$P=\frac{1+a+b+c}{3+2a+b}-\frac{c}{b}$
$P=\frac{1+a+b+c}{3+2a+b}-\frac{c}{b}$
Bắt đầu bởi Noobmath, 28-12-2012 - 22:59
#1
Đã gửi 28-12-2012 - 22:59
Noobmath
-
- Thành viên
-
- 19 Bài viết
Binh nhì
Giả sử phương trình $x^3-ax^2+bx-c=0$ có 3 nghiệm thực dương ( không nhất thiết phải khác nhau ) . Hãy tìm GTNN của biểu thức:
#2
Đã gửi 29-12-2012 - 10:33
maitienluat
-
- Thành viên
-
- 182 Bài viết
Trung sĩ
Gọi $m,n,p$ là 3 nghiệm của pt $x^{3}-ax^{2}+bx-c=0$. Khi đó theo định lý Viét $\sum m=a,\sum mn=b,mnp=c$
Ta sẽ chứng minh $P\geq \frac{1}{3}$. Thật vậy, quy đồng mẫu số và rút gọn sau đó ta chỉ cần chứng minh $2\sum m^{2}n^{2}+\sum_{sym}^{m,n,p}m^{2}n\geq 6mnp+2mnp\sum m$, hiển nhiên đúng theo AM-GM. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow m=n=p$.
Vậy GTNN của P là $\frac{1}{3}$
Ta sẽ chứng minh $P\geq \frac{1}{3}$. Thật vậy, quy đồng mẫu số và rút gọn sau đó ta chỉ cần chứng minh $2\sum m^{2}n^{2}+\sum_{sym}^{m,n,p}m^{2}n\geq 6mnp+2mnp\sum m$, hiển nhiên đúng theo AM-GM. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow m=n=p$.
Vậy GTNN của P là $\frac{1}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 29-12-2012 - 10:33
- hoangtrunghieu22101997 yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
