Cho dãy số :$u_{n}$ thỏa: $\left\{\begin{matrix} u_{1}=1 & \\ u_{n+1}=u_{n}+\frac{1}{u_{n}} & \end{matrix}\right.$
Chứng minh: $lim\frac{u_{n}}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$ khi n tiến tới dương vô cùng
#2
Đã gửi 28-12-2012 - 00:15
PRONOOBCHICKENHANDSOME
-
- Thành viên
-
- 227 Bài viết
Thượng sĩ
Dễ thấy $u_n >0 , \forall n$
Mặt khác : $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{u_n} >0$ Vậy $u_n$ tăng
Giả sử $u_n$ có giới hạn hữu hạn là L . Suy ra : $L=L+\frac{1}{L}$ (vô lý)
Vậy $\lim u_n = +\infty$
Ta có : $\lim \frac{u_n^2}{n}=\lim (u_{n+1}^2-u_n^2)=\lim (2+\frac{1}{u_n^2})=2$
Hay $\lim \frac{u_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$
ĐPCM
Mặt khác : $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{u_n} >0$ Vậy $u_n$ tăng
Giả sử $u_n$ có giới hạn hữu hạn là L . Suy ra : $L=L+\frac{1}{L}$ (vô lý)
Vậy $\lim u_n = +\infty$
Ta có : $\lim \frac{u_n^2}{n}=\lim (u_{n+1}^2-u_n^2)=\lim (2+\frac{1}{u_n^2})=2$
Hay $\lim \frac{u_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$
ĐPCM
- tramyvodoi yêu thích
#3
Đã gửi 28-12-2012 - 12:58
dark templar
-
- Hiệp sỹ
-
- 3788 Bài viết
Kael-Invoker
Xem cách giải khác ở đây.Cho dãy số :$u_{n}$ thỏa: $\left\{\begin{matrix} u_{1}=1 & \\ u_{n+1}=u_{n}+\frac{1}{u_{n}} & \end{matrix}\right.$
Chứng minh: $lim\frac{u_{n}}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$ khi n tiến tới dương vô cùng
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
