Đến nội dung

Hình ảnh

Đề kiểm tra HKI-THPT chuyên Thăng Long


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
N H Tu prince

N H Tu prince

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 388 Bài viết
Trường THPT chuyên Thăng Long Đà Lat
Năm học 2012-2013

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I

MÔN TOÁN-LỚP 10 CHUYÊN TOÁN

Thời gian làm bài:120 phút


Câu 1 (2,0 điểm)



1. Viết phương trình Parabol(P) có đỉnh $I(1;4)$ và đi qua điểm $M(-1;8)$

2. Giải phương trình $\sqrt{4x^2+2x+10}=3x+1$

3. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}
x+y-2xy=2\\
x^2+y^2+3xy=-1
\end{matrix}\right.$

Câu 2 (2,0 điểm) Giải và biện luận các phương trình

1. $|mx+4|=|x+1|$ 2.$\frac{(2m-1)x+2}{x-2}=m+1$

Câu 3 (1,0 điểm) Cho tam giác ABC.Gọi I là điểm thoả mãn hệ thức $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$



1. Gọi $D$ là trung điểm $AC$. Chứng minh I là trọng tâm tam giác BCD

2. Biểu diễn $\overrightarrow{AI}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$

Câu 4 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có



$A(-1;2), B(2;-3), C(1;-2)$

1. Tìm toạ độ điểm E sao cho A là trọng tâm tam giác BCE

2. Tìm toạ độ điểm N nằm trên trục Ox sao cho tam giác ABN vuông tại N

3. Tìm toạ độ điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Câu 5 (2,0 điểm)



1. Cho phương trình $ax^2+bx+c=0$(a khác 0) có hai nghiệm $x_1,x_2$. Đặt $S_n=x_1^n+x_2^n.$

Chứng minh rằng $aS_{n+2}+bS_{n+1}+cS_n=0$

2. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}$\{0;1}$\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho:

$(x-1)f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{1}{x-1}$

Câu 6 (1,0 điểm)



1. Cho tam giác $ABC$. Một đường tròn bất kì cắt BC tai $A_1,A_2$; cắt canh CA tại $B_1,B_2$; cắt cạnh $AB$ tại $C_1,C_2$. Chứng minh $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy khi và chỉ khi $AA_2,BB_2,CC_2$ đồng quy .

2.Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm G nội tiếp (O). Các đường trung tuyến xuất phát từ $A,B,C$ kéo dài cắt (O) lần lượt tại $D,E,F$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{GD}+\frac{1}{GE}+\frac{1}{GF}\le \sqrt{3}(\frac{1}{AB}+\frac{1}{BC}+\frac{1}{CA})$

_______________________________________________________________

Ngu lâu dốt bền,bỏ luôn hai câu hình :(


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangngocbao1997: 27-12-2012 - 12:23

Link

 


#2
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

2.Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm G nội tiếp (O). Các đường trung tuyến xuất phát từ $A,B,C$ kéo dài cắt (O) lần lượt tại $D,E,F$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{GD}+\frac{1}{GE}+\frac{1}{GF}\le \sqrt{3}(\frac{1}{AB}+\frac{1}{BC}+\frac{1}{CA})$

Gọi $AD$ cắt $BC$ tại $M$. Lúc đó ta có $\triangle ABM~\triangle CDM$
$\Rightarrow AM.MD=BM.CM=\frac{BC^2}{4}\Rightarrow AM.GD=\frac{BC^2}{4}+\frac{AM^2}{3}$
$\Rightarrow GD=\frac{4AM^2+3BC^2}{AM}$. Nhưng the0 công thức đường trung tuyến ta lại có $AM=\frac{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}{2}$ với $BC=a,AC=b,AB=c$. Vậy nên:
$$GD=\frac{a^2+b^2+c^2}{3\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}$$
Thiết lập các biểu thức tương tự và cộng lại ta cần chứng minh:
$$\sqrt{3}.\frac{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}+\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}+\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}}{a^2+b^2+c^2}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$
Nhưng the0 bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ thì:
$$\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}+\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}+\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}\leq 3\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$
Vậy cuối cùng ta cần chỉ ra:
$$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right).\sqrt{a^2+b^2+c^2}\geq 3\sqrt{3}$$
Điều này đúng the0 bất đẳng thức $AM-GM$:
$$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right).\sqrt{a^2+b^2+c^2}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}}.\sqrt{3}.\sqrt[3]{abc}$$
$$=3\sqrt{3}$$
Kết thúc chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$. Tam giác của ta là tam giác đều $\square$
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#3
hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết

1. Cho tam giác $ABC$. Một đường tròn bất kì cắt BC tai $A_1,A_2$; cắt canh CA tại $B_1,B_2$; cắt cạnh $AB$ tại $C_1,C_2$. Chứng minh $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy khi và chỉ khi $AA_2,BB_2,CC_2$ đồng quy .


Bài làm
Sử dụng phương tích
Ta có:
$AC_1.AC_2=AB_1.AB_2$
$BA_1.BA_2=BC_1.BC_2$
$CB_1.CB_2=CA_1.CA_2$
Nhân lại ta có:
$$A_1B.B_1C.C_1A.A_2B.B_2C.C_2A=A_1C.B_1A.C_1B.A_2C.B_2A.C_2B$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{A_1B}{A_1C}.\dfrac{B_1C}{B_1A}.\dfrac{C_1A}{C_1B}=\dfrac{A_2C}{A_2B}.\dfrac{B_2A}{B_2C}.\dfrac{C_2B}{C_2A}$$

Theo định lí Menelauyt đây chính là điều phải chứng minh
====
Đề học kì sao mà khó thế :(

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#4
N H Tu prince

N H Tu prince

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 388 Bài viết

Bài làm
Sử dụng phương tích
Ta có:
$AC_1.AC_2=AB_1.AB_2$
$BA_1.BA_2=BC_1.BC_2$
$CB_1.CB_2=CA_1.CA_2$
Nhân lại ta có:
$$A_1B.B_1C.C_1A.A_2B.B_2C.C_2A=A_1C.B_1A.C_1B.A_2C.B_2A.C_2B$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{A_1B}{A_1C}.\dfrac{B_1C}{B_1A}.\dfrac{C_1A}{C_1B}=\dfrac{A_2C}{A_2B}.\dfrac{B_2A}{B_2C}.\dfrac{C_2B}{C_2A}$$

Theo định lí Menelauyt đây chính là điều phải chứng minh
====
Đề học kì sao mà khó thế :(

Định lí Ceva chứ không phải Menelauyt :icon4:

Link

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh