Chủ đề này có 3 trả lời

[Noobmath]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}^{*} \to \mathbb{R}^{*}$

$f(f(x)+y)=xf(1+xy) , \forall x,y \in \mathbb{R}^{*}$

[tramyvodoi]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}^{*} \to \mathbb{R}^{*}$

$f(f(x)+y)=xf(1+xy) , \forall x,y \in \mathbb{R}^{*}$

Thay $x=0,y=y-f(0)$ ta được f(y)=0. Dễ thấy hàm này thỏa

[Noobmath]

Thay $x=0,y=y-f(0)$ ta được f(y)=0. Dễ thấy hàm này thỏa

$x,y>0$ ???

[perfectstrong]

Bài này phải là $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ chứ nhỉ?
Lời giải:
Quy ước: $a:=b$ nghĩa là thay $a$ bởi $b$.
\[
f\left( {f\left( x \right) + y} \right) = xf\left( {1 + xy} \right),\forall x,y > 0,\left( 1 \right)
\]

Trước hết, ta sẽ chứng minh $f$ giảm. (i)
Thật vậy, chọn bất kì $u,v \in \mathbb{R}^+:u<v$. Giả sử $f(u)<f(v)$.
Xét $m = \frac{{vf\left( v \right) - uf\left( u \right)}}{{v - u}}$.
\[
\begin{array}{l}
vf\left( v \right) - uf\left( u \right) > vf\left( v \right) - uf\left( v \right) = \left( {v - u} \right)f\left( v \right) \\
\Rightarrow m = \frac{{vf\left( v \right) - uf\left( u \right)}}{{v - u}} > f\left( v \right) > f\left( u \right) > 0 \\
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
f\left( m \right) = f\left( {f\left( u \right) + \left( {m - f\left( u \right)} \right)} \right) = uf\left( {1 + u\left( {m - f\left( u \right)} \right)} \right) = uf\left( {1 + \frac{{uv\left( {f\left( v \right) - f\left( u \right)} \right)}}{{v - u}}} \right) \\
f\left( m \right) = f\left( {f\left( v \right) + \left( {m - f\left( v \right)} \right)} \right) = vf\left( {1 + v\left( {m - f\left( v \right)} \right)} \right) = vf\left( {1 + \frac{{uv\left( {f\left( v \right) - f\left( u \right)} \right)}}{{v - u}}} \right) \\
\end{array}
\]
Nhưng ta lại có $v=u$: mâu thuẫn. Do đó $f(u) \ge f(v)$.
=========================================
\[
x: = 1,\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( {f\left( 1 \right) + y} \right) = f\left( {1 + y} \right)
\]
Giả sử $f(1) \ne 1$. Nếu $f(1)>1 \Rightarrow f(y)=f(y+f(1)-1)$.
Nếu $f(1)<1 \Rightarrow f(y)=f(y+1-f(1))$.
Vậy mọi TH thì $f$ là hàm tuần hoàn trên $[1;+\infty)$. Mà do (i) nên $f$ là hàm hằng.
Nên chọn $y>1, (1) \Rightarrow k=xk$: không thể đúng với mọi $x>0$.
Như vậy, $f(1)=1$.
=========================================
Ta tìm $f(x)$ trên $[1;+\infty)$.
Xét $x>1$, chọn $y=\dfrac{x-1}{x} \Rightarrow xy+1=x$. Viết lại (1)
\[
f\left( {f\left( x \right) + \frac{{x - 1}}{x}} \right) = xf\left( x \right)
\]
Nếu $f(x)>\dfrac{1}{x}$ thì
\[
\begin{array}{l}
f\left( x \right) + \frac{{x - 1}}{x} = f\left( x \right) - \frac{1}{x} + 1 > 1 \Rightarrow f\left( {f\left( x \right) + \frac{{x - 1}}{x}} \right) \le f\left( 1 \right) = 1 \\
\Rightarrow xf\left( x \right) \le 1 \Rightarrow f\left( x \right) \le \frac{1}{x}: \textrm{mâu thuẫn} \\
\end{array}
\]
Tương tự, ta cũng không thể có $f(x)<\dfrac{1}{x}$. Suy ra $f(x)=\dfrac{1}{x}\,\,\forall x>1$. (ii)
==========================================
Ta tìm $f(x)$ trên $\mathbb{R}^+$. Xét $x>0$, chọn $y=1$, (1) thành
\[
f\left( {f\left( x \right) + 1} \right) = xf\left( {1 + x} \right)
\]
Do $1+f(x);1+x>1$ nên theo (ii) thì
\[
\frac{1}{{1 + f\left( x \right)}} = \frac{x}{{1 + x}} \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{x},\forall x > 0
\]
==========================================
Thử lại:
\[
VT\left( 1 \right) = \frac{1}{{\frac{1}{x} + y}} = \frac{x}{{1 + xy}} = xf\left( {1 + xy} \right) = VP\left( 1 \right)
\]
Kết luận: $f(x)=\dfrac{1}{x}\,\,\forall x>0$