Chủ đề này có 69 trả lời

[lehoanghiep]

Để nối tiếp sự thành công của chuyên mục ÔN THI ĐẠI HỌC 2012 trong box bất đẳng thức và để giúp các bạn có một kết quả tốt nhất trong kì thi đại học 2013, mình nghĩ một topic như thế này được lập ra sẽ rất có ý nghĩa!
Cũng như năm 2012, những tiêu chí của topic là:

• Các đề bài phải rõ ràng, sáng sủa, gõ latex và viết có dấu.
• Giải như một bài thi, không được nêu chung chung,nếu có thể các bạn hãy nêu hướng làm.
• Cấm những vụ cãi vã, mà phải thật sự có tinh thần xây dựng topic một cách lành mạnh.
• Không cho phép những bài toán nhiều hơn 3 biến, những cách giải sử dụng dồn biến (Kiểu đậm chất HSG) S.O.S, $p, q, r$ ... chỉ dành cho các cuộc thi HSG, Ít sử dụng các kí hiệu $\sum, \prod...$ vào bài làm.
• Khuyễn khích các bài toán mang đậm chất " thi đh" của mấy năm nay, chẳng hạn như dồn về 1 biến (ĐH 2011, 2012), sử dụng công cụ hàm số.

Rất mong sự đóng góp tích cực của tất cả các bạn!
Mình xin mở đầu bằng bài toán:

Bài toán 1. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $\frac{4}{5}b\geq a-c\geq \frac{3}{5}b$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$P=\frac{12\left ( a-b \right )}{c}+\frac{12\left ( b-c \right )}{a}+\frac{25\left ( c-a \right )}{b}$.

[lehoanghiep]

Bài toán 2. Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$. Chứng minh rằng

$\frac{x^{2}+y^{2}}{z^{2}}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{33}{4}$.

[hoangkkk]

Bài toán 2 : Từ giả thiết dễ dàng suy ra được $\frac{2xy}{z^2}=2\left ( \frac{x+y}{2} \right )$. Mặt khác áp dụng bất đẳng thức $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}\Rightarrow \frac{x+y}{z}\geq 4$. Đặt $\frac{x+y}{z}=t$, biến đổi vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh thành :
$$VT=\left ( \frac{x+y}{z} \right )^2+\frac{z}{x+y}-\frac{2(x+y)}{z}=t^2+\frac{1}{t}-2t$$
Đến đây ta xét hàm $f(t)=\left ( \frac{x+y}{z} \right )^2+\frac{z}{x+y}-\frac{2(x+y)}{z}=t^2+\frac{1}{t}-2t$ với chú ý $t \geq 4$, ta có :
$f'(t)=\frac{2t^3-2t^2-1}{4}> 0$ $\forall t \geq 4$, do vậy $f(t)$ là hàm đồng biến $\Rightarrow f(t)\geq f(4)=\frac{33}{4}$. Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=2z$

Ủng hộ thêm 1 bài cho topic :
Bài toán 3 : Cho $a,b,c$ là các số thực thuộc $\left [ \frac{1}{3};3 \right ]$. Chứng minh bất đẳng thức :
$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{7}{5}$$

[hoangkkk]

Thêm một vài bài nữa :

Bài toán 4 : Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x^2+8y^2+9z^2 \leq 4xyz$. Tìm GTNN của biểu thức :
$$P=\frac {4x+2y^2+z^3}{\sqrt{6\left ( 36y-11\sqrt{2z} \right )}-11x} $$

Bài toán 5 : Cho $x,y,z$ là các số thực thuộc đoạn $\left [ \frac{1}{2};2 \right ]$. Chứng minh bất đẳng thức :
$$8\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \right )\geq 5\left ( \frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{y} \right )+9$$

Bài toán 6 : Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $2z+3y+z=40$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
$$P=2\sqrt{x^2+1}+3\sqrt{y^2+16}+\sqrt{z^2+36}$$
Hi vọng mọi người ủng hộ nhiệt tình cho topic rất hay và ý nghĩa này.

[lehoanghiep]

Chém bài 5 trước
Giả sử $x=max\left \{ x; y; z \right \}$.
Xét hàm số $f\left ( x \right )=8\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \right )-5\left ( \frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{y} \right )$.
Ta có $f'\left ( x \right )=\frac{\left ( x^{2}-yz \right )\left ( 8z-5y \right )}{x^{2}yz}$.
Trường hơp 1. $8z>5y$ khi đó $f'\left ( x \right )=0\Leftrightarrow x=\sqrt{yz}$.
Từ bảng biến thiên ta có $f\left ( x \right )\geq f\left ( \sqrt{yz} \right )=\frac{y}{z}+2\sqrt{\frac{z}{y}}-\frac{z}{y}-2\sqrt{\frac{y}{z}}$.
Đặt $\sqrt{\frac{y}{z}}=t\left ( t\in \left [ \frac{1}{2};2 \right ] \right )$.
Đến đay ta chỉ cần khảo sát hàm sát hàm số $g\left ( t \right )=t^{2}-2t+\frac{2}{t}-\frac{1}{t^{2}}$ trên $\left [ \frac{1}{2};2 \right ]$ ta suy ra BĐT cần chứng minh.

Trường hợp 2. $8z\leq 5y$. Khi đó $f'\left ( x \right )\leq 0$. Suy ra $f\left ( x \right )\geq f\left ( 2 \right )=8\left ( \frac{2}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{2} \right )-5\left ( \frac{y}{2}+\frac{z}{y}+\frac{2}{z} \right )=g\left ( y \right )$.
Ta có $g'\left ( y \right )=\frac{16-5z}{2z}.\frac{y^{2}-2z}{y^{2}}$; $g'\left ( y \right )=0\Leftrightarrow y=\sqrt{2z}$.
Từ bảng biến thiên ta suy ra $g\left ( y \right )\geq g\left ( \sqrt{2z} \right )=4z+\frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{z}}-\frac{10}{z}-5\sqrt{2z}$.
Đặt $\sqrt{2z}=t\left ( t\in \left [ 1;2 \right ] \right )$.
Xét hàm số $h\left ( t \right )=2t^{2}+\frac{32}{t}-\frac{20}{t^{2}}-5t$.
Ta có $h\left ( t \right )-9=\frac{\left ( 2t+5 \right )\left ( t-1 \right )\left ( t-2 \right )^{2}}{t^{2}}$$\Rightarrow h\left ( t \right )\geq 9$ suy ra BĐT cần chứng minh.
Vậy ta có đpcm.

[lehoanghiep]

Bài toán 6. Xét các hàm số $f\left ( x \right )=2\sqrt{x^{2}+1}; g\left ( y \right )=3\sqrt{y^{2}+16}; h\left ( z \right )=\sqrt{z^{2}+36}$.
Dễ thấy $f\left ( x \right ); g\left ( y \right ); h\left ( z \right )$ đều là các hàm lõm.
Giả sử điểm uốn của đồ thị hàm số tại $x=x_{0}; y=y_{0};z=z_{0}$.
Suy ra $f\left ( x \right )\geq f'\left ( x_{0} \right )\left ( x-x_{0} \right )+f\left ( x_{0} \right )=\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}}\left ( x-x_{0} \right )+f\left ( x_{0} \right )$.
Tương tự...
Ta chọn số $k$ sao cho $f'\left ( x_{0} \right )=2k$; $h'\left ( y_{0} \right )=3k; g'\left ( z_{0} \right )=k$.
$\Rightarrow x=\frac{k}{\sqrt{1-k^{2}}};y_{0}=\frac{4k}{\sqrt{1-k^{2}}}; z_{0}=\frac{6k}{\sqrt{1-k^{2}}}$
Đến đây ta cần tìm $k$ để đẳng thức xảy ra $k=2\sqrt{1-k^{2}}\Rightarrow k=\frac{2}{\sqrt{5}}$.
Việc còn lại là thay vào thôi

[Nxb]

Bài toán 7: Cho $x, y, z \geq 0$, tìm min của $P$ thỏa mãn:
$$P=(\sum_{sym} {xy})(\sum_{sym} \frac{1}{x^2+y^2})$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 28-12-2012 - 18:20

[Primary]

Bài toán 7: Cho $x, y, z \geq 0$, tìm min của $P$ thỏa mãn:
$$P=(\sum_{sym} {xy})(\sum_{sym} \frac{1}{x^2+y^2})$$

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$P\geq (\sum xy)(\sum \frac{1}{2(x+y)^2})\Leftrightarrow 2P\geq (xy+yz+zx)[\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}]$
Vế phải chính là bất đẳng thức Iran năm 1996: https://phudinhgioihan.wordpress.com/
Đến đây $2P\geq \frac{9}{4}\Leftrightarrow P\geq \frac{9}{8}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z>0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Primary: 28-12-2012 - 20:20

[Primary]

Mình xin góp 1 bài:
Bài 8: Tìm GTNN của $\sum (\frac{a}{b-c})^2$, với $a\neq b\neq c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Primary: 28-12-2012 - 20:26

[lehoanghiep]

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$P\geq (\sum xy)(\sum \frac{1}{2(x+y)^2})$

Cái này có vấn đề thì phải!

[lehoanghiep]

Mình xin góp 1 bài:
Bài 8: Tìm GTNN của $\sum (\frac{a}{b-c})^2$, với $a\neq b\neq c$

Bài này quen thuộc
Đặt $\frac{a}{b-c}=x;\frac{b}{c-a}=y;\frac{c}{a-b}=z$.
Ta có $\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )\left ( z+1 \right )=\left ( x-1 \right )\left ( y-1 \right )\left ( z-1 \right )\Rightarrow xy+yz+zx=-1$.
Mặt khác $\left ( x+y+z \right )^{2}\geq 0\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq -2\left ( xy+yz+zx \right )=2$.
Suy ra đpcm.

[lehoanghiep]

Bài toán 9. Cho ba số $x,y,z\in \left ( 0;1 \right ]$ thỏa mãn $x+y\geq 1+z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{xy+z^{2}}$.

[longqnh]

Ta chọn số $k$ sao cho $f'\left ( x_{0} \right )=2k$; $h'\left ( y_{0} \right )=3k; g'\left ( z_{0} \right )=k$.
$\Rightarrow x=\frac{k}{\sqrt{1-k^{2}}};y_{0}=\frac{4k}{\sqrt{1-k^{2}}}; z_{0}=\frac{6k}{\sqrt{1-k^{2}}}$
Đến đây ta cần tìm $k$ để đẳng thức xảy ra $k=2\sqrt{1-k^{2}}\Rightarrow k=\frac{2}{\sqrt{5}}$.

không hiểu chỗ bôi đỏ lắm bạn ạ!! giải thích giúp mình

[lehoanghiep]

không hiểu chỗ bôi đỏ lắm bạn ạ!! giải thích giúp mình

$\frac{2x_{0}}{\sqrt{x_{0}^{2}+1}}=2k\Rightarrow x_{0}=\frac{k}{\sqrt{1-k^{2}}}$.

[lehoanghiep]

Bài toán 10. Cho các số thực $x, y, z$ thuộc $\left [ 1;3 \right ]$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=14$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left ( 1-\frac{y}{x} \right )\left ( 2+\frac{z}{x} \right )$.

[yeutoan11]

Bài toán 10. Cho các số thực $x, y, z$ thuộc $\left [ 1;3 \right ]$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=14$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left ( 1-\frac{y}{x} \right )\left ( 2+\frac{z}{x} \right )$.

Em ủng hộ anh nè . Bài giải theo anh Cẩn :
Ta sẽ CM $P \ge -8$ hay $(\frac{y}{x}-1)(\frac{z}{x}+2) \le 8$
$\Leftrightarrow 2(\frac{y}{x}-1)(\frac{z}{x}+2) \le 16$
Ta có :
$\Leftrightarrow 2(\frac{y}{x}-1)(\frac{z}{x}+2) \le \frac{[2(\dfrac{y}{x}-1)+\dfrac{z}{x}+2]^2}{4}$
Vậy ta sẽ CM :$2\frac{y}{x}+\frac{z}{x}\le 8$
$\Leftrightarrow 2y+z\le 8x$
Theo $AM-GM$
$2y+z \le 2.\frac{y^2+9}{6}+\frac{z^2+4}{4}=\frac{4y^2+3z^2+48}{12}=\frac{y^2+3(y^2+z^2)+48}{12} \le \frac{9+3(14-x^2)+48}{12} =\frac{33-x^2}{4}$
Vậy ta cần CM $33-x^2 \le 32x$$\Leftrightarrow (x-1)(x+33)\ge 0$ Luôn đúng

[yeutoan11]

Bài toán 11 : Cho $x,y,z$ là các số thực $\in \left [ 1;4 \right ]$ và $x=max(x,y,z)$ . Tìm GTNN :
$$N=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}.$$

[lehoanghiep]

Bài toán 12. Cho các số thực $a, b, c\in \left [ 1;2 \right ]$ thoả mãn $4a+2b+c=11$. Chứng minh rằng

$\frac{33}{10}\leq \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\leq \frac{11}{2}$.

[Ispectorgadget]

Bài 13: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2+2abc=1$. Chứng minh rằng:$$a^2+b^2+c^2\geq 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$$
Trích : Đề thi thử lần 1 năm 2013 Trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội.

[lehoanghiep]

Bài 13: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2+2abc=1$. Chứng minh rằng:$$a^2+b^2+c^2\geq 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$$
Trích : Đề thi thử lần 1 năm 2013 Trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội.

Tồn tại các số $x, y, z$ sao cho $a^{2}=\frac{xy}{\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}; b^{2}=\frac{yz}{\left ( z+x \right )\left ( x+y \right )}; c^{2}=\frac{zx}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )}$.
Đến đây, thay vào và biến đổi tương đương ta được
$BDT\Leftrightarrow xy\left ( x+y \right )+yz\left ( y+z \right )+zx\left ( z+x \right )\geq 4xyz\left ( \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y} \right )$$\Leftrightarrow \frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\geq 4\left ( \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y} \right )$.
Cái này thì quen thuộc rồi, chỉ cần áp dụng $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ ta suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lehoanghiep: 31-12-2012 - 11:26