a\sqrt[3]{b^2}+b\sqrt[3]{c^2}+c\sqrt[3]{a^2} \le \dfrac{2(ab+bc+ca)+2(a+b+c)}{3\sqrt[3]{2}}$$
$$\le \dfrac{\dfrac{2(a+b+c)^2}{3}+4(a+b+c)}{3\sqrt[3]{2}}$$
$$=\dfrac{24+12}{3\sqrt[3]{2}}=\dfrac{12}{\sqrt[3]{2}}$$

Từ đó:
$$6-\sum \dfrac{2a}{b^2+2} \le \dfrac{\sqrt[3]{2}}{3}.\dfrac{12}{\sqrt[3]{2}}=4 \Rightarrow \sum\dfrac{2a}{b^2+2} \ge 2$$
BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Katyusha: 01-01-2013 - 08:54


#4
HungHuynh2508

HungHuynh2508

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
Bdt Côsy ngược dấu là j vậy bạn
Có thể cho t biết công thức được không
Hạnh phúc là cho đi đâu chỉ nhận riêng mình!

7e3c59fbf62d4c5280e6cf2ad53cdcb8.0.gif

#5
Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết

Bdt Côsy ngược dấu là j vậy bạn
Có thể cho t biết công thức được không

Theo mình thì là sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ở dưới mẩu.Lúc này bdt có dấu $\le$

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#6
banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết

Bdt Côsy ngược dấu là j vậy bạn
Có thể cho t biết công thức được không


Bạn hiểu nôm na là áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ cho biểu thức dưới mẫu thôi. Nhưng có dấu $"-"$ nên bất đẳng thức không đổi chiều (thường là x$\geqslant$). Đây là một phương pháp chứng minh bất đẳng thức bạn ạ.

Ví dụ một bài toán nhé.

Bài toán. Cho $a,b,c>0$, $a+b+c=3$. Chứng minh rằng

$\frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}\geqslant \frac{a}{1+a^{2}}+\frac{b}{1+b^{2}}+\frac{c}{1+c^{2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 26-12-2012 - 21:54


#7
Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết

Bạn hiểu nôm na là áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ cho biểu thức dưới mẫu thôi. Nhưng có dấu $"-"$ nên bất đẳng thức không đổi chiều (thường là x$\geqslant$). Đây là một phương pháp chứng minh bất đẳng thức bạn ạ.

Ví dụ một bài toán nhé.

Bài toán. Cho $a,b,c>0$,$a+b+c=3$. Chứng minh rằng

$\frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}\geqslant \frac{a}{1+a^{2}}+\frac{b}{1+b^{2}}+\frac{c}{1+c^{2}}$

Bên vế phải,ta có:
$\sum 1+a^2 \ge 2a$
$\Longleftrightarrow \sum \dfrac{a}{1+a^2} \le \dfrac{3}{2}$
Ta sẽ chứng minh $VT \ge \dfrac{3}{2}$
Ta có:
$\dfrac{a}{1+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{1+b^2}$
Áp dụng bdt $AM-GM$ cho $1+b^2 \ge b$
$\Longleftrightarrow \sum \dfrac{a}{1+b^2} \ge a+b+c-\dfrac{ab+bc+ca}{2}$
Ta luôn có $(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ac)$
$\Longleftrightarrow 3 \ge ab+bc+ac$
Vậy $VT \ge \dfrac{3}{2}$
$$Q,e,D$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 26-12-2012 - 22:00

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#8
duc12116

duc12116

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết
Download sáng tạo bất đẳng thức của Phạm Kim Hùng tập 1 mà xem!

#9
HungHuynh2508

HungHuynh2508

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết

Download sáng tạo bất đẳng thức của Phạm Kim Hùng tập 1 mà xem!

download ở đâu thế bạn
Hạnh phúc là cho đi đâu chỉ nhận riêng mình!

7e3c59fbf62d4c5280e6cf2ad53cdcb8.0.gif

#10
Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết
Xem thì ở đây:http://www.mediafire.com/view/?72wnw73ctccezl6
Download :http://www.mediafire.com/?72wnw73ctccezl6

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#11
Katyusha

Katyusha

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết
Thì chính thế nên mình mới phải chứng minh điều đó mà bạn :)

#12
thanhelf96

thanhelf96

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 155 Bài viết
giờ thì mình hiểu rồi :icon6:

sống là cho đâu chỉ nhận riêng mình  :icon6:





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh