Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

ÔN THI ĐẠI HỌC 2013


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 69 trả lời

#1 lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-12-2012 - 17:10

Để nối tiếp sự thành công của chuyên mục ÔN THI ĐẠI HỌC 2012 trong box bất đẳng thức và để giúp các bạn có một kết quả tốt nhất trong kì thi đại học 2013, mình nghĩ một topic như thế này được lập ra sẽ rất có ý nghĩa!
Cũng như năm 2012, những tiêu chí của topic là:
  • Các đề bài phải rõ ràng, sáng sủa, gõ latex và viết có dấu.
  • Giải như một bài thi, không được nêu chung chung,nếu có thể các bạn hãy nêu hướng làm.
  • Cấm những vụ cãi vã, mà phải thật sự có tinh thần xây dựng topic một cách lành mạnh.
  • Không cho phép những bài toán nhiều hơn 3 biến, những cách giải sử dụng dồn biến (Kiểu đậm chất HSG) S.O.S, $p, q, r$ ... chỉ dành cho các cuộc thi HSG, Ít sử dụng các kí hiệu $\sum, \prod...$ vào bài làm.
  • Khuyễn khích các bài toán mang đậm chất " thi đh" của mấy năm nay, chẳng hạn như dồn về 1 biến (ĐH 2011, 2012), sử dụng công cụ hàm số.
Rất mong sự đóng góp tích cực của tất cả các bạn!
Mình xin mở đầu bằng bài toán:

Bài toán 1. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $\frac{4}{5}b\geq a-c\geq \frac{3}{5}b$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$P=\frac{12\left ( a-b \right )}{c}+\frac{12\left ( b-c \right )}{a}+\frac{25\left ( c-a \right )}{b}$.



#2 lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-12-2012 - 21:36

Bài toán 2. Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$. Chứng minh rằng

$\frac{x^{2}+y^{2}}{z^{2}}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{33}{4}$.



#3 hoangkkk

hoangkkk

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An

Đã gửi 27-12-2012 - 22:18

Bài toán 2 : Từ giả thiết dễ dàng suy ra được $\frac{2xy}{z^2}=2\left ( \frac{x+y}{2} \right )$. Mặt khác áp dụng bất đẳng thức $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}\Rightarrow \frac{x+y}{z}\geq 4$. Đặt $\frac{x+y}{z}=t$, biến đổi vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh thành :
$$VT=\left ( \frac{x+y}{z} \right )^2+\frac{z}{x+y}-\frac{2(x+y)}{z}=t^2+\frac{1}{t}-2t$$
Đến đây ta xét hàm $f(t)=\left ( \frac{x+y}{z} \right )^2+\frac{z}{x+y}-\frac{2(x+y)}{z}=t^2+\frac{1}{t}-2t$ với chú ý $t \geq 4$, ta có :
$f'(t)=\frac{2t^3-2t^2-1}{4}> 0$ $\forall t \geq 4$, do vậy $f(t)$ là hàm đồng biến $\Rightarrow f(t)\geq f(4)=\frac{33}{4}$. Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=2z$

Ủng hộ thêm 1 bài cho topic :
Bài toán 3 : Cho $a,b,c$ là các số thực thuộc $\left [ \frac{1}{3};3 \right ]$. Chứng minh bất đẳng thức :
$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{7}{5}$$

A2K40-er

My Blog : http://a2k40pbc.blogspot.com/


#4 hoangkkk

hoangkkk

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An

Đã gửi 28-12-2012 - 11:06

Thêm một vài bài nữa :

Bài toán 4 : Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x^2+8y^2+9z^2 \leq 4xyz$. Tìm GTNN của biểu thức :
$$P=\frac {4x+2y^2+z^3}{\sqrt{6\left ( 36y-11\sqrt{2z} \right )}-11x} $$

Bài toán 5 : Cho $x,y,z$ là các số thực thuộc đoạn $\left [ \frac{1}{2};2 \right ]$. Chứng minh bất đẳng thức :
$$8\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \right )\geq 5\left ( \frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{y} \right )+9$$

Bài toán 6 : Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $2z+3y+z=40$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
$$P=2\sqrt{x^2+1}+3\sqrt{y^2+16}+\sqrt{z^2+36}$$
Hi vọng mọi người ủng hộ nhiệt tình cho topic rất hay và ý nghĩa này.

A2K40-er

My Blog : http://a2k40pbc.blogspot.com/


#5 lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-12-2012 - 16:54

Chém bài 5 trước :))
Giả sử $x=max\left \{ x; y; z \right \}$.
Xét hàm số $f\left ( x \right )=8\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \right )-5\left ( \frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{y} \right )$.
Ta có $f'\left ( x \right )=\frac{\left ( x^{2}-yz \right )\left ( 8z-5y \right )}{x^{2}yz}$.
Trường hơp 1. $8z>5y$ khi đó $f'\left ( x \right )=0\Leftrightarrow x=\sqrt{yz}$.
Từ bảng biến thiên ta có $f\left ( x \right )\geq f\left ( \sqrt{yz} \right )=\frac{y}{z}+2\sqrt{\frac{z}{y}}-\frac{z}{y}-2\sqrt{\frac{y}{z}}$.
Đặt $\sqrt{\frac{y}{z}}=t\left ( t\in \left [ \frac{1}{2};2 \right ] \right )$.
Đến đay ta chỉ cần khảo sát hàm sát hàm số $g\left ( t \right )=t^{2}-2t+\frac{2}{t}-\frac{1}{t^{2}}$ trên $\left [ \frac{1}{2};2 \right ]$ ta suy ra BĐT cần chứng minh.

Trường hợp 2. $8z\leq 5y$. Khi đó $f'\left ( x \right )\leq 0$. Suy ra $f\left ( x \right )\geq f\left ( 2 \right )=8\left ( \frac{2}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{2} \right )-5\left ( \frac{y}{2}+\frac{z}{y}+\frac{2}{z} \right )=g\left ( y \right )$.
Ta có $g'\left ( y \right )=\frac{16-5z}{2z}.\frac{y^{2}-2z}{y^{2}}$; $g'\left ( y \right )=0\Leftrightarrow y=\sqrt{2z}$.
Từ bảng biến thiên ta suy ra $g\left ( y \right )\geq g\left ( \sqrt{2z} \right )=4z+\frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{z}}-\frac{10}{z}-5\sqrt{2z}$.
Đặt $\sqrt{2z}=t\left ( t\in \left [ 1;2 \right ] \right )$.
Xét hàm số $h\left ( t \right )=2t^{2}+\frac{32}{t}-\frac{20}{t^{2}}-5t$.
Ta có $h\left ( t \right )-9=\frac{\left ( 2t+5 \right )\left ( t-1 \right )\left ( t-2 \right )^{2}}{t^{2}}$$\Rightarrow h\left ( t \right )\geq 9$ suy ra BĐT cần chứng minh.
Vậy ta có đpcm.

#6 lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-12-2012 - 17:43

Bài toán 6. Xét các hàm số $f\left ( x \right )=2\sqrt{x^{2}+1}; g\left ( y \right )=3\sqrt{y^{2}+16}; h\left ( z \right )=\sqrt{z^{2}+36}$.
Dễ thấy $f\left ( x \right ); g\left ( y \right ); h\left ( z \right )$ đều là các hàm lõm.
Giả sử điểm uốn của đồ thị hàm số tại $x=x_{0}; y=y_{0};z=z_{0}$.
Suy ra $f\left ( x \right )\geq f'\left ( x_{0} \right )\left ( x-x_{0} \right )+f\left ( x_{0} \right )=\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}}\left ( x-x_{0} \right )+f\left ( x_{0} \right )$.
Tương tự...
Ta chọn số $k$ sao cho $f'\left ( x_{0} \right )=2k$; $h'\left ( y_{0} \right )=3k; g'\left ( z_{0} \right )=k$.
$\Rightarrow x=\frac{k}{\sqrt{1-k^{2}}};y_{0}=\frac{4k}{\sqrt{1-k^{2}}}; z_{0}=\frac{6k}{\sqrt{1-k^{2}}}$
Đến đây ta cần tìm $k$ để đẳng thức xảy ra $k=2\sqrt{1-k^{2}}\Rightarrow k=\frac{2}{\sqrt{5}}$.
Việc còn lại là thay vào thôi :))

#7 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 539 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-12-2012 - 18:17

Bài toán 7: Cho $x, y, z \geq 0$, tìm min của $P$ thỏa mãn:
$$P=(\sum_{sym} {xy})(\sum_{sym} \frac{1}{x^2+y^2})$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 28-12-2012 - 18:20


#8 Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam Tiền Giang

Đã gửi 28-12-2012 - 20:17

Bài toán 7: Cho $x, y, z \geq 0$, tìm min của $P$ thỏa mãn:
$$P=(\sum_{sym} {xy})(\sum_{sym} \frac{1}{x^2+y^2})$$

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$P\geq (\sum xy)(\sum \frac{1}{2(x+y)^2})\Leftrightarrow 2P\geq (xy+yz+zx)[\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}]$
Vế phải chính là bất đẳng thức Iran năm 1996: https://phudinhgioihan.wordpress.com/
Đến đây $2P\geq \frac{9}{4}\Leftrightarrow P\geq \frac{9}{8}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z>0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Primary: 28-12-2012 - 20:20

Nothing won't change 

 

$\lim_{n\rightarrow \infty }\ln[h(t)]=117771$


#9 Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam Tiền Giang

Đã gửi 28-12-2012 - 20:25

Mình xin góp 1 bài:
Bài 8: Tìm GTNN của $\sum (\frac{a}{b-c})^2$, với $a\neq b\neq c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Primary: 28-12-2012 - 20:26

Nothing won't change 

 

$\lim_{n\rightarrow \infty }\ln[h(t)]=117771$


#10 lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-12-2012 - 20:57

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$P\geq (\sum xy)(\sum \frac{1}{2(x+y)^2})$

Cái này có vấn đề thì phải!

#11 lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-12-2012 - 21:05

Mình xin góp 1 bài:
Bài 8: Tìm GTNN của $\sum (\frac{a}{b-c})^2$, với $a\neq b\neq c$

Bài này quen thuộc :))
Đặt $\frac{a}{b-c}=x;\frac{b}{c-a}=y;\frac{c}{a-b}=z$.
Ta có $\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )\left ( z+1 \right )=\left ( x-1 \right )\left ( y-1 \right )\left ( z-1 \right )\Rightarrow xy+yz+zx=-1$.
Mặt khác $\left ( x+y+z \right )^{2}\geq 0\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq -2\left ( xy+yz+zx \right )=2$.
Suy ra đpcm.

#12 lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-12-2012 - 21:09

Bài toán 9. Cho ba số $x,y,z\in \left ( 0;1 \right ]$ thỏa mãn $x+y\geq 1+z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{xy+z^{2}}$.



#13 longqnh

longqnh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH Công Nghệ Thông Tin - ĐHQG TPHCM

Đã gửi 28-12-2012 - 23:13

Ta chọn số $k$ sao cho $f'\left ( x_{0} \right )=2k$; $h'\left ( y_{0} \right )=3k; g'\left ( z_{0} \right )=k$.
$\Rightarrow x=\frac{k}{\sqrt{1-k^{2}}};y_{0}=\frac{4k}{\sqrt{1-k^{2}}}; z_{0}=\frac{6k}{\sqrt{1-k^{2}}}$
Đến đây ta cần tìm $k$ để đẳng thức xảy ra $k=2\sqrt{1-k^{2}}\Rightarrow k=\frac{2}{\sqrt{5}}$.


không hiểu chỗ bôi đỏ lắm bạn ạ!! giải thích giúp mình :wacko:

SẼ KHÔNG BAO GIỜ BẾ TẮC NẾU TA CÒN CỐ GẮNG


#14 lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-12-2012 - 23:19

không hiểu chỗ bôi đỏ lắm bạn ạ!! giải thích giúp mình :wacko:

$\frac{2x_{0}}{\sqrt{x_{0}^{2}+1}}=2k\Rightarrow x_{0}=\frac{k}{\sqrt{1-k^{2}}}$.

#15 lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-12-2012 - 16:49

Bài toán 10. Cho các số thực $x, y, z$ thuộc $\left [ 1;3 \right ]$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=14$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left ( 1-\frac{y}{x} \right )\left ( 2+\frac{z}{x} \right )$.

#16 yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-12-2012 - 00:03

Bài toán 10. Cho các số thực $x, y, z$ thuộc $\left [ 1;3 \right ]$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=14$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left ( 1-\frac{y}{x} \right )\left ( 2+\frac{z}{x} \right )$.

Em ủng hộ anh nè :) . Bài giải theo anh Cẩn :
Ta sẽ CM $P \ge -8$ hay $(\frac{y}{x}-1)(\frac{z}{x}+2) \le 8$
$\Leftrightarrow 2(\frac{y}{x}-1)(\frac{z}{x}+2) \le 16$
Ta có :
$\Leftrightarrow 2(\frac{y}{x}-1)(\frac{z}{x}+2) \le \frac{[2(\dfrac{y}{x}-1)+\dfrac{z}{x}+2]^2}{4}$
Vậy ta sẽ CM :$2\frac{y}{x}+\frac{z}{x}\le 8$
$\Leftrightarrow 2y+z\le 8x$
Theo $AM-GM$
$2y+z \le 2.\frac{y^2+9}{6}+\frac{z^2+4}{4}=\frac{4y^2+3z^2+48}{12}=\frac{y^2+3(y^2+z^2)+48}{12} \le \frac{9+3(14-x^2)+48}{12} =\frac{33-x^2}{4}$
Vậy ta cần CM $33-x^2 \le 32x$$\Leftrightarrow (x-1)(x+33)\ge 0$ Luôn đúng
Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF

#17 yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-12-2012 - 09:52

Bài toán 11 : Cho $x,y,z$ là các số thực $\in \left [ 1;4 \right ]$ và $x=max(x,y,z)$ . Tìm GTNN :
$$N=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}.$$
Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF

#18 lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-12-2012 - 11:39

Bài toán 12. Cho các số thực $a, b, c\in \left [ 1;2 \right ]$ thoả mãn $4a+2b+c=11$. Chứng minh rằng

$\frac{33}{10}\leq \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\leq \frac{11}{2}$.



#19 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 31-12-2012 - 10:57

Bài 13: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2+2abc=1$. Chứng minh rằng:$$a^2+b^2+c^2\geq 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$$
Trích : Đề thi thử lần 1 năm 2013 Trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội.
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#20 lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-12-2012 - 11:24

Bài 13: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2+2abc=1$. Chứng minh rằng:$$a^2+b^2+c^2\geq 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$$
Trích : Đề thi thử lần 1 năm 2013 Trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội.

Tồn tại các số $x, y, z$ sao cho $a^{2}=\frac{xy}{\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}; b^{2}=\frac{yz}{\left ( z+x \right )\left ( x+y \right )}; c^{2}=\frac{zx}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )}$.
Đến đây, thay vào và biến đổi tương đương ta được
$BDT\Leftrightarrow xy\left ( x+y \right )+yz\left ( y+z \right )+zx\left ( z+x \right )\geq 4xyz\left ( \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y} \right )$$\Leftrightarrow \frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\geq 4\left ( \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y} \right )$.
Cái này thì quen thuộc rồi, chỉ cần áp dụng $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ ta suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lehoanghiep: 31-12-2012 - 11:26





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh