Chủ đề này có 19 trả lời

[phatthientai]

Cho $x,y,z$ là các số dương. Chứng minh rằng với $x+y+z=3$ thì
$$3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)+4xyz\ge 13$$

[nthoangcute]

Cho $x,y,z$ là các số dương. Chứng minh rằng với $x+y+z=3$ thì
$$3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)+4xyz\ge 13$$

Không nhầm thì làm như này:
Ta có:
$$(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y) \leq xyz$$
Suy ra $$(3-2x)(3-2y)(3-2z) \leq x y z$$
Suy ra $$27-18(x+y+z)+12(xy+yz+zx)-8xyz \leq xyz$$
Suy ra $$xy+yz+zx \leq \frac{3}{4} x y z+\frac{9}{4}$$
Thế vào ta có:
$$3(x^2+y^2+z^2)+4xyz\\
=3(x+y+z)^2-6(xy+yz+zx)+4xyz\\
\geq 3-6(\frac{3}{4} x y z+\frac{9}{4})+4xyz\\
=...$$
Xong ?

[maitienluat]

$3(x^2+y^2+z^2)+4xyz\\
=3(x+y+z)^2-6(xy+yz+zx)+4xyz\\
\geq 3-6(\frac{3}{4} x y z+\frac{9}{4})+4xyz\\

Phải là $27-6\left ( \frac{3}{4}xyz+\frac{9}{4} \right )+4xyz$ chứ nhỉ?
Tóm lại là xong rồi đấy

[ducthinh26032011]

$$(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y) \leq xyz$

xin cho anh hỏi . cái đó ở đâu vậy, nó được chứng minh ở đâu trong diễn đàn.

Dùng bất đẳng thức Cauchy:
$(x+y-z)(y+z-x)\leq y^{2}$
$(y+z-x)(z+x-y)\leq z^{2}$
$(x+y-z)(z+x-y)\leq x^{2}$
Nhân 3 vế được đpcm

[L Lawliet]

chúng ta đâu biết rằng :$(x+y-z)$, $(x+z-y)$,$(z+y-x)$ là các số dương đâu, làm sao côsi được

Đề bài đã cho mà anh:

Cho $x,y,z$ là các số dương. Chứng minh rằng với $x+y+z=3$ thì
$$3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)+4xyz\ge 13$$

[banhgaongonngon]

Đề bài đã cho mà anh:

Đề bài mới cho $x,y,z>0$ thôi bạn ơi, chắc gì $x+y-z>0$

Lấy $x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{2},z=2$ là thấy ngay điều này!

[banhgaongonngon]

$\left | (x+y-z)(x+z-y) \right |\leq x^{2}$
là sai.thực hiện lại rõ ràng cosi đâu có thu được vậy

Đâu có $AM-GM$ đâu anh.

Ta có $(a+b)^{2}\geq 4ab$ thôi mà.

Nhưng mà không được nhân vế với vế. Hehe nhầm lẫn tí xíu ^^

[banhgaongonngon]

cũng sai luôn. em chỉ rõ a bằng bao nhiêu b bằng bao nhiêu thấy nó sai ngay

$(x+y-z+z+x-y)^{2}\geq 4(x+y-z)(z+x-y)\Leftrightarrow 4x^{2}\geq 4(x+y-z)(z+x-y)$

[banhgaongonngon]

nếu :
$a= (x+y-z)$
$b= (x+z-y)$

thì:$x^{2}\geq (x+y-z)(x+z-y)$
vế phải chưa chắc là số dương nên không thể nhân vế theo vế được

Thì ở trên em đã bảo là không thể nhân vế với vế được rồi mà

[L Lawliet]

Hình như chủ topic cũng có post bài bên MS và đây là một lời giải của một thành viên bên MS.

[nthoangcute]

nếu bất đẳng thức $(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y) \leq xyz$
mà đúng với mọi số dương x,y,z và được chứng minh thì .tôi nghĩ bất đẳng thức này quá mạnh, tiết là không biết nó đúng không, hay chỉ đúng khi x,y,z là 3 cạnh của 1 tam giác

Trời đất !
Tưởng mọi người bàn tán gì kinh khủng, hoá ra cũng chỉ vì chứng minh mỗi cái đó !
Cái này mình chứng minh rồi mà ...

Do $a+b+c=p$ mà ta luôn có: $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq abc$ với mọi $a,b,c>0$
Thật vậy, ta chứng minh lại : (Theo lời giải WhjteShadow - Trước cậu nói với tớ, giờ quên rồi)
Nếu trong 3 số $a+b-c,b+c-a,c+a-b$ đều là 3 số âm thì $VT<0<VP$
Nếu trong 3 số $a+b-c,b+c-a,c+a-b$ có 2 số âm thì không ấm tính tổng quát giả sử $a+b-c<0$ và $b+c-a<0$. Khi đó $2b<0$ (Vô lý)
Nếu trong 3 số $a+b-c,b+c-a,c+a-b$ có 1 số âm thì $VT \leq 0<VP$
Nếu trong 3 số không có số âm nào, ta có:

$(a+b-c)(b+c-a) = b^2-(a-c)^2 \leq b^2$
$(b+c-a)(c+a-b) = c^2-(b-a)^2 \leq c^2$
$(c+a-b)(a+b-c) = a^2-(c-b)^2 \leq a^2$
Suy ra: $[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]^2 \leq a^2b^2c^2$
Hay $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq abc$ (vì $a, b, c >0$)
Xong !

Trở lại, ta thấy $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq abc$ nên $(p-2a)(p-2b)(p-2c) \leq abc$
Tương đương với $p^3+9r \geq 4 p q$
Vậy ta chứng minh được bổ đề rồi (Chứng minh Schur theo cách thầy Thắng, he he)

http://diendantoanho...hức-cực-trị/

OK chứ ???

___________
P/s: Ta có một điều cực lý thú như sau:
$$xyz-(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)=x^3+y^3+z^3+3xyz-(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2)$$
Nó tương đương với schur mà mọi người !!!
=> Việc chứng minh lại Schur cũng khá đơn giản !

[Secrets In Inequalities VP]

Cho $x,y,z$ là các số dương. Chứng minh rằng với $x+y+z=3$ thì
$$3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)+4xyz\ge 13$$

Làm thế này cho đỡ đau đầu !
Ta thấy sẽ có ít nhất 2 trong 3 số $x,y,z$ cùng lớn hơn hoặc nhỏ hơn $1$.Giả sử là $y$ và $z$
$\Rightarrow (y-1)(z-1)\geq 0\Leftrightarrow yz\geq y+z-1= 2-x$
$\Rightarrow xyz\geq 2x-x^2\Rightarrow 4xyz\geq 8x-4x^2$
Áp dụng nhận xét trên kết hợp vs bđt cơ bản $a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}$ ta được :
$VT\geq 3x^2+\frac{3}{2}.(y+z)^2+8x-4x^2= \frac{3}{2}.(3-x)^2-x^2+8x$
$$= \frac{x^2}{2}-x+\frac{1}{2}+13= \frac{(x-1)^2}{2}+13\geq 13$$
Vậy ta có $Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 29-12-2012 - 20:17

[snowwhite]

nếu bất đẳng thức $(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y) \leq xyz$
mà đúng với mọi số dương x,y,z và được chứng minh thì .tôi nghĩ bất đẳng thức này quá mạnh, tiết là không biết nó đúng không, hay chỉ đúng khi x,y,z là 3 cạnh của 1 tam giác

Nếu đề bài cho $x,y,z$ là 3 cạnh của tam giác thì hiển nhiên ta c/m được BĐT trên bằng BĐT cosy . nhưng trong trường hợp mở rộng thành $x,y,z $ là 3 số dương thì BĐT trên vẫn đúng :
Do $x,y,z$ có vai trò như nhau nên ko mất tính tổng quát ta có thể giả sử $0 \leq a \leq b \leq c $ từ đó ta thấy ngay 2 trong 3 thừa số $ x+y-z, x-y+z,-x+y+z $ luôn có giá trị dương
** Nếu cả 3 thửa số trên đều dương thì BĐT trên hiển nhiên đúng
** Nếu có 1 thừa số đó âm thì ta thấy VT $\leq 0$ trong khi đó VP >0 => BĐt trên quá đúng còn gì nữa. Do mấy anh cứ nghĩ xâu xa.....
Tiện thể em gởi cho mấy anh bài này nè có sử dụng BĐT trên đấy
Đề bài như sau
Cho $a,b,c >0$ Tìm Max P
$P = (1 - \frac{a}{b+c})(1- \frac{b}{a+c})(1- \frac{c}{a+b})$

[Sagittarius912]

Tiện thể em gởi cho mấy anh bài này nè có sử dụng BĐT trên đấy
Đề bài như sau
Cho $a,b,c >0$ Tìm Max P
$P = (1 - \frac{a}{b+c})(1- \frac{b}{a+c})(1- \frac{c}{a+b})$

nếu a,b,c không phải là 3 cạnh 1 tam giác thì cái này ko đạt max. ta chỉ xét với a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác
khi đó
$P=\frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
sử dụng 2 bdt quen thuộc
$(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$
và$(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)\leq abc$
$\Rightarrow P\leq \frac{1}{8}$
vậy...

[snowwhite]

Không nhầm thì làm như này:
Ta có:
$$(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y) \leq xyz$$
Suy ra $$(3-2x)(3-2y)(3-2z) \leq x y z$$
Suy ra $$27-18(x+y+z)+12(xy+yz+zx)-8xyz \leq xyz$$
Suy ra $$xy+yz+zx \leq \frac{3}{4} x y z+\frac{9}{4}$$
Thế vào ta có:
$$3(x^2+y^2+z^2)+4xyz\\
=3(x+y+z)^2-6(xy+yz+zx)+4xyz\\
\geq 3-6(\frac{3}{4} x y z+\frac{9}{4})+4xyz\\
=...$$
Xong ?

Thông minh lắm, mình không thông minh thì buộc phải trâu thôi, nhằm giảm bớt biến cho dễ xữ mình đặt thế này $x= 1+a, y = 1+b , z= 1-a-b$Thay vào BĐT thức và qua vài bước biến đổi ta được cái này
$(a-b)^2 +4ab(1-a-b)+13 \geq 13$.Dấu "=" xảy ra <=> a=b=0 => x=y=z=1
Vậy BĐT đã được c/mm

[snowwhite]

nếu a,b,c không phải là 3 cạnh 1 tam giác thì cái này ko đạt max. ta chỉ xét với a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác
khi đó
$P=\frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
sử dụng 2 bdt quen thuộc
$(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$
và$(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)\leq abc$
$\Rightarrow P\leq \frac{1}{8}$
vậy...

Nếu a,b,c là 3 cạnh của tam giác thì còn gì phải nói
T/h a,b,c dương thì vẫn đúng đấy !

[Sagittarius912]

Nếu a,b,c là 3 cạnh của tam giác thì còn gì phải nói
T/h a,b,c dương thì vẫn đúng đấy !

nếu a,b,c không phải là 3 cạnh 1 tam giác, giả sử $a+b-c<o$$\Rightarrow b+c-a>0;c+a-b>0$
Nếu
$c\rightarrow +\infty$
thì giá trị của nó càng nhỏ, sao có max đc???

[snowwhite]

nếu a,b,c không phải là 3 cạnh 1 tam giác, giả sử $a+b-c<o$$\Rightarrow b+c-a>0;c+a-b>0$
Nếu
$c\rightarrow +\infty$
thì giá trị của nó càng nhỏ, sao có max đc???

BĐT $(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z) \geq xyz$ đúng trong t/h x,y,z ko phải là cạnh của giác mà . Dấu = vẫn xảy ra khi x=y=z có sao đâu. Bài này tim max chứ có tìm min đâu mà không có

[Sagittarius912]

BĐT $(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z) \geq xyz$ đúng trong t/h x,y,z ko phải là cạnh của giác mà . Dấu = vẫn xảy ra khi x=y=z có sao đâu. Bài này tim max chứ có tìm min đâu mà không có

thế bạn nhìn lại xem từ nãy đến giờ mình đang nói về max hay min???

[KietLW9]

Cho $x,y,z$ là các số dương. Chứng minh rằng với $x+y+z=3$ thì
$$3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)+4xyz\ge 13$$

Lời giải. Đặt $x+y+z=p;xy+yz+zx=q;xyz=r$ thì $p=3$ và ta cần chứng minh: $4r-6q+14\geqslant 0$

Thật vậy, theo Schur, ta có: $r\geqslant \frac{p(4q-p^2)}{9}=\frac{4q-9}{3}$

$\Rightarrow 4r-6q+14\geqslant \frac{4(4q-9)}{3}-6q+14=\frac{2}{3}(3-q)\geqslant 0(\text{Q.E.D})$ (Đúng do $xy+yz+zx\leqslant \frac{(x+y+z)^2}{3}=3$)

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$