Giống mấy bài ở trên:
Bài 28 Cho ba số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=4$. Tìm Min
$$P=\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}$$
Giải thế này đúng không nhỉ :
Đặt $P$ là biểu thức cần tìm $\min$
Ta có :
$$=\left ( \frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a} \right )^2-2\left [ \frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}+\frac{1}{(c-a)(a-b)} \right ]$$
Để ý rằng $\left [ \frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}+\frac{1}{(c-a)(a-b)} \right ]=0$ nên suy ra :
$$P=\left ( \frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a} \right )^2$$
Đến đây giả thiết $c=\min \left \{ a,b,c \right \}$, áp dụng $AM-GM$ ta được :
$$P \geq 4.\frac{1}{a-b}\left ( \frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a} \right )=4.\frac{1}{a-b}\left [ \frac{b-a}{(b-c)(c-a)} \right ]=\frac{4}{(a-c)(b-c)}$$
$$=\frac{4}{ab-bc-ca+c^2}\geq \frac{4}{ab+bc+ca}=1$$
Vậy $P \min=1$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a.b=4,c=0$