Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Tính $a^{1003}+b^{1003}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Mỹ Châu

Đã gửi 28-12-2012 - 08:11

Cho $a,b,c>0$ và $a^{2006}+b^{2006}=a^{2005}+b^{2005}=a^{2004}+b^{2004}$. Tính $a^{1003}+b^{1003}$

$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#2 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-12-2012 - 08:49

Cho $a,b,c>0$ và $a^{2006}+b^{2006}=a^{2005}+b^{2005}=a^{2004}+b^{2004}$. Tính $A=a^{1003}+b^{1003}$

Cách 1:
Ta có:
$a^{2004}+b^{2004}=a^{2005}+b^{2005}=a^{2006}+b^{2006}$
$\Leftrightarrow a^{2004}+a^{2006}+b^{2004}+b^{2006}=2\left ( a^{2005}+b^{2005} \right )$
$\Leftrightarrow a^{2004}\left ( a^2+1 \right )+b^{2004}\left ( b^2+1 \right )-2a^{2005}-2b^{2005}=0$
$\Leftrightarrow a^{2004}\left ( a-1 \right )^2+b^{2004}\left ( b-1 \right )^2=0$
Vì $a,b>0$ nên $a^{2004}>0;$ $b^{2004}>0$
Mặt khác $\left ( a-1 \right )^2\geq 0;$ $\left ( b-1 \right )^2\geq 0$ với mọi $a,b$
Nên $\left ( a-1 \right )^2=\left ( b-1 \right )^2=0$
$\Leftrightarrow a-1=b-1=0$
$\Leftrightarrow a=b=1$
Thay vào tính được $a^{1003}+b^{1003}=2$


Cách 2:
Ta có:
$a^{2004}+b^{2004}=a^{2005}+b^{2005}$
$\Leftrightarrow a^{2004}\left ( a-1 \right )+b^{2004}\left ( b-1 \right )=0$ $(1)$
$a^{2005}+b^{2005}=a^{2006}+b^{2006}$
$\Leftrightarrow a^{2005}\left ( a-1 \right )+b^{2005}\left ( b-1 \right )=0$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2),$ ta có:
$a^{2005}\left ( a-1 \right )-a^{2004}\left ( a-1 \right )+b^{2005}\left ( b-1 \right )-b^{2004}\left ( b-1 \right )=0$
$\Leftrightarrow a^{2004}\left ( a-1 \right )\left ( a-1 \right )+b^{2004}\left ( b-1 \right )\left ( b-1 \right )=0$
$\Leftrightarrow a^{2004}\left ( a-1 \right )^2+b^{2004}\left ( b-1 \right )^2=0$
Tới đây giải tương tự như cách 1.

Cách 3:
Ta có:
$\left ( a+b \right )\left ( a^{2005}+b^{2005} \right )$
$=a^{2006}+b^{2006}+ab\left ( a^{2004}+b^{2004} \right )$
$=a^{2005}+b^{2005}+ab\left ( a^{2005}+b^{2005} \right )$
$=\left ( a^{2005}+b^{2005} \right )\left ( ab+1 \right )$
Do đó: $a+b=ab+1$
$\Leftrightarrow \left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1-a=0 \\ 1-b=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=1 \\ b=1 \end{array} \right.$
Trường hợp 1: $a=1$
Ta có:
$a^{2004}+b^{2004}=a^{2005}+b^{2005}$
$\Leftrightarrow b^{2004}=b^{2005}$
Mà $b>0$ nên $b=1$
Trường hợp 2: $b=1$
Ta có:
$a^{2004}+b^{2004}=a^{2005}+b^{2005}$
$\Leftrightarrow a^{2004}=a^{2005}$
Mà $a>0$ nên $a=1$
Từ $2$ trường hợp trên ta đều được $a=b=1$
Thay vào biểu thức $A,$ ta có:
$A=a^{1003}+b^{1003}=1+1=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 06-02-2013 - 06:42


#3 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 28-12-2012 - 11:30

Cho $a,b,c>0$ và $a^{2006}+b^{2006}=a^{2005}+b^{2005}=a^{2004}+b^{2004}$. Tính $a^{1003}+b^{1003}$


Hình như chưa có ai làm cách này:
Cách 4:
Ta có:
$\left( {a}^{2005}+{b}^{2005} \right) ^{2}- \left( {a}^{2006}+{b}^{2006} \right) \left( {a}^{2004}+{b}^{2004} \right) =-{a}^{2004}{b}^{2004} \left( a-b \right) ^{2}=0$
Suy ra ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 28-12-2012 - 11:30

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh