Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

CMR: nếu $a+b=1$ thì $a^{n}+b^{n}\geq \frac{1}{2^{n-1}}$, $\forall n\geq 1, n\in N$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 whiterose96

whiterose96

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 29-12-2012 - 05:52

CMR: nếu $a+b=1$ thì $a^{n}+b^{n}\geq \frac{1}{2^{n-1}}$, $\forall n\geq 1, n\in N$

Hình đã gửi


#2 tinhyeutuoitre

tinhyeutuoitre

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-12-2012 - 08:28

cái này dùng quy nạp nha bạn
với n=1 và n=2 bất đẳng thức đúng(chứng minh điều này khá đơn giản)
g/s: bdt đúng đến n=k-1 thì ta phải chứng minh $a^{k}+b^{k}\geq \frac{1}{2^{k-1}}$
ta có $a^{k}+b^{k}=(a+b)(a^{k-1}+b^{k-1})-ab(a^{k-2}+b^{k-2})\geq a^{k-1}+b^{k-1}-\frac{(a+b)^{2}}{4}(a^{k-2}+b^{k-2})\geq \frac{1}{2^{k-2}}-\frac{1}{2^{k-1}}=\frac{1}{2^{k-1}}$
từ đó ta có dpcm
TÌNH YÊU TOÁN CŨNG ĐẾN TỪ TRÁI TIM

#3 whiterose96

whiterose96

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 29-12-2012 - 10:47

cái này dùng quy nạp nha bạn
với n=1 và n=2 bất đẳng thức đúng(chứng minh điều này khá đơn giản)
g/s: bdt đúng đến n=k-1 thì ta phải chứng minh $a^{k}+b^{k}\geq \frac{1}{2^{k-1}}$
ta có $a^{k}+b^{k}=(a+b)(a^{k-1}+b^{k-1})-ab(a^{k-2}+b^{k-2})\geq a^{k-1}+b^{k-1}-\frac{(a+b)^{2}}{4}(a^{k-2}+b^{k-2})\geq \frac{1}{2^{k-2}}-\frac{1}{2^{k-1}}=\frac{1}{2^{k-1}}$
từ đó ta có dpcm


bạn có làm đc theo cách dùng nhị thức newton k? có cách đó nữa nhưng mình làm chưa ra

Hình đã gửi


#4 tinhyeutuoitre

tinhyeutuoitre

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-12-2012 - 09:46

cách đó tớ không biết nhưng tớ có cách khác đó bạn
bạn nhân chéo lên xong dùng bất đảng thức holder nha
TÌNH YÊU TOÁN CŨNG ĐẾN TỪ TRÁI TIM

#5 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 30-12-2012 - 11:35

CMR: nếu $a+b=1$ thì $a^{n}+b^{n}\geq \frac{1}{2^{n-1}}$, $\forall n\geq 1, n\in N$

Đặt $a=\frac{1}{2}+h;b=\frac{1}{2}-h$ do đó $$a^n+b^n=\left(\frac{1}{2}+h \right )^n+\left(\frac{1}{2}-h \right )^n =\left(\frac{1}{2n}+C_n^1 \frac{h}{2^{n-1}}+C_n^2.\frac{h^2}{2^{n-2}}+... \right )+\left(\frac{1}{2}-C_n^2.\frac{h^2}{2^{n-2}}+... \right )$$
$$=\frac{1}{2^{n-1}}+C_n^2\frac{h}{2^{n-1}}+C_n^4\frac{h^4}{2^{n-3}}+... \ge \frac{1}{2^{n-1}}$$
Dấu "=" xảy ra khi $h=0 \iff a=b=\frac{1}{2}$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#6 whiterose96

whiterose96

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 30-12-2012 - 12:05

$\frac{1}{2^{n-1}}+C_n^2\frac{h}{2^{n-1}}+C_n^4\frac{h^4}{2^{n-3}}+... \ge \frac{1}{2^{n-1}}$


Kiên giải thích rõ phần này đi, tớ bị mắc chỗ này k hiểu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi whiterose96: 30-12-2012 - 12:05

Hình đã gửi


#7 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 30-12-2012 - 12:08

Kiên giải thích rõ phần này đi, tớ bị mắc chỗ này k hiểu

Cái này hiển nhiên thôi mà :| ví dụ cho $a,b \ge 0$ thì $a^2+b^2 \ge a$ khi đó $b=0$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#8 whiterose96

whiterose96

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 30-12-2012 - 12:30

Ừ nhỉ, tớ k để ý kĩ :unsure:

Hình đã gửi





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh