Vói mọi x,y,z dương có tổng bằng 1,chứng mnih
$\frac{x^2-yz}{x^2+x}+\frac{y^2-xz}{y^2+y}+\frac{z^2-xy}{z^2+z}\leq 0$
$\frac{x^2-yz}{x^2+x}+\frac{y^2-xz}{y^2+y}+\frac{z^2-xy}{z^2+z}\leq 0$
Bắt đầu bởi no matter what, 29-12-2012 - 12:52
#2
Đã gửi 29-12-2012 - 14:11
hoangtrunghieu22101997
-
- Thành viên
-
- 206 Bài viết
Thượng sĩ
Ta có các đẳng thưcsau: (với $x+y+z=1$)
$x^2+x=x^2+x(x+y+z)=(x+y)(x+z)+x^2-yz$
Và: $\sum (x^2-yz)(y+z) = 0$
$\Leftrightarrow \sum \dfrac{x^2-yz}{(x+y)(x+z)}=0$ (chia 2 vế cho $(x+y)(y+z)(z+x)$)
$\Leftrightarrow \sum \dfrac{x^2-yz}{x^2+x-(x^2-xy)}=0$
Ta có
Đặt $a=x^2-yz;b=x^2+x;b-a=(x+y)(x+z)$
Ta có: $ \frac{a}{b} \le \frac{a}{b-a} \Leftrightarrow -a^2 \le 0$ luôn đúng
$\Rightarrow\sum \dfrac{a}{b} \le \sum \dfrac{a}{b-a}=0$
$x^2+x=x^2+x(x+y+z)=(x+y)(x+z)+x^2-yz$
Và: $\sum (x^2-yz)(y+z) = 0$
$\Leftrightarrow \sum \dfrac{x^2-yz}{(x+y)(x+z)}=0$ (chia 2 vế cho $(x+y)(y+z)(z+x)$)
$\Leftrightarrow \sum \dfrac{x^2-yz}{x^2+x-(x^2-xy)}=0$
Ta có
Đặt $a=x^2-yz;b=x^2+x;b-a=(x+y)(x+z)$
Ta có: $ \frac{a}{b} \le \frac{a}{b-a} \Leftrightarrow -a^2 \le 0$ luôn đúng
$\Rightarrow\sum \dfrac{a}{b} \le \sum \dfrac{a}{b-a}=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrunghieu22101997: 29-12-2012 - 14:14
Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.
#3
Đã gửi 29-12-2012 - 16:06
nthoangcute
-
- Thành viên
-
- 2003 Bài viết
Thiếu tá
Cái này không chắc lắm !Ta có: $ \frac{a}{b} \le \frac{a}{b-a} \Leftrightarrow -a^2 \le 0$ luôn đúng
Hình như nếu $0<b<a$ thì không được !!!
- ducthinh26032011 yêu thích
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
#4
Đã gửi 29-12-2012 - 16:22
maitienluat
-
- Thành viên
-
- 182 Bài viết
Trung sĩ
Xin trình bày 1 cách giải khác sử dụng Cauchy-Schwarz
BĐT đã cho tương đương:$\sum \frac{x}{x+1}\leq \sum \frac{yz}{x^{2}+x}$
Ta có $VT=3-\sum \frac{1}{x+1}\leq 3-\frac{9}{\sum x+3}= \frac{3}{4}$
và $VP=\sum \frac{y^{2}z^{2}}{x^{2}yz+xyz}\geq \frac{\left ( \sum yz \right )^{2}}{xyz\sum x+3xyz}\geq \frac{3xyz\sum x}{4xyz\sum x}= \frac{3}{4}$
BĐT được c/minh xong. Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
BĐT đã cho tương đương:$\sum \frac{x}{x+1}\leq \sum \frac{yz}{x^{2}+x}$
Ta có $VT=3-\sum \frac{1}{x+1}\leq 3-\frac{9}{\sum x+3}= \frac{3}{4}$
và $VP=\sum \frac{y^{2}z^{2}}{x^{2}yz+xyz}\geq \frac{\left ( \sum yz \right )^{2}}{xyz\sum x+3xyz}\geq \frac{3xyz\sum x}{4xyz\sum x}= \frac{3}{4}$
BĐT được c/minh xong. Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
- no matter what yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
