Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh
- - - - -

$x^3-\left(9\tan^2 3 \alpha+6\right)x^2+\left(6 \tan^2 3\alpha+9\right) x-\tan ^2 3 \alpha=0$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 26-12-2012 - 10:44

Chứng minh rằng $\tan^2 \alpha, \tan^2 \left( \frac{\pi}{3}-\alpha\right), \tan^2 \left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)$ là nghiệm của phương trình sau:
$$x^3-\left(9\tan^2 3 \alpha+6\right)x^2+\left(6 \tan^2 3\alpha+9\right) x-\tan ^2 3 \alpha=0$$

______________________________
P/s: Cái này áp dụng rất nhiều.

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#2 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1535 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH Ngoại Thương tp Hồ Chí Minh
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 25-08-2015 - 21:30

Cái này nói chung là không có gì đáng nói cả

 

Ta có công thức: $ \tan 3x = \frac{3  \tan x - tan^{3} x}{ 1- 3 \tan^{2} x}$

 

Bình phương lên rồi  triệt tiêu mẫu số, ta có ngay điều phải chứng minh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 26-08-2015 - 19:11

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#3 LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{Vũ Trụ}$
  • Sở thích:$\textrm{Giúp Người Là Niềm Vui}$

Đã gửi 26-08-2015 - 00:45

Ta có: $\tan^{2}x+\tan^{2}\left (x-\frac{\pi }{3} \right )+\tan^{2}\left (x+\frac{\pi }{3} \right )=\left (\tan x+\tan\left (x-\frac{\pi }{3} \right )+\tan\left (x+\frac{\pi }{3} \right ) \right )^2-2\sum \left [\tan x\tan\left (x-\frac{\pi }{3}\right ) \right ]\qquad \color{Red}{(1)}$

Ta sẽ chứng minh $\tan x+\tan\left (x-\frac{\pi }{3}  \right )+\tan\left (x+\frac{\pi }{3}  \right )=3\tan3x $ và $\sum \left [\tan x\tan\left (x-\frac{\pi }{3}\right )  \right ]=-3$

Đặt $\tan3x=\tan3y\Rightarrow x=y+k\frac{\pi}{3}\Rightarrow x=\left \{ y, y+\frac{\pi}{3}, y-\frac{\pi}{3} \right \}$

Ta có: $$\tan3y=\tan3x=\frac{3\tan x-\tan^3x}{1-3\tan^2x}\\\Leftrightarrow \tan^3x-3\tan3y\tan^2x-3\tan x+\tan3y=0$$

Áp dụng Định Lý Viete vào phương trình bậc 3 trên với ẩn là $\tan x$, ta được:

$$\sum \tan x=3\tan3y=3\tan 3x,\qquad\sum \left [\tan x\tan\left (x-\frac{\pi }{3}\right )  \right ]=-3$$

Thế vào $(1)$ ta được đpcm.

Từ $\tan^3x-3\tan3y\tan^2x-3\tan x+\tan3y=0$ theo Viete:

$\sum \tan x=3\tan3x,\quad\sum\tan x\tan\left(x-\frac\pi3\right)=-3,\quad \prod\tan x=-\tan 3x$

 

Ta đã biết ba số $a=\tan^2 \alpha, b=\tan^2 \left( \frac{\pi}{3}-\alpha\right), c=\tan^2 \left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)$ được gọi là nghiệm của phương trình khi nó thoả định lý Viete: $\left\{\begin{matrix}a+b+c=9{\tan}^{2}3\alpha+6\\ ab+bc+ca=6\tan^23\alpha+9\\ abc=\tan^23\alpha\end{matrix}\right.$

*Ý 1 đã được chứng minh dựa trên trích dẫn

*Ý 2: $ab+bc+ca=\left (\sum\tan \alpha\tan\left(\alpha-\frac\pi3\right)  \right )^2-2\cdot\prod\tan x\cdot\sum\tan x=9+6\tan^23\alpha$

*Ý 3: $abc=\left (\prod\tan \alpha  \right )^2=\tan^23\alpha$

 

Vậy ta có dpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 26-08-2015 - 14:16





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh